第九章 解三角形 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

@ ∠CBD=90°+30°=120°， B 在△BCD中，由正弦定理， 由正孩定理得sin Bsin A=-sin Asin乞， BD CD 得sinBCD sin/CBD :sinA≠0，∴.2sin7cosz B ∴sin∠BCD=BDin∠CBD-_10t·sn120_1 sin B=1 CD 10V3t 21 ≠0，cos2=2 2 .∠BCD=30°， .辑私船沿北偏东60°的方向行驶 0<B<B=号 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， 故△ABC为纯角三角形. [典题3][解析](1)由(a+b+c)(a+b一c)=ab可得 .∠D=30°，BD=BC,即10t=√6. a+82-c=-ab, 小时≈15分钟， t=10 ab 2ab .蜂私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快戴获走私 帮，考委小时，即大约15分钟 C∈(0，x,因此C-2 3 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (2):Sae=Sam+SAam,即合a6sin号=是6× 课前案·自主学习 2n+×2a [教材梳理] 导学 1.选题开题做题结题 ab=a+zb≥v2ab, 2.合适对象活动步骤记录数据 ab>号，当且收者6=2a即a=g,6=8时等号 3 章末整合提升 [深化提升] 成立， [典题1][解析](1)由余弦定理有a+b-c2=2 abcos S-只b>8,△ABC面款的最小值为8 3 C,又a2+b-e2=2ab, [典题4幻[证明](1)根据正弦定理， 可得cosC=。+-c-区ab_2 2ab 2ab 2 左边=4 sin'A+4R'sin2B 4R'sin'C 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, =sinA十sinB=右边， sin'C 即原等式成立 又因为sinC=2cosB,即cosB=2,注意到B∈(0，)， (2)根据余弦定理， 右边=2(c·+公+a.+女8+b, 所以B=子 2bc 2ca a2+6-c\ ②由)可得B音0C-号.C∈0,0，从而C=景 2ab 2 =(6+2-a2)+(c2+a2-b)+(a2+6-2) A=--=5x =a2十b2十c2=左边，即原式成立. 3 4121 [典题5][解析](1)在△ADC中，因为∠ACD=30°， 而mA==(+)-竖x+竖x ∠BDC=45°，∠ADB=75°， 2 所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°， 6+2 ∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°， 4 又DC=403, 由正孩定理有Q。= b 5 sin2 sin sin 所以由三骏定理可得如2c织C即8 AC sin 30 从两a=6+2.=,6=9:-9 AC 4 2 in120,解得AC=120, 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ACc= 所以A船距离雷达站C距离为120海里. 合nc-,·号-35， (2)在△BDC中，根据正弦定理可得 2 8 sn∠BDG sin∠DBc,即BC BC DC 由已知△ABC的面积为3+5，可得3+5=3+5， sin 45 8 所以c=2V瓦. sin(180°-45-30-45解得BC=402, 40√3 [典题2】[解析]“sin会(asin号+2bcos分) 在△ABC中，由余弦定理可得AB=1202+(40√2)2-2 ×120×40√2cos45=8000,解得AB=40√5， =acos 因为A船以30海里每小时的建度前往B处，而405 30 45∠3， 3 .in=acosA生9=acos-=asin号. 2 2 所以能在3小时内赶到救援。 6。数学·必修第四册（配RJB版） 续表 (3)活动方案（包括测量原理、创新点描述等） (4)活动工具描述（包括自制工具的制作步骤等） (5)活动过程中记录的数据 (6)根据数据计算结果 (7)活动总结（包括误差分析、活动感受等） 活动结束时间： 章末整合提升 1 知识网路 b 定理内容：sin A sin B sin C 变形形式：a:b:c=sinA:sinB:sinC:a=2 Rsin A:sinA=2R等 正弦定理 面积公式：S= 2absin C-1 ucsin Besin A 已知两角和一边，求其他的边和角 应用范围 已知两边及一边对角，求其他的边和角 解 定理内容：a2=b十c2-2 bccos A.b=a2+e2-2 accos B,c2=a2+b-2 abcos C 角 余弦定理 2he ,cos B=atc 变形形式：cosA=6十2-a2 2ac ,cos C=atb-c 2ab 已知三边，求三个角 应用范围 已知两边和夹角，求其他的边和角 应用举例：从实际问题中抽象概括出数学模型，然后求解，常利用正、余弦定理处理距离问题、高度问题、 角度问题、几何计算等 16 第九章解三角形。 2深化提升 二、三角形中的计算问题 (题点多探多雏探究)》 一、利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一般要先审查题设条件，进 三角形中计算问题主要涉及三角形的边 行归类，根据题目类型确定应用哪个定理 长、角度及面积的计算和三角形形状的判 解决。 断.在三角形的面积公式中，S=2 absin C 解斜三角形通常有以下四种类型 1 已知条件 应用定理 一般解法 2 acsin B=esin A是最常用的，因为公 由∠A+∠B+∠C= 一边和两角 式中既有边也有角，容易与正弦定理、余弦 180°求出∠A,由正弦定 (如a,∠B, 正弦定理 定理联系起来。 理求出b与c ∠C) 几何中的长度、角度的计算通常转化为三 只有一解. 由余弦定理求出第三边c, 角形中边长和角的大小的计算，利用正、余 由正弦定理求出小边所对 弦定理解决问题.解决此类问题的关键是 两边和夹角 余弦定理 的角，再由∠A+∠B+ 构造三角形，将已知量与待求量集中在同 (如a,b,∠C) 正弦定理 ∠C=180求出另一角. 一个三角形中，依次解三角形求解， 只有一解。 角度1判断三角形的形状 由余弦定理求出∠A, 三边 ∠B,再利用∠A十∠B 典题2△ABC的内角A,B,C的对边分别 余弦定理 (a.b.c) +∠C=180°求出∠C. 为a,b.c,且满足tan分(asin号+2bcos》 在有解时只有一解. 由正弦定理求出∠B,由 C =acos ，试判断三角形形状. ∠A+∠B+∠C=180° 求出∠C,再利用正弦定 自主解答] 理求出边c,可有两解、 两边和其中 正弦定理 一解或无解.也可根据 一边的对角 或余弦定理余弦定理，列出关于c (如a,b,∠A) 的一元二次方程，解方 程求边c,然后应用正弦 定理或余弦定理求出其 : 角度2三角形的面积及最值问题 他元素. 典题易(2024·山东潍坊高一期中)在 典题1(2024·新课标I卷)记△ABC的内 △ABC中，角A,B,C的对边分别是 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= a,b,c,满足(a+b+c)(a+b-c)=ab. 2cosB,a2+b-c2=√2ab. (1)求角C; (1)求B: (2)若点D在AB上，CD=2,∠BCD=90°， (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 求△ABC面积的最小值： [自主解答 [自主解答] 17 。数学·必修第四册（配RJB版） 三、恒等式的证明 (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离 证明有关三角形中边角关系的恒等式，若 为多少？ 出现边角混合关系式，通常情况下，有两种 (2)若A船以30海里每小时的速度前往B 方法：化边为角，将已知条件统一用角表 处，能否在3小时内赶到救援？ 示；化角为边，将已知条件用边表示，然后 [自主解答] 利用角的关系或边的关系进行求解，从而 使问题得到解决 典题4在△ABC中，求证： (1)sin'A+sin'B sin'C (2)a2+62+c2=2(bccos A+cacos B+ abcos C). [自主解答] 3思维辨析 正、余弦定理的综合应用 [典例]如图，一个湖的边界是圆心为O的 圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有 桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路1 四、正、余弦定理在实际问题中的应用 上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路 解三角形知识在实际中的应用主要是解决 PB,QA.规划要求：线段PB,QA上的所 生活中的测量问题，即测量不可到达的两 有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 地距离、建筑物的高度、航行问题中的方位 已知点A,B到直线l的距离分别为AC和 角等.解题的途径是通过理解题意，画出示 BD(C,D为垂足)，测得AB=10,AC=6, 意图，构造三角形模型，转化为解三角形的 BD=12(单位：百米). 问题 D c 典题海岸上建有相距403海里的雷达 站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故 障发出的求救信号后，调配附近的A船紧 0 急前往救援，雷达站测得角度数据为α= ∠BCA=45°，B=∠ACD=30°，Y=∠BDC (1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB =45°，8=∠ADB=75. 的长； SOS (2)在规划要求下，P和Q中能否有一个 点选在D处？并说明理由 [解析](1)过A作AE⊥BD,垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE=BE=AC=6(百米)，AE=CD=8 (百米). 18 第九章解三角形。 因为PB⊥AB, 4规范答题 所以cos∠PBD=sin∠ABE= 8=4 105 有关三角形面积问题的计算 [典例](13分)在锐角△ABC中，a,b,c分别 BD 所以PB= cos∠PBD 12=15(百米). 为角A,B,C所对的边，且3a=2 csin A. 5 (1)求角C的大小： 因此道路PB的长为15百米. Q I (2)若c=万且△ABC的面积为3，求 a+b的值. [审题指导](1)结合正弦定理，将边转化 为角的三角函数关系求角C; (2)由面积公式，建立关于a,b的关系方程 (2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上， 求解 [规范解答] (1)由正弦定 :阅卷提醒卜 则线段BE上的点（除B,E)到点O的距 理得 若漏掉①处扣 离均小于圆O的半径，所以P选在D处不 掉2分. a-sin A 满足规划要求 sin C ,…（2分) ②若Q在D处，连接AD, 由3a=2 csin A得a= 2sin A …(3分) 由(1)知AD=√AE2+ED=10, 3 从而cOS∠BAD=AD+AB-BD 所以2sinA=sinA sin C ……(4分) 2AD·AB 3 >0 因为sinA≠0，所以sinC= 2 44…… 所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在 (5分) 因为△ABC是锐角三 ,阅卷提醒卜 点到点O的距离小于圆O的半径 角形， 若漏掉④扣掉1分 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处 所以C=π」 …(6分) [纠错心得]解决应用举例问题的两个关注点 (2)固为c=7,C=子，由面积公式得 (1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给 出的角（注意明确相关角的概念）及给出的相 2absin 吾-8y5.即6=69.…8分 应长度，正确画出对应的图形，在图形中标出 相应的角度或长度， 由余弦定理得a+6-2abc0s智=7， (2)根据图形中的数据，合理选择公式及定 a2+62-ab=(a+b)2-3ab, 理，注意在利用余弦定理时，有时会出现两个 =(a十b)2-3×6=7,…(11分) 解，解题时要注意根据实际情况进行取舍，避 所以(a十b)2=25,可得a十b=5, 免出现增解 故a十b=55.…(13分) 提示：[章末达标检测]请完成检测卷（一） 19