第十章 复数 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

由+|：=2+8i,得a十i+√/a+b=2+8i. 因为b≠0，所以去掉，点（一1,1）， 8+7=2解释88.15， 所以复数行在复平西内对应点的轨连为一直线（除去 b=8, 一点) ∴=一15十8i,B错误；由复数的模的定义知C正确： 2.解析设莞虚数=i(b∈R且b≠0)， 由21十：1=|名1一的几何意义知，以OZ,O2,为邻边 的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确， 则二2-i-2=-2)1二D=6-2++2i (1+i)(1-i) 2 10.2.2复数的乘法与除法 _6-2+6+2 . 课前案·自主学习 2 [教材梳理] 所以 x2 b-2+b+2 导学1 1+i 2 1 问题1[提示]美似， (2)+() =V2b+8 问题2[提示]满足 2 ©结论形成 2.(1)2名1名1(4)1十名1(2)+” 因为b0,所以26+82. 2 (3)-1-i1 导学2 所以复数的提的取值范围为2，十心。 问题1[提示]方法一是晨开，利用复数相等求a,b,方法 [触类旁通] 二是化为a十价=1中将等号右边分母化成实数，利用复 2.(1)B 4-3i (4-3i)(1-22i) = 1 1+2√②i(1+2√②i)(1-22i) 数相等求解」 问题2[提示]分子分母同时桑以分母的共轭复数。 4-3i-8V2i-62_4-62-(3+82)i ○结论形成 9 分母实数化 所以 62+(3.82== 2.商被除数除数 故选B. 导学3 (2)A由已知可得，=1+ai=-q十aii=a-i, 问题1[提示]土2i. 问题2[提示]土vai 根据“等部复数”的概念可知，a=一1，所以，=一1一i,则 结论形成 =一1十i. 2.-b [例3][解析] ①调为=（号-）=-是。 [基础自测] 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 所以= 2 2.B(-1+i)(2-i)=(-2+1)+(2+1)i=-1+3i. 由题意，知：，：是一元二次方程 3.D解法一，=2十i, mx2十n.x+1=0(m,n∈R,m≠0)的两个根， .=2-i,g·x=(2+i)(2-i)=5.故选D 解法二=2十i,∴z·=|z2=5.故选D. -= -)+(+) 2i 2i(1+i) 所以 4.A=台=1+=-1+i ■课堂案·互动探究 [例1门[解析](1)(3+2i)(1-i)=(3+2)+(-3+2)i= 解得m=1, n=1. 5-i: (2)设u=c+di(c,d∈R),则u=c-di, (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i=-3+4i. 由(1)知m十i=1十i, [触类旁通] 1.解析(1)由g=5十i,得=5一i,故十=10，则i(+) 期a+iDc-d)+c+d)=-号-5. 22 =10i. 1 (2)由题意得g=一i(i十1)=1一i,故选C. 即2c+d+ci= 2, (3)(w5+i)·(W5-2i)=5+√5i-25i+2=7-5i. 1 2c+d= 答案(1)A(2)C(3)7-5i 2， 所以 解得 2 [例2][解析]设纯虚数x=bi(∈R且b≠0)： 则岸9骨公”生+ 2 d=- 2+3 2 =b-2⊥+2 所以u= 9+(8-)归 2+2i. [触类旁通] 又是宾数，所以6叶2=0，即=-2 3.C 由题意2(2i-3)2+p(2i一3)+g=0,即(2p-24)i十 10-3p+q=0, 所以x=一2i. /2p-24=0. 「母题变式1 110-3p+g=0, 1.解析设纯虚数=i(b∈R且b≠0)， 期，昌-公2”士0+2 解得D2:所以p十q=38. lq=26. 2 -2+3. 10.3 复数的三角形式及其运算（略） 2 2 章末整合提升 设复量在复华面内对应点的垒标为(y [深化提升] 1-i_(1-i)(1-i)。-2i [典题11[解析]因为：=2+22(1+i)1-D 4 则 2 =一司，所以=，即-8=-i 故选A. 消去参数b,得x-y十2=0， [答案]A ⑧⊙ [典题2][解析]复数=3+4i,心=u十i,=a一i, (2).(-6-2i)2+(2a-1)(-6-2i)-(1-i)b-16=0, 所以12=(3十4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i. .32+24i-6(2a-1)-2(2a-1)i-b+bi-16=0, 因为1，是实数，所以4如一3=0，即a=子故选A ∴.(22-12a-b)+(26-4a+b)i=0, 「答案]A [典题3][解析](1)：=-1十i+3i+3一4=-2+4i, 0-10 所以复数：的共軛复数为一2一4. 解得a=3,b=-14. (2)w=-2十(4十a)i,复数m对应向量为(-2,4十a),其 [典题6][解析](1)设实极为1，则+(2+i)1+2xy+ 模为√+(4+a)2=√20+8a+a, (x-y)i=0(r,y∈R), 即(1+21+2xy)+(1+x-y)i=0. 又复数：所对应向量为（一2,4），其模为25，由复数仙对 根据复数相等的充要条件， 应向量的模不大于复数所对应向量的模，得20十8十 得280 ① a≤20，即a°+8a≤0， 亦即a(a十8)≤0， 所以实数a的取值范围是[一8,0]. 由②得1=y一x, [典题1解折]。-日得书-2- 代入①得(y-x)2+2(y-x)+2.xy=0, 即(x-1)°+(y+1)=2. ③ 知复数之的虚部为一1，实部为2，所以选项A正确，选项 所以所求的点的轨迹方程是(x一1)2十(y十1)=2， B错误； 即轨迹是以，点(1，一1)为圆心，√2为半径的圈。 对于选项C,1:=√2+（一1）=5，所以选项C正确： (2)由③得圈心为(1，一1)，半径r=√反，直线1=y一x与圆 对于选项D,复敦：对应的点为(2，一1)，在第四象限，所 有公共点， 以选项D正确， [答案]ACD 从而应有1-（一1)+L≤2. 2 [典题5][解析](1)：=(1+2i)(-2+i)一 (3+i)(1-i) (1+i)(1-i) 即t+2≤2， =-4-3i-4,2i=-4-3新-(2-D=-6-21. ∴.一41≤0， 2 故方程实根的取值范围是[一4,0]. 第十一章 立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 所以对应直观图的面积为S=2×2×0AX0C× 课前案·自主学习 sin45°=2× X1X2x号-E 1 [教材梳理] 导学1 课堂案·互动探究 问题[提示](1)四棱锥：(2)半球：(3)國锥」 [例1门[解析]步骤如下： ©结论形成 (1)画对应的坐标系x'Oy',使∠xOy'=45. 空间形状 大小 (2)以O为中点在x轴上取AB'-AB,在y轴上取OE 导学2 问题1「提示]为了直规，不一定 0E,以E为中点高CD/轴，并使CDCD 问题2[提示] 平行四边形、扁圆形.为增加直观性 (3)连接BC',DA',所得的四边形A'B'CD'就是水平放 问题3[提示] 不相同。 置的等腰梯形ABCD的直观图，如图。 ⊙结论形成 y 1.空间图形 平面图形 2.()互相垂直(2)平行（或重合）不变原来长度的 一半 导学3 问题1[提示]确定多边形顶，点的位置 触类旁通] 问题2[提示]画立体图形的直观图的思路是转化成画平 1.解析在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥BC于O,以直 面图形的直规图. 线CB,OD分别为x轴，y轴建立平而直角坐标系，如图， 问题3[提示]将被挡住的部分用虚线表示。 ○结论形成 (1)取水平平面(2)垂直于垂直于(3)被面遮挡 住的 [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或 135°，∠xO':'指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角， 其中OD=1cm,OC=1cm,OB=2cm,AD=1cm.AD∥ 所以度数为90°， BC. 3.C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故逸 在平而内取点了，过O作直线Ox',Oy',使∠x'Oy'= C项. 45°，如图， 4.D根据斜二测画法的原则可知OC=2.OA=1, B 0 在直线Oy'上取点D',使OD'=号OD=号cm,过D作 C 线段A'D'∥Ox',使DA'=DA=1cm, 10第十章 复 数· *10.3 复数的三角形式及其运算(略) 章末整合提升 知识网络 复数的分类 复数相等的充要条件 复数的概念 共航复数 复数的模 (a十bi)十(c十di)=(a+c)十(b+d)i 复数的加法法则 复数加法的几何意义 (a十bi)-(c十di)=(a-c)十(b-d)i 复数的减法法则复数减法的几何意义 复数的运算 复平面上两点间的距离d-z-l 复数的乘法法则-(a十bi)(c十di)=(ac-bd)十(bc十ad)i 复数的除法法则a+bi_ac+bdbc-ad. ##i#act06e-d#(c+di7o0)# ②深化提升 角度2 共辄复数 一、复数的相关概念(题点多探 多维探究) 典题②已知复数z、=3十4i,z。=a十i,且 z。是实数,则实数a等于 1.正确确定复数的实、虚部是准确理解复数 0 ) A3 的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复 B 数、共航复数、复数的模)的前提 D-3 2.两复数相等的充要条件是复数问题转化为 实数问题的依据 3.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自 角度3 复数的几何意义 身有意义. 典题已知复数z满足x=(-1十3i)(1-i) 角度1 复数的概念 一4. 1-i 典题](2023·新课标I卷)已知z一 (1)求复数>的共航复数; 2十2i) 则z-- ( (2)若一z十ai,且复数o对应向量的模 ) A.-i B.i 不大于复数。所对应向量的模,求实数。 C.o D. 1 的取值范围. 35 数学·必修 第四册(配RJB版) [自主解答] [自主解答] 二、复数的运算 复数四则运算一般用代数形式,加、减、乘 运算按多项式运算法则计算,除法运算需 把分母实数化,复数的代数运算与实数有 三、复数中的综合问题 密切联系,但又有区别,在运算中要特别注 复数具有代数形式,且复数x一a十bi(a, 意实数范围内的运算法则在复数范围内是 ER)与复平面内的点Z(a,)之间建立了 否适用. 一一对应关系,复数又是数形结合的桥梁 复数的运算包括加、减、乘、除,在解题时应 要注意复数与方程、函数、数列、解析几何 遵循“先定性、后解题”的原则,化虚为实 等知识的交汇. 充分利用复数的概念及运算性质实施等价 典题已知关于t的一元二次方程t^*}十(2+ 转化. it+2xy十(x-y)i=0(x,yER). 3i,则下列说 (1)当方程有实根时,求点(x,v)的轨迹 典题(多选题)设复数= 1十i' (2)求方程实根的取值范围 。 法正确的是 ) [自主解答] A.z的实部为2 B.z的虚部为一i C. 1zl-5 D.在复平面内对应点在第四象限 典题已知复数z=(1十2i)(-2+i) 3 (1)计算复数z; (2)若 *+(2a-1)z-(1- i)6-16=0,求 实数a,b的值 36 第十章 复 数· 3思维辨析 (1)若&+2=1+i,求1+i1-ì ## 2 忽略根的判别式求解复数方程而致误 (2)若z十z。为纯虚数,z一z。为实数,求 [典例] 已知关于x的方程文x{}十bx十^{}-2k a,b. 一0有一个模为1的虚根,求实数的值 [错解]设两根分别为z1,2, [审题指导](1)根据几何意义,求出复数 则 =,l=l2 |=1,则 ·2=1. 2.,2,然后根据运算法则求解;(2)根据复 又·22-^{}-2h,所以 ^2-2k-1,$$ 数的概念求参数。 即=1-/②,-1+/② [规范解答]:AB-(a,1)一(1,2) [正解] 由题意,得 (-1,-1),CD=(-1,b)-(2,3)= -^-4(^$-2 )--3^$}+8 $$ (-3,b-3), ..z=(a-1)-i,z。=-3+(b-3)i 设两根分别为z,。,则 '.2+z=(a-4)十(b-4)i.......(3分) =×,2|=|2|=1, (1)又z十z。-1十i, 得2·2-1. /a-4-1, (a-5. . 解得 $# .. 2-^{②}-2k,所以^{②}-2k-1$$ b-4-1, b-5, 即=1-2,h=1十/2(舍去), .z4-i,2=-3+2...........(5分) 所以-1-2. .1i1-i_ 1十i 士 -1阅卷提醒一 [纠错心得]复数范围内解方程的一般思路 21 2 4-i 此处如省略计算 过程扣2分, 是.依据题意设出方程的根,代入方程,利用 1-i (1十i)(4+i) _ -3十2i 士 复数相等的充要条件求解,对于一元二次方 4^{2十1{2 (1-i(-3-2i)3+5i-5+i 程,要注意在复数范围内负数是能开方的,也 46 17 -13 (-3)2十2{} 221 可以利用求根公式求解,此外,根与系数的关 系也,是成立的,注意求方程中参数的取值时, 82 ................................. (8分) 不能利用判别式求解. (2)由(1)得z.十z。=(a-4)十(b-4)i 4规范答题 .-z:-(a+2)+(2-b)i, 复数运算的综合应用 若2.十z。为纯虚数,一z。为实数, [典例] (13分)已知A(1,2),B(a,1), C(2,3),D(-1,b)(a,ER)是复平面上的 (a-4-0, a-4, 则6-4去0,解得 四点,且向量AB,CD对应的复数分别为 .........(13分) b-2. z12. 2--0, 提示:[章末达标检测]请完成检测卷(二) 37