11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 11.1.2构成空间几何体的基本元素 学业标准 素养目标 1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素， 1.通过借助于正方体、长方体中点、线、面关系判 同时在运动变化的观点下，体会空间中的点、线、面 断命题真假，培养数学建模核心素养。 与几何体之间的关系. 2.通过学习空间中线线、线面、面面的关系，培养 2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平 逻辑推理和直观想象核心素养。 面间的位置关系.（重点、难点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 空间中点与直线、直线与直线的 导学2 位置关系 导学1空间中的点、线、面 问题1平面内两条不重合的直线有哪几种 ?问题 长方体有几个面？每个面分别是什 位置关系？ 么图形？ 问题2空间中两条不重合的直线的位置关 ◎结论形成 系和平面内的一样吗？ 1.构成空间几何体的基本元素有： 2.用运动的观点理解空间基本图形之间的关 ⊙结论形成 系：点动成 、线动成 、面 1.空间中直线与直线的位置关系： 动成 与 3.点、线、面的表示 2.异面直线：空间中既不平行也不相交的 如图所示的长方体可以表示为长方体 直线。 ,它共有8个顶点，可表 3.点、线位置关系的符号表示 示为A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,12条棱可 (1)点A是直线（上的点，可简写为 以表示为 ,点B不是直线L上的点，可简写 6个面可以表示为 为 (2)直线m与直线L相交于点A,可简写为 (3)如果a,b是空间中的两条直线，则必有 a∩b≠0或a∩b=g, 42 第十一章立体几何初步。 空间中直线与平面、平面与平面 4.空间中平面与平面的位置关系 导学3 的位置关系 位置关系 定义 图形表示 符号表示 问题1观察如图所示的长方体ABCD 平行 ang=② a∥g A,B1C,D1,图中直线AA1与各平面什么 位置关系？ 相交 an≠财 aNB=l 导学4直线与平面垂直 如图所示的长方体中 D B 问题2观察问题1中图形，平面AA,DD 与平面ABCD是什么位置关系？ 问题1A1A与AB是否垂直，A1A与AD是 否垂直？ ○结论形成 问题2A1A与AC是否垂直？ 1.平面的表示方法：习惯上，用小写希腊字母 a,B,Y…表示平面. ◎结论形成 2.点与平面的位置关系 1.定义 位置关系 图形表示 符号表示 如果直线L与平面α相交于一点A,且对 平面α内任意一条过点A的直线m,都有 点在平面内 ·A ,则称直线l与平面a垂直，记作 ·B 点在平面外 2.图示 3.空间中直线与平面的位置关系 是α的垂线 a是的垂面 位置关系 图形表示 符号表示 足 直线在平面内 3.点到平面的距离 给定空间中一个平面a及一个点A,过A 直线与平面 可以作而且只可以作平面α的一条垂线. 平行 直线在 如果记垂足为B,则称B为A在平面a内 平面外 直线与平面 的 (也称为投影)，线段AB为平 相交 面a的垂线段， 为点A到平面a 的距离。 43 ©数学·必修第四册（配RJB版） 4.线面、面面之间的距离 2.不平行的两条直线的位置关系是() 直线与平面平行时，直线上 到平 A.相交 B.异面 面的距离称为这条直线到这个平面的距 C.平行 D.相交或异面 离；当平面与平面平行时，一个平面上 3.在如图所示的几何体中，PA,PB,PC, 到另一个平面的距离称为这两平行平 AB,AC,BC六条线段所在的直线中，异 面直线共有 对. 面之间的距离. >基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”) (1)空间中两条直线没有交点，则两条直线 平行. ( ) 4.如图，长方体ABCD-AB,CD中，E为 DD的中点，则BD与平面AEC的位置关 (2)空间中的两个平面可能只有一个交点. 系为 ( (3)若点A在直线m上，直线m在平面 内，则点A在平面内. ( : E (4)直线1在平面外，则直线1与平面平 D 行 ( 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 从运动观点认识几何体 规律方法 在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何 例1如图所示，请画出①②③中线段AB绕 体的形状时，可以借助身边的实物来模拟 着直线1旋转一周形成的空间图形 [触类旁通] 1.请画出线段AB绕直线1旋转一周形成的几 何图形 ① [自主解答] 44 第十一章立体几何初步。 题型二长方体中基本元素之间的关系 2.(变结论)本例中与棱A'D'相交的棱有哪 一题多变 几条？它们与棱A'D所成的角是多少？ 例2在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的 12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那 么在这12条直线与6个平面中， (1)与直线B'C平行的平面有哪几个？ (2)与平面BC平行的平面有哪几个？ [自主解答] 3.(变结论)本例中长方体的12条棱中，哪些 棱的长可以用来表示面A'B与面D'C之 间的距离？ [母题变式] 1.(变结论)本例中， (1)与直线BC垂直的平面有哪几个？ (2)与平面BC垂直的平面有哪几个？ [素养聚焦]通过线面、面面位置关系的判 断，培养直观想象核心素养， 规律方法 本例的实质是考查长方体中有关元素的位置 关系，解决这类问题的关键是识图，然后由概念结 合图形进行解答 45 。数学·必修 第四册（配RJB版） [触类旁通] 题型三点、线、面位置关系图形的画法 2.在长方体ABCD-A,BC,D1中，解下列 例3如图所示，G是正方体ABCD 问题， A1B,CD1的棱DD1延长线上的一点，E, (1)与直线AD平行的直线，与AD异面的 F是棱AB,BC的中点，试分别画出过下 直线； 列各点、直线的平面与正方体表面的交线， (2)与直线AD平行的平面，并用合适的符 (1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1 号表示； (3)与直线AD垂直的平面，并用合适的符 D 号表示； B (4)与平面BCC,B,平行的平面，并用合适 D D 的符号表示 E () (2） [自主解答] 46 第十一章立体几何初步。 规律方法 [解析]①显然是正确的； (1)画直线a在平面a内时，表示直线a的线段只 ②中，直线L还可能与a-易错警示1一 能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分 此处易忽略相交 相交， 这种情况，其原 在这个平行四边形外 因是思维定势造 所以②是错误的； 成的： (2)画直线a与平面a相交时，表示直线a的线段 必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这 ③中，直线l和平面a内过L与a交，点的直 样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强 线都相交而不是异面，所以③是错误的； 的立体感. ④中，异面直线中的另一条直线和该平面 (3)画直线a与平面a平行时，最直观的画法是用 的关系不能具体确定，它易错警示 来表示直线a的线段在表示平面a的平行四边形 此处易忽略平行 们可以相交，可以平行， :这种情况，其原 之外，且与此平行四边形的二边平行 !因是直观想象能 还可以在该平面内，所以 力较差. [触类旁通] 3.下列图形中，满足a∩3=AB,aCa,bCβ， ④是错误的； a∥AB,b∥AB的图形是 ⑤中，直线1与平面α没有公共点，所以直 线L与平面α内的直线没有公共点，即它 们平行或异面，所以⑤是正确的； ⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以 平行，也可以异面，所以⑥是错误的 [答案]①⑤ 缜密思维提能区] 易错辨析 [纠错心得]判断直线、平面的位置关系，要 直线、平面的位置关系 借助于手中的直线（如笔）、平面（如课本、作 [典例]下列命题正确的有 业本等)，紧扣直线、平面位置关系的定义进 ①若直线与平面有两个公共点，则直线在 行判断」 平面内； ②若直线L上有无数个点不在平面α内， 课堂小结 则l∥a; 知识落实 技法强化 ③若直线（与平面a相交，则l与平面a内 (1)注意思维的严 的任意直线都是异面直线； (1)了解空间中点、线、面的 ④如果两条异面直线中的一条与一个平面 谨性， 位置关系 平行，则另一条直线一定与该平面相交； (2)符号语言使用混 (2)点、线、面的符号表示。 ⑤若直线l与平面a平行，则l与平面a内 淆及点、线、面位置 (3)距离. 的直线平行或异面； 关系判断错误。 ⑥若平面a∥平面3，直线aCa,直线bC3, 则直线a∥b. 请完成[课后案】学业评价（九） 47@ 在直线Ox'上取，点C',B',使OC'=OC=1cm,B'= (3)连线，连接AA',BB,并擦去辅助线，则得到圆柱OO。 OB=2 cm. 连接CD',A'B',抹去辅助线得到等腰稀形ABCD的直观 图，如图梯形A'B'C'D'. 0 D B 0 [例2][解析](1)先画出边长为3cm的正六边形的水平 [例3][解析门把直观图还原成原平面图形，如图所示： 放置的直观图，知图①所示， (2)过正六边形的中心O建立'轴，画出正六救雏的顶点 V,在z轴上薇取OV=3cm,如图②所示. (3)连接VA'.VB',V'C,V'D',VE',V'F',如图③所示 (4)擦去城助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的 直观图，如图④所示， y +② 1+w2 /E F B/E 所以这个平面图形是直角梯形，上底长为1，下底长为1十 0' D A 70 D'x B'/CC 2,高为2. B G C ① ② 它的面积5=号×1+1计②)×2=2+厄，故选D [答案]D y [触类旁通] 3.D因为BA'=B'O'=2,由直观图可知，OA'=22, 所以还原平面图形中，OA=4√2，OB=B'=2. BC C C 在Rt△AOB中，AB=6, ③ ④ 则三角形AB0的周长为4√2+2十6=4√2+8. [母题变式] 解析(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在 直线为y轴，平行于AB的直线为x抽，使∠xOy=45,以 上底面△A'B'C'的中心O'与O的连线为z轴. (2)画出底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴 上量取0C= 3cm,OD= 6 cm. 过D作AB∥x轴，AB=2cm,且以D为中心，连接AC, BC,则△ABC为下底面三角形的直观图. 11.1.2构成空间几何体的基本元素 y 课前案·自主学习 C' [教材梳理] A 导学1 问题[提示]六个面，都是矩形】 ○结论形成 - 1.点线面 D/ (3)画上底面，在：轴上截取O)=2cm,过0作x'轴∥ 2.线面体 3.ABCD-A1BCD,AB,BC.CD,DA,AABB1·CC· x轴y轴∥y轴，在y轴上量取OC'= 6 cm.O'D'= DD·AB,B,C,C,D,DA:平面ABCD,平面 3 ABB,A1,平面BCC,B,,平面AB,CD,平面CDDC,平 cm过D作A'B'∥r'轴，AB'=1cm,且以D为中点， 面ADD,A 到△AB'C'为上底面三角形的直观图 导学2 (4)连接成图，连接AA',BB,CC,并擦去辅助线，则三棱 问题】[提示]平行、相交两种 台ABC-A'B'C即为所要画的三棱台的直观图， 问题2[提示]不一样，有平行、相交和异面三种. [触类旁通] @结论形成 2.解析画法：(1)画轴.画出x物，y轴，2轴。 1.相交平行异面 (2)在轴上取点O',使O)等于5个单位长度，过0作 :3.(1)A∈1BEL(2)m∩1=A x轴的平行线O'x',过O作y轴的平行线Oy'.在x轴， 导学3 x轴上分别取，点A,B,A',B',使OA=OB=OA'=OB'= 问题1[提示]通过规察可以发现直线AA在平面 2个单位长度，在y抽，y轴上分别取C,D,C,D,使 AAB,B内，直线AA1也在平面AAD,D内：直线AA,与 OC=OD=OC'=OD'=1个单位长度，画两个圆（椭圆 平面ABCD相交于点A,与平面AB,CD1相交于点A1: 形)，利用Ox'和O'y'画出底面圆O'. 直线AA,与平而BB,CC平行. ⑧ 问题2[提示]相交」 [例3][解析](1)画法：连接GA交A,D,于点M,连接 ⊙结论形成 GC交CD于点N:连接MN,AC,则MM,CN,MN,AC 2.A∈aBEa 为所求平面与正方体表面的交线，如图①所示. 3.1Cal∥alna=B (2)画法：连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长 导学4 线于点Q:连接D,P交CC,于点M,连接D,Q交AA,于 问题1[提示]垂直. 点N:连接MF,VE,则DM,MF,FE,EN.ND为所求平 问题2[提示]垂直. 面与正方体表面的交线，如图②所示， Q结论形成 1.ILm ILa 3.射影AB的长 D 4.任意一点任意一点 [基础自测] B 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 2.D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异而 3.解析AP与BC并面、BP与AC并面、PC与AB并而. 答案。 3 4.解析连接BD,设BD∩AC=O,连接EO, ⊙ ② [触类旁通] 3.C可以根据图形的特，点及直线与平面的位置关系进行 判断. A不满足aCa,故错误， B不满足bCB,故错误， C满足条件，正确】 D不满足a∥AB,b∥AB,故错误. 在△BDD,中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以 11.1.3多面体与棱柱 EO为△BDD,的中位线，则BD∥EO,而BD,亡平面 课前案·自主学习 ACE,EOC平面ACE, [教材梳理] 所以BD.∥平而ACE 导学1 答案平行 课堂案·互动探究 问题[提示] 每个面都是平面多边形」 ⊙结论形成 [例1[解析 平面多边形 (1)多边形(2)公共边(3)棱与棱的公共 点(4)不是棱不在同一个面上(5)平面图形（包含它 的内部) 导学2 问题[提示]有两个面互相平行，且多面体的顶点都在这 两个面上，其余各面都是平行四边形. 3 @结论形成 [触类旁通] 平行平行四边形平行相邻侧面线段（或它的长 1.解析 度)(1)平行六面体(2)①不垂直②垂直③直棱柱 (3)①垂直②矩形③相等 基础自测] 1.(1)(2)W(3)/(4)× 2.D根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足。 3.ABC多面体至少应有四个项点（否则至多三个顶点，而 三个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶，点可国成四个 [例2][解析](1)与直线B'C'平行的平面有平面ABCD, 面，所以A正确：棱柱侧面为平行四边形，其侧校和侧面的 平面ADDA' 个数与底面多边形的边数相等，所以B正确：长方体、正方 (2)与平面BC平行的平面为平面AD' 体都是棱柱，所以C正确：三棱柱的倒面是平行四边形，不 [母题变式] 是三角形，所以D错误， 1.解析(1)有平面AB,平而CD (2)有平面AB,平面A'C',平面CD,平面AC 4.解析①棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形. 2.解析有A'A,A'B',DD,DC',由于长方体六个面都是 ②，③都不能保证侧棱与底面垂直. 矩彩，所以它们与棱A'D'所成角都是90 ④易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确」 3.解析A'D'.BC,BC,AD的长均可以表示. 答案④ [触类旁通] 课堂案·互动探究 2.解析(1)与AD平行的直线有BC,AD,BC1·与AD [例1][解析门(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体 异面的直线有A,B,CD,,BB,CC, 相对的两个而作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形， (2)AD∥平面BCCB1,AD∥平面ABCD 且四条侧被互相平行.符合棱柱的定义， (3)AD⊥平面ABB,A,AD⊥平面CDDC. (2)栽面BCNM右上方部分是三棱柱BB,M-CC,N,左下方 (4)平而ADDA1∥平而BCCB. 部分是四棱柱ABMA1-DCVD1.