11.1.5 旋转体-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第十一章立体几何初步。 11.1.5 旋转体 学业标准 素养目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义， 1.通过将现实生活中的实物抽象成旋转体，培养 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.（重点） 数学抽象核心素养 3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区 2.通过圆柱、圆锥、圆台及球的相关计算，培养数 分几何体.（难点） 学运算及直观想象核心素养 4.会求球的表面积. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ⊙结论形成 圆柱、圆锥、圆台的概念与结构特征 圆柱、圆锥、圆台的概念及结构 导学1 名称 圆柱 圆锥 圆台 特征 以直角三角形的以直角梯形中 以矩形的为 所在的 所在直 旋转轴，将矩形 直线为旋转轴，线为旋转轴，将 定义 旋转一周而形成 将直角三角形旋 直角梯形旋转 的几何体叫 转一周而形成的 周而形成的几何 圆柱 问题1上图中的几何体是多面体吗？ 几何体叫圆锥。 体叫圆台 上底面 轴 线 图形 及 母线 底面 下底 表示 图中的圆柱记作图中的圆锥记作 图中的圆台记 作 问题2以直角三角形的一条边所在的直线 0'2m 为轴旋转360°而形成的曲面所围成的几何 侧面 展开图 2行 体是圆锥吗？ 20 上、下底面是平 底面是圆面，有行且大小不同 两个底面互相平 无数条母线，长的圆面，母线的 行，有无数条母度相等且交于一 延长线交于 结构 线，且长度相等， 点，平行于底面 点，平行于底面 特征 都与轴平行，轴 的截面是与底面的截面是与两 问题3能否由圆锥得到圆台？ 截面是全等的 大小不同的圆， 底面大小都不 矩形 轴截面是全等的同的圆，轴截面 等腰三角形. 是全等的等腰 梯形。 在旋转体中，通过的平面所得到的截面简称 轴截面 为轴截面。 57 ©数学·必修第四册（配RJB版） 导学2球的概念及几何特征 基础自测 问题1球可以看作半圆绕它的直径旋转 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 周而形成的吗？ (1)圆锥过轴的截面是一个等腰三角形. ( (2)直角三角形绕它的一条边旋转一周形 问题2球与球面是相同的概念吗？ 成的几何体是圆锥。 (3)下图中的几何体是圆锥。 () ⊙结论形成 球的概念与结构特征 --0 球及相关概念 图形及表示 (4)圆锥的母线长一定大于底面圆的半径 定义 围成的几何体称为球 ) (1)球面 2.下列几何体中不是旋转体的是 定义1：一个 绕着 所在的直线旋转一周所形成 的曲面。 定义2：球面可以看成空间中到一个 定点的距离等于 的点的 3.(多选题)用一个平面去截一个几何体，得 集合 到的截面是圆面，这个几何体可能是 (2)球心：形成球面的半圆的 相关 ( 概念 直 (3)半径：连接球面上一点和球心 A.圆锥 B.圆柱 的 图中的球记作 C.球 D.棱柱 (4)直径：连接球面上两点并且通 4.如图所示立体图形是由哪个平面图形旋转 女 的线段 (5)大圆： 的平面截得 得到的 的圆 (6)小圆：球面被不经过球心的平 面截得的圆 表面积S (R为球的半径) 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 旋转体的结构特征 C.在圆台上、下两底面的圆周上各取一 点，则这两点的连线是圆台的母线 例1（多选题）下列四种说法中，正确的是 ( D.圆柱的任意两条母线相互平行 A.在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一 规律方法 点，则这两点的连线是圆柱的母线 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它 B.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的 们的结构特征，要正确把握它们概念的本质，多考虑 连线是圆锥的母线 几种可能的情形.同时，要注意旋转体的特征。 58 第十一章立体几何初步。 [触类旁通] : [母题变式] 1.下列命题中正确的是 1.(变条件、变结论)把本例的条件换为“圆台 A.棱锥的高可能在几何体之外 两底面半径分别是2cm和5cm,母线长 B.上下底面平行且都是四边形的几何体 是3√I0cm”,则它的轴截面的面积是 是四棱台 C.圆锥的母线可以比圆锥底面圆的半 径短 2.(变条件、变结论)把本例的条件换为 D.圆柱的侧面展开图不可能是正方形 “一圆锥的母线长为6，底面半径为3， 题型二圆柱、圆锥、圆台中的计算问题 用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长 一题多变 为4”，则圆台的另一底面半径为 例2如图所示，用一个平行于圆锥SO底面 的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的 [素养聚焦]本题主要考查利用旋转体的 面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是 轴截面或其他截面，理解运算对象，探究 3cm,求圆台OO的母线长 其运算思路，突出考查数学运算核心 素养 规律方法 简单旋转体的轴截面及其应用 0 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高 [自主解答] 等体现简单旋转体结构特征的关键量 (2)在轴截面中解决简单旋转体问题，体现了化空 间图形为平面图形的转化思想： [触类旁通] 2.(2024·福建莆田高一期中)我国古代数 学专著《九章算术》中有这样一个问题： “今有木长二丈，围之三尺.葛生其下， 缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”其 意思为：“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛 藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木 7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为 多少？”若1丈=10尺，则葛藤最少长 ( A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺 59 ©数学·必修第四册（配RJB版） 题型三球的相关计算 [解析]图(1)不是圆柱，1易错警示 此处易与圆柱 因为从其轴截面可以看出， 的定义混淆， 3已知△ABC是面积为9 误认为是圆柱 的等边三角 该几何体不是由矩形绕其 形，且其顶点都在球O的球面上.若球O 一边所在直线旋转一周得到的； 图(2)不是圆锥，因为该几何体不是由直角 的表面积为16π，则O到平面ABC的距 三角形绕其直角边所在直线旋转一周得 离为 ( 到的； A.3 图(3)不是圆台，因为该几何，1易错警示 此处易与圆锥 体的上、下底面所在的平面不 的定义混淆， C.1 n 误认为是圆锥 平行，不是由平行于圆锥底面 规律方法 的平面截得的. 把握住球的表面积公式S=4πR2是解题的 [答案]0 关键。 [纠错心得]判断圆柱、圆锥和圆台时，要紧 [触类旁通] 扣定义，必要时可借助于模型增加直观感， 3.(2024·山东潍坊高一月考)两平行平面截 课堂小结 半径为13的球，若截面面积分别为25π和 144π，则这两个平面间的距离是 知识落实 技法强化 [缜密思维提能区] 易错辨析 (1)解决旋转体问题 圆柱、圆雏、圆台的结构特征 (1)圆柱、圆锥、圆台、球的结的常用方法是转化 [典例]如图所示，下列几何体中，图(1)是 构特征. 与化归. 圆柱，图(2)是圆锥，图(3)是圆台，上述说 (2)旋转体的有关计算公式. (2)同一平面图形以 法正确的有 个 (3)旋转体的有关计算公式不同的轴旋转形成 的应用 的旋转体可能是不 同的， (2) (3 请完成【课后案】学业评价（十二） 60⑧e 又SB=SB=a,根据勾股定理，SB+SB=BB2=2a, 为直角边，则圆维的母线一定比圆锥底面圆的半径长，故 △SBB是等腰直角三角形，∴∠BSB=90°， C不正确：当圆柱的母线长等于圆柱底面圆的周长时，侧 &LASC=90×号=30 面展开图为正方形，故D不正确， [例2][解析]设圆台的母线长为 ∴.侧棱SA,SC的夹角为30°，故选A. lcm,由截得的圆台上、下底面面积 [例3][解析]：正四棱台的上底面是边长为2的正方 之比为1：16，可设裁得的圆台的上 形，下底面是边长为4的正方形， 下底面的半径分别为rcm,4rcm.过 .上底面、下底面的面积分别是4,16. 轴S0作戴面，如图所示. :侧枝长为2，侧面是全等的等腰梯形， 则△SOA'∽△SOA,SA'=3cm. 斜高为4-（号）=。 所以-歌所以 3 :侧面的面积为2×(2+40X,5=35, 4 ∴.四棱台的表面积为4十16十33×4=20十12√3」 解得【=9，即圆台的母线长为9cm. [触类旁通] [母题变式] 3.解析由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上 1.解析马出轴戴面，如图， 0' 底长为5√2，下底长为7√2，高为3，则侧棱长为 过A作AM⊥BC于M, 则BM=5-2=3(cm), 3+(2)=√/1. AM=√AB-BM=9cm, 答案√T 11.1.5旋转体 所以S。事D=4+10)X9 2 课前案·自主学习 =63cm. [教材梳理 答案63cm 导学1 2.解析 作轴戴面如图， 问题1[提示]不是。 问题2[提示]不是，绕斜边旋转所得的是两个圆维， 问题3[提示]用平行于圆雏底面的平而截去一个圆锥可 以得到 O结论形成 一边一直角边垂直于底边的腰圆柱O)圆锥S) 圆台00轴 则5=6-41 导学2 3 6 ,所以r=1 问题1[提示]可以. 答案1 问题2[提示]球与球面是完全不同的两个概念，球指球 [触类旁通] 面所围成的几何体，而球面只指球的表面部分。 2.C根据题意知，园柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， ○结论形成 矩形的高（即圆木长）为20尺，矩形的底边长为7×3 球面(1)半圆它的直径定长(2)圆心(3)线段 21(尺)， (4)球心(5)球面被经过球心 因此葛藤最少长√/203十21=29（尺）. 4πR2球O [基础自测] 1.(1)√(2)×(3)×(4)J 2.D由旅转体的概念可知，选项D不是旋转体 3.ABC棱柱的任何戴面都不可能是园面， 4.D组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应 该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋 [倒8】[解桥]由等造三角彩AC的西软为9，得 转而成的，观察四个选项得D正确. 课堂案·互动探究 AE=9,得AB=8,时△ABC的外接周丰径r 4 [例1门「解析]A所取的两点与园柱的轴的连线所构成的 四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与园柱母线定义不 号×号AB-号AB-原设球的丰径为R,别向球的表而 符.C所取两，点连线的延长线不一定与轴交于一点，不特 积为16π，得4πR=16,得R=2,则球心O到平面ABC 合园台母线的定义，B、D特合圆锥、圆柱母线的定义及 的距离d=√R-产=1，故选C. 性质。 [答案]C [答案]BD [触类旁通] [触类旁通] 3.解析球的半径为R=13.设两个戴面圆的半径分别为 1,A对于顶点在底面投影在底面多边形外的棱锥，其高在 r,r2,球心到截面的距离分别为d1,d山2：球的半径为R,由 几何体之外，故A正确：上下底面平行且侧棱交于一点的 x=25π，得片=5；由元r=114π，得r2=12; 几何体是四棱台，故B不正确：圆维底面圆的半径、母线和 如图①所示，当琼的球心在两个平行平面的外侧时， 高可以构成直角三角形，其中母线为斜边，底面國的半径 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差： 4 即d1-d=√R-r开-√R-r=√13-5 因为AB=2,AB1=1,AA,=2, /13-12=12-5=7: 如图②所示，当球的球心在两个平行平面之间时， 则A,0=AG=号×A,=号A0= 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和。 X2AB=@, 1 即山1-d:=R-r开+√R-乃=13-5+ √132-12=12+5=17. 故AM=吉(AC-AG)-号，则AM=AA-AM 所以这两个平面间的距离为7或17. v- 所以所求体积为V=×(4+1十x×5=76 3 6 故答案为76 6 d [答案] 76 6 [触类旁通] ① ② 1.解析设上底面半径为r,则下底 -0 答案7或17 面半径为4r,高为4r,如图. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 因为母线长为10， 课前案·自主学习 所以有10=(4r)+(4r一r),解得r [教材梳理 =2. -------0 导学1 所以下底面半径R=8,高h=8, 问题[提示]体积没有发生变化，从这个事实中能够精测 所以V。-专(S,+V55+Sh 出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相 1 等，则这两个几何体的体积相等， (+rR+ O结论形成 (2)两个平行平面间任意平面两个截面的面积总相等 =3x(4+2×8+8)×8=224x (3)等底面积，等高 答案224开 导学2 [例2][解析]如图，O为球心，O是截面圆的圆心，设球 问题1[提示]正方体的体积V=a(a为正方体的棱长)，长 : 的半径为R,则由题意可得 方体的体积V=ade.(a,b,c分别为长方体的长、宽和高) O)=4,O,A=3,在R1△00，A中，OA=OO+O,A 问题2[提示]根据祖啦原理可知，等底等高的棱锥的体 : =√16+9=5，则R=5, 积相等， 问题3[提示]圆柱的体积等于底面积乘以高. 所以球的体积为音R= 3x×5-500m 3 ©结论形成 V=Sh [基础自测] 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.DV=号×3=36元 01 3.B由已知得S上=x·1=π，S,=开·2=4π，所以V6标 =号(5+S,+VS·S)6=专x+4x+2)·3 [答案]C [触类旁通] =7r. 2.A设两球的半径分别为片1r,则 π 4.A底面边长为2，高为】的正三棱柱的体积是 (×2）×1=a 38 所以两球的体积比为了： 271 课堂案·互动探究 3 ar [例1门[解析]如图所示，过A,作A,M⊥AC,垂足为M [例3][解析](1)战面将正方体化为两个几何体，其中较 易知AM为四棱台ABCD-A:BCD的高， 小部分是一个三棱维A,-ABD,其中底面△ABD是腰长 D 为a的等腰直角三角形，共面积S=号×ABXAD=-7d 底面△ABD上的高为h=AA,=a. 1 64 D 正方体的体积V=a, 所以=v-V=a-言a-名c 64. 所以V,:V2=1:5.