教考衔接1 解三角形中的最值与范围问题-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

e 解法二 由解法一，知osA=白 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△r 由正弦定理，得么-imB,所以cosA=im月 又由(1)知A十C=120°， sin C sin C 因为A+B十C=元， 故由正弦定现得a=sinA_sn(120°-C 所以sin Ceos A=sin(A+C), sin C sin 2tan C 2 所以sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C, 由于△ABC为锐角三角形 所以sin Acos C=0. 故0°<A<90°.0°<C90 因为0<A<x,0<C<π 结合A+C=120°，所以30°<C<90°， 所以sinA≠0，所以cosC-0,所以C=元 2 <<2，从而号<S< 1 8 故△ABC是直角三角形」 [触类旁通] 因此△ABC面积的取值范围是(3，)】 82 3.B固为a00sB+bc0sA=a,所以aX+c-B+b× [触类旁通] 2ac 2.解析(1)由m⊥n,得m·n=0,即cosB(2cosC+cosB) 店十c-口=a,整理得c=a,所以△ABC是等腰三角形. +(sin B-2sin C)sin B=0, 2bc 2(cos Bcos C-sin Bsin C)+(cos B+sin B)=0, 教考衔接1解三角形中的最值与范围问题 [典例1门[解析](1)设△ABC的内角A,B,C所对的边 即2c0s(B+0+1=0,故c0s(B+C)=-立 分别为a,b,c, sin”A一sinB-sinC=sin Bsin C,由正弦定理可得 又B+C∈(0，，所以B+C=要，所以A=子 a2-6-c2=bc, 即为6+e2-a2=-bc, (2)周为A=子，BC-. osA=公+=- BC 2bc 2bc 2 由正弦定理得AB=AC sin C sin B-sin A-2. 由0<A<,可得A= 所以AB=2sinC.AC=2sinB=2sin(5-C): (2)由1)得A-经由题意可得a=3, 所以AB+AC=2snC+2sin(号-C） 由余弦定理得a2=b+e2-2 bccosA=b+2-2 becos 2π =2nc+2(停sc+c 可得9=6+c2+bc=(h+c)-bc, (b+c)2-9=bc≤b+ -in c+oc) 4 .3+≤9.h+c)'≤12.h+≤23. =23sim(c+若） 4 ∴.a+b+c≤3+2√5. 国为Ce(o,)所以C+晋∈（答，） 当且仅当b=(=3时等号成立，△ABC的周长取得最大 值3+2√5. 所以sm(c+吾)∈（合]： [触类旁通] 1.解析(1)：(a十2c)cosB+bcos A=0, 所以25sim(C+晋)∈(3,2] ..(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0. 即AB+AC的取值范围是(5,2√5]. 所以(sin Acos B+sin Bcos A)+2 sin Ccos B=0, 9.2正弦定理与余弦定理的应用 所以sin(A+B)+2 cos Bsin C=0, 课前案·自主学习 :sin(A+B)=sinC≠0，∴cosB=-2: [教材梳理] 0<B<,∴B=2 导学1 1 问题】[提示]两个不可到达的点之间的距离我们可以借 (2)由余弦定理得=a+e-2ac×(-号)） 助第三个点和第四个点量出角度、距离求得 问题2[提示]可以，可以由余弦定理求得AB. ∴.a2+c2+ae=16≥3ac ①结论形成 ∴ar<9,喜且仅当a==4g时等号成立， 1.基线 3 2.基线长度 越长越高 导学2 1 2 3 问题1[提示]能够测量出的分别是a,B,CD=a,测角仪 器的高h. 所以AAC的西款的最大值为 问题2[提示]在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部 [典例2][解析](1)由题设及正弦定理得sin Asin A的距离CA,再测出由C,点观察A的仰角，就可以计算 A+C-sin Bsin A. 出AE的长 问题3[提示]选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在 因为sinA≠0，所以inA十C=sinB. 同一条直线上，由在H,G两，点用测角仪器测得A的仰角 2 分别是B,a,CD=a,测角仪器的高是h.那么，在△ACD 由A+B+C-180,可得in4C=cos B 2 2 中，根搭正弦定理可得AC=asin。 sin(a-B)' 2sin 2 cos 2 AB-AE+hACsin a+h-asin asinh sin(a-B) 因为w号≠0，故血号=宁，由号∈（心，90，周北B ⊙结论形成 1.直角三角形 =60°. 2.(1)②以上③以下©数学·必修第四册（配RJB版） 又A十B+C=π， :|失分警示上 若②处不能熟练 即(5-3a)2=a2+(2a)2-4a2.1 ，… 所以sinC=2sinA, 运用公式，则无 法进行角的转化， (11分) 所以inC=2.… 会失掉4分 (5分) sin A 解得a=1,a=5(舍去)，…(12分) (2)由(1)知sinC=2, 所以b=5一3×1=2.…（13分) sin A 课堂小结 由正弦定理得C=sinC a sin A =2, 知识落实 技法强化 即c=2a, 0000卡050+0t000400t0 (7分) (1)利用余弦定理解三角 又因为△ABC的周长为5， (1)余弦定理的应用. 形应用了化归、转化、数 所以b=5一3a,…… (9分) (2)余弦定理解决的两形结合的思想方法。 类问题. (2)应用余弦定理易忽略 由余弦定理得 |失分警示卜 62=a2+c2-2accos B, 若③处不能用余 三角形中的隐含条件， 弦定理列出方程， 则会失掉8分. 请完成【课后案】学业评价（二） 衔接 解三角形中的最值与范围问题 一、真题展示 由已知条件：1十cos2B≠0， (2022·新高考全国卷I)记△ABC的内 则B≠受，可得cosB≠0， 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos A sin 2B 所以sinB=-c0sC=2,B=吾 1+sin A 1+cos 2B" (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则 若C-,求B B=C-, (②求生艺的最小值 sin B=sin(c-)=-cos C. [解析](1)由已知条件得：sin2B+ sin A=sin (B +C)=sin (2C-)= sin Asin 2B=cos A+cos Acos 2B, -cos 2C, sin 2B=cos A+cos Acos 2B-sin Asin 2B =cos A+cos(A+2B) 由正孩定理，得Q+b-sin2A十sin2B sin2C =cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B] cos22C+cos2C =-cos(B+C)+cos[+(B-C)] sin2C =-2cos Bcos C, -=(1-2sin2C)2+(1-sin2C) sin2C 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, 2+4sin'C-5sin C+4sin'C-5 即(sinB+cosC)cosB=0, sin2C sin2C 8 第九章解三角形。 (1)求B; sim2C·4sin2C-5=425, ≥2 (2)若b=4,求△ABC的面积的最大值 当且仅当sin'C=号时等号成立，所以 2 。2+6的最小值为4区-5. 二、真题溯源 (教科书第12页习题9一1B第6题) 已知△ABC中，a=bcos C+csin B. 题型二利用三角函数的性质求最值、范围 (1)求角B; 典例2已知△ABC的内角A,B,C的对边分 (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 别为a,b,c,asin A+C=bsin A. 三、类法探究 2 与解三角形有关的最值、范围综合考查正、 (1)求B; 余弦定理以及三角恒等变换、三角函数的 (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求 图象与性质，具有很好的区分度，是高考的 △ABC面积的取值范围. 热点题型， [自主解答] 题型一利用基本不等式求最值、范围 典例1在△ABC中，sin2A-sinB-sin2C sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值 规律方法 [自主解答] 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细 致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这 时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只 有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注 意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第 三边 [触类旁通] 2.已知A,B,C是△ABC的三个内角，向量 m=(cos B,sin B-2sin C),n=(2cos C+ 规律方法 cosB,sinB),且m⊥n. 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整 (1)求A; 体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等 (2)若BC=√3，求AB+AC的取值范围. 式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”， 尤其是取得最值的条件。 [触类旁通] 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知(a+2c)cosB+bcos A=0. 9