11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第十一章立体几何初步。 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 学业标准 素养目标 1.通过几何体体积公式的推导，培养逻辑推理核 1.熟记柱、锥、台和球的体积计算公式 心素养 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的 2.通过对几何体体积及相关量的计算，培养直观 体积.（重点、难点） 想象和数学运算核心素养。 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2柱、锥、台、球的体积公式 问题1初中学过的正方体，长方体的体积公 导学1祖暅原理 式是什么？ ?问题取一摞纸张堆放在桌面上（如图所 示)，并改变它们的放置方法，观察改变前 后的体积是否发生变化？从这个事实中你 问题2等底等高的棱锥的体积相等吗？ 得到什么启发？ 问题3圆柱的体积怎么求？ ©结论形成 柱、锥、台、球的体积公式 ◎结论形成 (其中S,,S2(S)表示上下底的面积，h表 祖暅原理的含义及应用 示高，R表示球的半径) (1)内容：幂势既同，则积不容异 (2)含义：夹在 名称 体积(V) 的两个几何体，被 柱体 平行于这两个平面的 所截，如果 截得的 ,那么这两个几 锥体 v-3sh 何体的体积相等. 台体 V=(S,+S5+S) (3)应用： 的两个柱体或 球 锥体的体积相等， V=专R 61 。数学·必修第四册（配RJB版） 步基础自测 3.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2， 高为3，则这个圆台的体积为 ( 1.判断正误（正确的打“√/”，错误的打“×”） (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( A.6π B.7π (2)台体的体积可转化为两个椎体的体积 : C.8π D.9x 之差 ( 4.底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积 (3)两个球的半径之比为1：2，则其体积 是 之比为1：4. ( (4)圆台的高就是相应母线的长. A.3 B.1 2.半径为3的球的体积是 ( ) A.9π B.81π C.27π D.36π c 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 柱体、锥体、台体的体积 [触类旁通] 2.如果两个球的表面积之比为4：9，那么这 例1(2023·新课标I卷)在正四棱台 两个球的体积之比为 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AB1=1, A.8:27 B.2:13 AA,=√2，则该棱台的体积为 C.4:943 D.2:9 规律方法 题型三 体积的综合计算 一题多变 此类问题很基础，根据已知条件确定公式中 所含字母的值，代入公式即可得解，注意利用方程 例3如图，正方体ABCD-A,B,CD的棱长 (组)的思想求解相关几何量 为a.截面A,DB将正方体分成两部分，其 [触类旁通] 体积分别为V1,V2,且V2>V1. 1.已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1：4:4,母线长为10，则圆台的体积为 题型二 球的体积 例2若某平面截球得到直径为6的圆面，球 (1)求V1,V2以及V,:V2; 心到这个圆面的距离是4，则此球的体 (2)求A到平面A,BD的距离d. 积为 ( [自主解答] A.100x 3 B.208x 3 C.500x 3 D.416x 3 规律方法 球的表面积是关于半径的平方的函数，而体 积则是关于半径立方的函数。 62 第十一章立体几何初步。 [母题变式] : [触类旁通] (变条件)若例3中的正方体改为长方体， 3.如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD 则对应截面将该几何体分成两部分的体积 2cm,下底BC=10cm,底角∠ABC=60°， 之比是否会发生变化？试证明你的结论. 现绕腰AB所在直线旋转一周，求所得的 旋转体的体积. 60 「缜密思维提能区 易错辨析 球的切、接问题 [典例]在半径为15的球O内有一个底面 边长为12√3的内接正三棱锥A-BCD,求 此正三棱锥的体积。 [解析]①如图甲所示的情形， 显然OA=OB=OC=OD=15. 设H为△BCD的中心， :1易错警示上】 则A,O,H三点在同一条 此处易忽略A,0, H三点共线，进 直线上 而思路受阻 [素养聚焦]通过体积的综合计算，培养直 因为HB=HC=HD 观想象数学运算和逻辑推理核心素养 规律方法 2X2×12312, 3 求几何体体积的常用方法 所以OH=√OB2-HB=9, 公式法 直接代入公式求解 所以正三棱锥A-BCD的高h=9+15 例如四面体的任何一个面都 =24. 等积法 可以作为底面，只需选用底 面积和高都易求的形式即可 体积 又S△KD= 将几何体补成易求解的几何 3×123)2=1083, 补体法 如棱锥补戍棱柱，三棱 柱补成四棱柱等 将几何体分割成动求解的几 所以V三装维A-BCD= 3×1083×24 分割法 部分，分别求体积 8643. 63 。数学·必修 第四册（配RJB版） [纠错心得]解决此类问题的关键是抓住外 接的特点，即球心到多面体顶点的距离等于 0 D 球的半径，正棱锥的外接球的球心在其高上 具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定 理计算得到 ②对于图乙所示的情形，同 :1易错警示 课堂小纬 此处易漏掉②这 理，可得正三棱锥A-BCD 种情况，进而造 知识落实 技法强化 成滿解 的高h'=15-9=6,S△D= (1)求组合体体积的 (1)祖胞原理 108√3， 方法有公式法、割补 (2)柱体、锥体、台体的体积。 法、转换顶点法， 所以V三被ACD= 1 ×1083×6=2163. (3)球的体积. (2)平面图形与立体 (4)组合体的体积. 综上，可知正三棱锥的体积为8643或 图形切换不清楚。 2163. 请完成L课后案」学业评价（小三） 提 阶段测评（二） 教考 衔接 几何体的外接球与内切球 一、真题展示 (2022·新高考全国卷Ⅱ)已知正三棱台的 M 01 4w3 高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3， 其顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为 ( ) A.100π B.128π [答案]A C.144π D.192π 二、真题溯源 [解析] 由题意得，上底面所在平面截球 所得圆的半径是3， (教科书第88页练习B第5题) 下底面所在平面裁球所得圆的半径是4， 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球 则轴截面中由几何知识可得√R2一32+ 的球面上，而且这个正三棱锥的所有棱长 √R2-4=1,解得R2=25, 都为2，求这个球的体积. 因此球的表面积是S=4πR2=4π·25= 三、类法探究 100π，故选A. 与球有关的内切、外接问题是立体几何的 一个重点（切、接问题的解题思路类似，此 处以多面体的外接球为例).研究多面体的 B 3w3 外接球问题，既要运用多面体的知识，又要 0 运用球的知识，并且还要特别注意多面体 的有关几何元素与球的半径之间的关系. 64即d1-d=√R-r开-√R-r=√13-5 因为AB=2,AB1=1,AA,=2, /13-12=12-5=7: 如图②所示，当球的球心在两个平行平面之间时， 则A,0=AG=号×A,=号A0= 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和。 X2AB=@, 1 即山1-d:=R-r开+√R-乃=13-5+ √132-12=12+5=17. 故AM=吉(AC-AG)-号，则AM=AA-AM 所以这两个平面间的距离为7或17. v- 所以所求体积为V=×(4+1十x×5=76 3 6 故答案为76 6 d [答案] 76 6 [触类旁通] ① ② 1.解析设上底面半径为r,则下底 -0 答案7或17 面半径为4r,高为4r,如图. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 因为母线长为10， 课前案·自主学习 所以有10=(4r)+(4r一r),解得r [教材梳理 =2. -------0 导学1 所以下底面半径R=8,高h=8, 问题[提示]体积没有发生变化，从这个事实中能够精测 所以V。-专(S,+V55+Sh 出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相 1 等，则这两个几何体的体积相等， (+rR+ O结论形成 (2)两个平行平面间任意平面两个截面的面积总相等 =3x(4+2×8+8)×8=224x (3)等底面积，等高 答案224开 导学2 [例2][解析]如图，O为球心，O是截面圆的圆心，设球 问题1[提示]正方体的体积V=a(a为正方体的棱长)，长 : 的半径为R,则由题意可得 方体的体积V=ade.(a,b,c分别为长方体的长、宽和高) O)=4,O,A=3,在R1△00，A中，OA=OO+O,A 问题2[提示]根据祖啦原理可知，等底等高的棱锥的体 : =√16+9=5，则R=5, 积相等， 问题3[提示]圆柱的体积等于底面积乘以高. 所以球的体积为音R= 3x×5-500m 3 ©结论形成 V=Sh [基础自测] 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.DV=号×3=36元 01 3.B由已知得S上=x·1=π，S,=开·2=4π，所以V6标 =号(5+S,+VS·S)6=专x+4x+2)·3 [答案]C [触类旁通] =7r. 2.A设两球的半径分别为片1r,则 π 4.A底面边长为2，高为】的正三棱柱的体积是 (×2）×1=a 38 所以两球的体积比为了： 271 课堂案·互动探究 3 ar [例1门[解析]如图所示，过A,作A,M⊥AC,垂足为M [例3][解析](1)战面将正方体化为两个几何体，其中较 易知AM为四棱台ABCD-A:BCD的高， 小部分是一个三棱维A,-ABD,其中底面△ABD是腰长 D 为a的等腰直角三角形，共面积S=号×ABXAD=-7d 底面△ABD上的高为h=AA,=a. 1 64 D 正方体的体积V=a, 所以=v-V=a-言a-名c 64. 所以V,:V2=1:5. ⑧ (2)三棱锥A-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在 正六梭柱的底面外接圆的半径r= ?,球心到底面的距 △A,BD中，AB=BD=AD=√2a. 取BD的中，点H,连接AH,则AH⊥BD,BH=HD 离d= 2 24, 六外接球的丰径R=VP十d-1。-餐 D [答案]智 B [触类旁通] 1.解析设该正方体的外接球半径为R,内切球半径为r,正 D 方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直 径，即2R=3a,2r=aR=5a. ar=受 3 所以AH=√AB-BF-、W2aY- (a- 答案 [典例2][解析]：AB⊥BC,BC⊥CD,枸造如图所示的 其面款S=号BD,A,H=号X,Ea× 2a 长方体， 则AD为三棱锥A-BCD的外接球 VAAm=VAAD· 的直径，设外接球的半径为R. Vm=号×号×BCX CDX AB 2 解得d受，即A到个面A,BD的矩离为气。 =日×2xCDx2=音 [母题变式] .CD=2,该长方体为正方体， 解析不妨设长方体ABCD-A,B,C,D中.AB=a,AD .AD=25,∴R=5, =b,AA:=C,截面将长方体化为两个几何体，其中较小部 分是一个三枚维A,-ABD,其中底面△ABD是两直角边 故外接娘体积为V=专R=4Vx 分别为a,b的直角三角形，共面积S-合×ABXAD- [答案]4w3元 [触类旁通] 2b.底面△ABD上的高M=AA,=c,所以其体积V= 1 2.解析根据题意可知，该三枚维的三条侧校两两垂直， .把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别 号s班=号×名0bXe=言a,长方体的体软V=ak,所以 为1,2√3的长方体，于是长方体的外接球就是三橙维的 =V-V=ak-言k=名k,所以VV=1:5,故 外接球. 设其外接球的半径为R,则有(2R)2=1十（√②）十 比值没发生变化： (3)=6. [触类旁通] 3.解析过点D作DE⊥AB,交BA的挺长线于点E,过点 : “R=号，截其外接球的表面积S=R=6 C作CFAB于，点F,Rt△BCF绕AB所在直线旋转一周 答案6x 形成以C℉为底面半径，BC为母线长的圈锥：直角梯形 [典例3][解析]如图，设正四棱锥的底面中心为O, CFED绕AB所在直线旋转一周形成圆台：Rt△ADE绕 ∴.SO垂直于底面ABCD,令外接 AB所在直线旋转一周形成一个國 球球心为O, 锥，那么梯形ABCD绕AB所在直 .△ASC的外接圈就是外接球的一 线旋转一周所得的几何体是以CF 个轴裁面国，外接圆的半径就是外 为底面半径的圆维和圆台挖去以 接球的半径 A为顶点，以DE为底面半径的园 在△ASC中，由SA=SC=2,AC 锥的组合体 609 =2, AD=2,BC=10,∠ABC=60°. 得SA+SC=AC .BF=5,DE=3,AE=1.FC=5√3，EF=4,AB=8 .△ASC是以AC为斜边的直角三角形. .旋转后所得几何体的体积为 ·BF,FC+号x·EF·(DE+FC+DE 1是外楼圆的辛搭，也是外接球的辛径。 FC)-子x·AE:DE=248xem. 故W=警 教考衔接2几何体的外接球与内切球 [答案]智 [典例1门[解析]设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则 [触类旁通] 6x=3, 1 3.解析作正方体对角面的藏面，如图所示，设半球的半径 有 =6x9. 8 h=5. 为R,正方体的棱长为a,那么CC=a,OC=②4 21 16