11. 2 平面的基本事实与推论-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 11.2 平面的基本事实与推论 学业标准 素养目标 1.通过引导解决共线、共面问题，培养逻辑推理 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 核心素养 2.掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空 2.通过画或找立体图形中平面与平面的交线，培 间点、直线、平面之间的位置关系.（重点） 养直观想象核心素养。 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实， 3.利用判断点、线、面的位置关系判断命题的真 并能解决空间线面的位置关系问题.（重点、难点） 假，培养数学建模核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 续表 基本 导学平面的基本事实及推论 事实 文字语言 图形语言 符号语言 (公理) 问题1若把直尺边缘上的任意两点放在桌 如果一条直线上 A∈I,B∈l: 面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何 基本 的 在一个平 B 且A∈a,B∈ 关系？ 事实2面内，那么这条直 a 线在这个平面内。 如果两个不重合 的平面有一个公 问题2为什么自行车后轮旁只安装一只撑 基本 PEaPEB→ 共点，那么它们有 事实3 脚就能固定自行车？ 且只有一条过该 点的 2.平面基本事实的推论 问题3两张纸面相交有几条直线？ 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两 点确定一条直线”，可以得到下面三个 推论： ◎结论形成 推论1 ,有且只有一 1.平面的基本事实 个平面.（图①） 基本 推论2 ,有且只有一个平 事实 文字语言 图形语言 符号语言 面.（图②） (公理) A,B,C三点 推论3 ,有且只有一个平 经过 基本 不共线→存 面.（图③） 三点，有且只有 ·A 在唯一的平 事实1 ·C 个平面. 面a使A,B, C∈a. ① ② 66 第十一章立体几何初步。 少基础自测 3.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点，a 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 表示直线，α，B表示平面)，其中命题和叙 (1)空间不同三点确定一个平面. ( 述方法都正确的是 ( (2)两两相交的三条直线最多可以确定三 A.因为A∈a,B∈a,所以AB∈a 个平面 ( B.因为a∈a,a∈3，所以a∩3=a (3)两个不重合的平面只能把空间分成四 个部分 ( C.因为A∈a,aCa,所以A∈a (4)两个平面α，3有一个公共点A,就说 D.因为Ata,aCa,所以Aa a,3相交于A点，记作a∩B=A. ( ) : 4.能确定一个平面的条件是 2.(多选题)如图所示，下列符号表示正确的是 A.空间三个点 ( P B.一个点和一条直线 C.无数个点 A.l∈& B.P C.ICa D.P∈a D.两条相交直线 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 图形、文字、符号语言的相互转化 规律方法 集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与 例1将下列符号语言转化成图形语言， 平面的关系，“C”和“∩”的符号只能用于直线与 并用文字语言加以叙述：α∩B=l,A∈l, 直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借助 ABCa.ACCB. 于集合符号，但在读法上仍用几何语言. [自主解答] [触类旁通] 1.已知点A,直线a,平面a,以下命题表达正 确的个数是 ①A∈a,ata→Ata;②A∈a,a∈a→ A∈a; ③Ata,aCa→Ata;④A∈a,aCa→ ACa. A.0 B.1 C.2 D.3 题型二 点、线共面问题 一题多变 例2已知：a,b,c,d是两两相交且不共点的 四条直线，求证：a,b,c,d共面 67 。数学·必修第四册（配RJB版） [自主解答] [触类旁通] 2.如图，已知A,B,C,D是空间四点，且点 A,B,C在同一直线1上，点D不在直线 上.求证：直线AD,BD,CD在同一平 面内. [母题变式] (变条件、变结论)若本例改为：已知A,B, C,D,E五点中，A,B,C,D共面，B,C,D E共面，则A,B,C,D,E五点一定共面吗？ 该如何解答？ 题型三点共线、线共点问题 例3如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D 中，AB=2,AA1=4,E为A1D1的中点，经 过BE的截面与棱DD1,A,B,分别交于点 F,G,直线BG与EF不平行.证明：直线 BG,EF,AA1共点 [素养聚焦]本题主要考查三个基本事实的 ( 运用，可借助于几何图形、符号语言，分析得 B 出求解思路，通过探索和论述，得出结果，从 而培养逻辑推理核心素养。 规健方法 证明点、线共面的常用方法 [自主解答] (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线 都在这个平面内，即用“纳入法”： (2)先由其中一部分点、线确定一个平面a,其余 点、线确定另一个平面3，再证平面a和B重合，即 用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法” 68 第十一章立体几何初步。 规律方法 [缜密思维提能区】 易错辨析 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过 点共线问题 其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条 [典例]如图，在正方体ABCD-AB,C,D 直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条 中，E,F分别为DC,CB的中点，AC门 直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两 BD=P,AC,∩EF=Q.求证：若AC交 条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线 平面DBFE于R点，则P,Q,R三点共线， 共点. 0 [触类旁通] 3.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD, 直线AB,BC,AD,DC分别与平面a相交 于点E,G,H,F.求证：E,F,G,H四点必 [证明] 在正方体AC中，设平面AACC, 定共线. 确定的平面为a,平面BDEF为B. 因为Q∈AC1,所以Q∈a. 又Q∈EF,所以Q∈B. 则Q是a与3的公共点， 同理P是a与3的公共点， 所以a∩B=PQ: 又A,C∩3=R,所以R∈AC 所以R∈a,且R∈B,则 易错警示引 此处易忽略R点 R∈PQ. 分别在两个平面 内这个条件，直 故P,Q,R三点共线。 接得出答亲、 [纠错心得]解决点共线问题，关键是找出基 本事实满足的条件，将条件列出来，缺一 不可 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)证明共点、共线 问题的方法有同一 (1)平面的概念 法、纳入法。 (2)三个基本事实及其应用 (2)证明几何命题时 (3)共面、共线、共点问题 注意三种语言的相 互转换。 请完成[课后案]学业评价（十四） 694.DA项，三个点可能共线：B项，点可能在直线上：C项， 无数个点也可能在同一条直线上 课堂案·互动探究 [例1门[解析]图形语言如图所 在R△CC)中，由勾股定理，得CC2十OC=OC2, 示，文字语言是：点A在平面a与3 的交线L上，且直线AB在平面a 内，直线AC在平面3内，也可以叙 从而V-号成-号（停） 述为：平面a内的直线AB与平面 2 B内的直线AC相交于两平面的交线1上. V岳=a'. [触类旁通] 周光VV=a:d=5x:2 a [典例4][解析]如图所示，该三棱 1.A①错，如图 锥为正三棱锥，O为底面BCD的中 心且AO垂直于底而BCD,O在线 段AO上，O为外接球球心，令OA =0D=R.0D=号DE=号×2gB D ②a∈a符合不对；③错，如图： ·A ×5=2,AD=25, ④ACa符号书写不对. 2 [例2][证明](1)无三线共点的情况，如图所示，设a∩d ∴AO=√AD-OD=4,∴.O00=4-R, =M.bnd=N.cnd=P,anb=Q.anc=R.bnc=S. 又00+0D=0D,.(4-R)产+4=R,解得R=2: 则由a∩d=M,故a,d可确定一个平面，设为a 因为N∈d,Qea,所以N∈a,Q∈a 6元 所以NQCa,即bCa.同理cCa. 所以a,b,c,d共面. [答案] [触类旁通] 4.解析取PC的中点O,连接OA,OB(图略). R “△PAC为直角三角形且∠PAC=90,∴0A=号PC,同 (2)有三线共，点的情况，如图所示，设b,,d三线相交于点 里0B=2PC K,与a分别交于N,P,M且K任a. 即OA=OB=OP=OC,即点O到，点P,A,B,C四点的距 离相等， 0O为外接球的球心，PC=√PA+AC=4, 六R=2PC=2,Sm=4xR=16元 因为K任a,所以K和a确定一个平而，设为B. 答案16元 周为N∈a,aCB,所以N∈B. 11.2平面的基本事实与推论 所以NKCB,即CA. 课前案·自主学习 同理cCB,dCB,所以a,b,c,d共面. [教材梳理] 由(1)(2)知，d,b,c,d共面， 导学 [母题变式] 问题1[提示]在来而上。 解析(I)如果B,C,D三点不共线，则B,C,D三点确定 问题2[提示]撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点 一个平面a.因为A,B,C.D共面，所以，点A在平面a内， 不在一条直线上. 图为B,C,D,E共面，所以点E在平面a内，所以点A,E 问题3[提示]一条 都在平面a内，即A,B,C,D,E五点一定共面. Q结论形成 (2):果B,C,D三点共线于1，若A,E都在L上，则A,B, 1.不在一条直线上两点lCa公共直线a∩B=1且 C,D,E五点一定共面： P∈I 若A,E中有且只有一个在1上，则A,B,C,D,E五点一定 2.经过一条直线与直线外一·点经过两条相交直线经过 共面： 两条平行直线 若A,E都不在1上，则A,B,C,D,E五点可能不共而 [基础自测] [触类旁通] 1.(1)×(2)√(3)×(4)× 2.证明因为点A,B,C在同一直线1上，点D不在直线 2.BCD观察图知：PEl,P∈a,lCa,则l∈a是错误的. l上. 3.C对A,直线AB在平面a内，应为ABCa,故A错误： 所以点A,B,D确定唯一的一个平面，设为a, 对B,直线a在平面a内，应为aCa,故B错误： 所以lC&,因为C∈l,所以C∈&，因为A,B,C,D∈a, 对C,因为A∈a,aCa,所以A∈a,故C正确： 所以ADCa,BDCa,CDCa,即直线AD,BD,CD在同一 对D,A任a,aCa,有可能A∈a,故D错误.故选C 平面内。 @ [例3][证明] ,BFEG四点共面，BG不平行于EF,设 :.EQ ZB C, BG∩EF=P, .四边形EQC,B,为平行四边形， 又：BGC平面ABBA,EFC平面ADDA1,BG,EF均 ∴.B ELC.Q. 不平行于AA1· 又：Q,F分别是矩形DD1C,C的 P为平面ABB1A,与ADDA,的公共点， 两边DD1和CC的中点，.QD 平面ABB,A,∩平面ADD,A,=AA· LC F. ,∴.根据基本事实3可得P∈AA,, .四边形DQCF为平行四边形，.C,QLDF ∴.直线BG,EF,AA,共点. 又：B ELC Q,∴B,ELDF, [触类旁通] ∴.四边形B,EDF为平行四边形 3.证明，AB∥CD, [触类旁通] AB,CD确定一个平面，记为A 1.CD假设1∥AD,则由AD∥BC∥B,C, 'AB∩a=E,E∈AB,E∈a, 知l∥BC1, :.EEB. 这与【与B,C,不平行矛盾，.1与AD不平行 .E在a与B的交线l上 又I在上底面中，AD在下底而中，故（与AD无公共点，故 同理，F,G,H也在a与3的交线l上 1与AD不相交. .E,F,G,H四点必定共线 CD可以成立」 11.3空间中的平行关系 [例2][证明]连接EE, 11.3.1平行直线与异面直线 E,E分别为A,D,AD的中点， 课前案·自主学习 ..A E ZAE. [教材梳理] .四边形AEEA为平行四边形. 导学1 .A:AZE E. 问题1[提示]一条. 又AA4BB, 问题2[提示]平行， 由空间平行线的传递性可知， ⊙结论形成 B BZE E,.四边形E1EBB,是平行四边形， 1.(1)平行 ∴EB,∥EB.同理E,C∥EC, 2.对应平行相同 又∠CEB1与∠CEB两边的方向相同， 导学2 ∴∠CEB,=∠CEB. 问题1[提示]可以说两种：共面与异而，也可以说三种： [触类旁通] 平行、相交和异面】 2.解析因为在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA1∥DD, 问题2[提示]空间中既不平行也不相交的两条直线. AB∥CD,所以∠A,AB与∠DDC相等.又由于侧面 ⊙结论形成 A1ABB1,DDCC为平行四边形，所以∠A1AB与 1.任何一个平面内 ∠AB1B,∠DCC也相等. 3.不经过交点的直线 答案∠D1DC,∠D,CC,∠ABB 导学3 [例3][解析]如图，由题意易知(OM在平面BB,D,D上， 1.4点顶点边对角线 对于A,B,∈平面BB,DD,C,平面BB,DD,B,年OM, 2.4个字母 [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.B②④正确. 3.D选项A中，平而a,3内的两直线并面，则a与b并而； 选项B中，平面a,3内的两直线异而，则a与b异面： 选项C中，平面a,3内的两直线异面，则a与b异面： 6 选项D中，平面α，9内的两直线相交，两相交直线可以确 由异面直线的定义知，B,C与直线OM是异面直线，故A 定一个平面， 正确： 则a与b相交或平行，由图可知，a与b平行. 对于B,B∈平面BB,D,D,A任平面BB,D1D,BEOM,由 4.ABC对于A,空间两条不相交的 异面直线的定义知，A,B与直线OM是异面直线，故B 直线有两种可能，一是平行（共面）， 正确： 另一个是异面.所以A应排除.对于 对于C,D∈平面BB,D,D,C任平面BB,D,D,D1OM, B,分别位于两个平面内的直线，既可 由并面直线的定义知，CD,与直线OM是异面直线，故C 能平行也可能相交也可异面，如图， 正确： 就是相交的情况，所以B应排除，对 对于D.当M为B,D的中，点时，AA,∥OM,所以D错误. 于C,如图中的a,b可看作是平面a内的一条直线a与平面a [答案]ABC 外的一条直线b,显然它们是相交直线，所以C应排除，只有D [触类旁通] 符合定义 课堂案·互动探究 3B知图，连接DE,则DE∥AC且DE=AC,又A,F/ [例1][证明]设Q是DD,的中点，连接EQ,QC, ,E是AA,的中，点，.EQ ZA D. AC且A,F=AC 又在矩形AB,CD,中，AD14B,C, 所以A,F∥DE且A,F=DE, 18