11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 学业标准 素养目标 1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的 1.通过将现实生活中的实物抽象成直观图，培养 步骤。 数学抽象核心素养。 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何 2.通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观 体的直观图.（重点） 想象、逻辑推理、数学运算核心素养 3.能逆用斜二测画法，找出直观图的原图.（难点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 用斜二测画法作水平放置的平面 导学2 图形的直观图 导学1空间几何体 美术与数学这两个学科之间有着千丝万缕 ?问题有些建筑如下图所示，分别可以抽象 的联系，在美术画图中，空间图形或实物在 出什么几何体？ 画板上画得既富有立体感，又能表达出各 主要部分的位置关系和度量关系 问题1在画实物图的平面图形时，其中的直 角在图中一定画成直角吗？ (2 问题2正方形、矩形、圆等平面图形在画实 物图时应画成什么？为什么？ ◎结论形成 空间几何体：如果只考虑一个物体占有的 问题3这种作图方法与在直角坐标系中画 和 ,而不考虑其他因素， 平面图的方法相同吗？ 则这个空间部分通常可抽象为一个几何 体，称为空间几何体 38 第十一章立体几何初步。 ◎结论形成 x'轴和y'轴的交点作z轴对应的x'轴，且 1.空间图形的直观图：立体几何中，用来表示 之轴 x轴 的 ,称为空间图形的直 图形中与x轴平行（或重合）的线段画出与 观图. z轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连 2.水平放置的平面图形的斜二测画法步骤 接有关线段 (1)在平面图形上取 的x轴和 (3)擦去有关辅助线，并把 线段改 y轴，作出与之对应的x轴和y轴，使得它 成虚线（或擦除）. 们正方向的夹角为45（或135）. 基础自测 (2)平面图形中与x轴 的线段画 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 成与x'轴平行（或重合）的线段，且长度 (1)用斜二测画法画水平放置的角∠A时， 若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且 平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画 ∠A=90°，则在直观图中∠A=45°. 成与y轴平行（或重合）的线段，且长度为 ( (2)用斜二次画法画平面图形的直观图时， (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅 平行线段在直观图中仍平行，且长度不变 助线。 ( ) 用斜二测画法画立体图形的直 导学3 (3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在 观图 直观图中长度保持不变. ) 问题1画水平放置的平面多边形的关键是 (4)平行四边形的直观图可能是梯形， 什么？ ( 2.根据斜二测画法的规则画直观图时，把 Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',Oy', 问题2画立体图形的直观图的思路是什么？ Oz',则∠xO'y'与∠x'O'x'的度数分别为 () A.90°，90° B.45°，90 问题3画立体图形的直观图时，如何增强立 C.135°，909 D.45°或135°，90° 体感？ 3.利用斜二测画法画边长为1cm的正方形 的直观图，可能是下面的 ⊙结论形成 用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤 (1)在立体图形中 ,在其中取互相 4.用斜二测画法作一个边长为2的正方形， 垂直的x轴和y轴，作出水平平面上图形 则其直观图的面积为 的直观图（保留x轴和y'轴） B.2 (2)在立体图形中，过x轴和y轴的交点 取之轴，并使之轴 x轴和y轴.过 C.4 D.√2 39 。数学·必修 第四册（配RJB版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 画平面图形的直观图 [触类旁通] 1.如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm,下 例1用斜二测画法画出图 D 底BC=3cm,高为1cm.用斜二测画法画 中等腰梯形ABCD的直观 出该梯形的直观图， 图.（其中O,E分别为线 0 D Icm A 段AB,DC的中点) I cm [自主解答] C 3cm 题型二 画立体图形的直观图 一题多变 例2有一个正六棱锥（底面为正六边形，侧 面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长 为3cm,高为3cm,画出这个正六棱锥的 直观图. [自主解答] 规律方法 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线作 图.要注意选取恰当的坐标原点O,能使整个作图 变得筒便 40 第十一章立体几何初步© [母题变式] 题型三 直观图的还原和计算 (变条件)把本例换成画出一个正三棱台 例3一个水平放置的平面图形按斜二测画 (上、下底面为正三角形，侧面为全等的等 法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上 腰梯形)的直观图（尺寸：上、下底面边长分 底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的 别为1cm,2cm,高为2cm). 面积为 ( A号+ 2 B+号 C.1+√2 D.2+√2 规律方法 若一个平面多边形的面积为S,其直观图的 面农为S,则有S-厚s或S=2S.利用这 公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图 面积求原图形面积 [触类旁通] 3.(2024·浙江义乌高一期中)如图，一个水 平放置的三角形ABO的斜二测直观图是 等腰直角三角形A'B'O,若BA'=B'O [素养聚焦]通过画立体图形的直观图，培 =2,那么原三角形ABO的周长是 养学生直观想象的核心素养。 规律方法 作图时需要注意的两点 (1)立体图形的直观图中看得见的用实线，看不见 的用虚线； (2)去掉作为辅助的左边轴和有关的辅助线。 A.4√2+2 B.2+2√2+2√3 [触类旁通] C.42+4 D.4√2+8 2.画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)掌握斜二测画法 (1)水平放置的平面图形的 中的“变”与“不变” 直观图的画法 (2)同一图形选取坐 (2)空间几何体直观图的 标系的角度不同，得 画法 到的直观图可能 (3)直观图的还原与计算 不同 请完成【课后案】学业评价（八） 41⑧⊙ [典题2][解析]复数=3+4i,心=u十i,=a一i, (2).(-6-2i)2+(2a-1)(-6-2i)-(1-i)b-16=0, 所以12=(3十4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i. .32+24i-6(2a-1)-2(2a-1)i-b+bi-16=0, 因为1，是实数，所以4如一3=0，即a=子故选A ∴.(22-12a-b)+(26-4a+b)i=0, 「答案]A [典题3][解析](1)：=-1十i+3i+3一4=-2+4i, 0-10 所以复数：的共軛复数为一2一4. 解得a=3,b=-14. (2)w=-2十(4十a)i,复数m对应向量为(-2,4十a),其 [典题6][解析](1)设实极为1，则+(2+i)1+2xy+ 模为√+(4+a)2=√20+8a+a, (x-y)i=0(r,y∈R), 即(1+21+2xy)+(1+x-y)i=0. 又复数：所对应向量为（一2,4），其模为25，由复数仙对 根据复数相等的充要条件， 应向量的模不大于复数所对应向量的模，得20十8十 得280 ① a≤20，即a°+8a≤0， 亦即a(a十8)≤0， 所以实数a的取值范围是[一8,0]. 由②得1=y一x, [典题1解折]。-日得书-2- 代入①得(y-x)2+2(y-x)+2.xy=0, 即(x-1)°+(y+1)=2. ③ 知复数之的虚部为一1，实部为2，所以选项A正确，选项 所以所求的点的轨迹方程是(x一1)2十(y十1)=2， B错误； 即轨迹是以，点(1，一1)为圆心，√2为半径的圈。 对于选项C,1:=√2+（一1）=5，所以选项C正确： (2)由③得圈心为(1，一1)，半径r=√反，直线1=y一x与圆 对于选项D,复敦：对应的点为(2，一1)，在第四象限，所 有公共点， 以选项D正确， [答案]ACD 从而应有1-（一1)+L≤2. 2 [典题5][解析](1)：=(1+2i)(-2+i)一 (3+i)(1-i) (1+i)(1-i) 即t+2≤2， =-4-3i-4,2i=-4-3新-(2-D=-6-21. ∴.一41≤0， 2 故方程实根的取值范围是[一4,0]. 第十一章 立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 所以对应直观图的面积为S=2×2×0AX0C× 课前案·自主学习 sin45°=2× X1X2x号-E 1 [教材梳理] 导学1 课堂案·互动探究 问题[提示](1)四棱锥：(2)半球：(3)國锥」 [例1门[解析]步骤如下： ©结论形成 (1)画对应的坐标系x'Oy',使∠xOy'=45. 空间形状 大小 (2)以O为中点在x轴上取AB'-AB,在y轴上取OE 导学2 问题1「提示]为了直规，不一定 0E,以E为中点高CD/轴，并使CDCD 问题2[提示] 平行四边形、扁圆形.为增加直观性 (3)连接BC',DA',所得的四边形A'B'CD'就是水平放 问题3[提示] 不相同。 置的等腰梯形ABCD的直观图，如图。 ⊙结论形成 y 1.空间图形 平面图形 2.()互相垂直(2)平行（或重合）不变原来长度的 一半 导学3 问题1[提示]确定多边形顶，点的位置 触类旁通] 问题2[提示]画立体图形的直观图的思路是转化成画平 1.解析在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥BC于O,以直 面图形的直规图. 线CB,OD分别为x轴，y轴建立平而直角坐标系，如图， 问题3[提示]将被挡住的部分用虚线表示。 ○结论形成 (1)取水平平面(2)垂直于垂直于(3)被面遮挡 住的 [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或 135°，∠xO':'指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角， 其中OD=1cm,OC=1cm,OB=2cm,AD=1cm.AD∥ 所以度数为90°， BC. 3.C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故逸 在平而内取点了，过O作直线Ox',Oy',使∠x'Oy'= C项. 45°，如图， 4.D根据斜二测画法的原则可知OC=2.OA=1, B 0 在直线Oy'上取点D',使OD'=号OD=号cm,过D作 C 线段A'D'∥Ox',使DA'=DA=1cm, 10 @ 在直线Ox'上取，点C',B',使OC'=OC=1cm,B'= (3)连线，连接AA',BB,并擦去辅助线，则得到圆柱OO。 OB=2 cm. 连接CD',A'B',抹去辅助线得到等腰稀形ABCD的直观 图，如图梯形A'B'C'D'. 0 D B 0 [例2][解析](1)先画出边长为3cm的正六边形的水平 [例3][解析门把直观图还原成原平面图形，如图所示： 放置的直观图，知图①所示， (2)过正六边形的中心O建立'轴，画出正六救雏的顶点 V,在z轴上薇取OV=3cm,如图②所示. (3)连接VA'.VB',V'C,V'D',VE',V'F',如图③所示 (4)擦去城助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的 直观图，如图④所示， y +② 1+w2 /E F B/E 所以这个平面图形是直角梯形，上底长为1，下底长为1十 0' D A 70 D'x B'/CC 2,高为2. B G C ① ② 它的面积5=号×1+1计②)×2=2+厄，故选D [答案]D y [触类旁通] 3.D因为BA'=B'O'=2,由直观图可知，OA'=22, 所以还原平面图形中，OA=4√2，OB=B'=2. BC C C 在Rt△AOB中，AB=6, ③ ④ 则三角形AB0的周长为4√2+2十6=4√2+8. [母题变式] 解析(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在 直线为y轴，平行于AB的直线为x抽，使∠xOy=45,以 上底面△A'B'C'的中心O'与O的连线为z轴. (2)画出底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴 上量取0C= 3cm,OD= 6 cm. 过D作AB∥x轴，AB=2cm,且以D为中心，连接AC, BC,则△ABC为下底面三角形的直观图. 11.1.2构成空间几何体的基本元素 y 课前案·自主学习 C' [教材梳理] A 导学1 问题[提示]六个面，都是矩形】 ○结论形成 - 1.点线面 D/ (3)画上底面，在：轴上截取O)=2cm,过0作x'轴∥ 2.线面体 3.ABCD-A1BCD,AB,BC.CD,DA,AABB1·CC· x轴y轴∥y轴，在y轴上量取OC'= 6 cm.O'D'= DD·AB,B,C,C,D,DA:平面ABCD,平面 3 ABB,A1,平面BCC,B,,平面AB,CD,平面CDDC,平 cm过D作A'B'∥r'轴，AB'=1cm,且以D为中点， 面ADD,A 到△AB'C'为上底面三角形的直观图 导学2 (4)连接成图，连接AA',BB,CC,并擦去辅助线，则三棱 问题】[提示]平行、相交两种 台ABC-A'B'C即为所要画的三棱台的直观图， 问题2[提示]不一样，有平行、相交和异面三种. [触类旁通] @结论形成 2.解析画法：(1)画轴.画出x物，y轴，2轴。 1.相交平行异面 (2)在轴上取点O',使O)等于5个单位长度，过0作 :3.(1)A∈1BEL(2)m∩1=A x轴的平行线O'x',过O作y轴的平行线Oy'.在x轴， 导学3 x轴上分别取，点A,B,A',B',使OA=OB=OA'=OB'= 问题1[提示]通过规察可以发现直线AA在平面 2个单位长度，在y抽，y轴上分别取C,D,C,D,使 AAB,B内，直线AA1也在平面AAD,D内：直线AA,与 OC=OD=OC'=OD'=1个单位长度，画两个圆（椭圆 平面ABCD相交于点A,与平面AB,CD1相交于点A1: 形)，利用Ox'和O'y'画出底面圆O'. 直线AA,与平而BB,CC平行.