11.2 平面的基本事实与推论（2知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

11.2 平面的基本事实与推论 课程标准 学习目标 （1）了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法； （2）掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； （3）能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. （1）掌握平面的画法及表示方法； （2）掌握平面的基本事实及推论； （3）能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. 知识点01 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实2 （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实3 （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 【即学即练1】（22-23高一下·湖北·月考）立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（    ） A．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面 B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 知识点02 平面基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练2】（22-23高一下·辽宁·月考）在下列条件下，能确定一个平面的是（    ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 【题型一：基本事实与推论理解】 例1．（23-24高一下·全国·专题练习）直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 变式1-1．（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式1-2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 变式1-3．（22-23高一下·陕西咸阳·月考）（多选）下列说法，不正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【题型二：空间点共线问题】 例2．（23-24高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线． 变式2-1．（23-24高一下·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 变式2-2．（23-24高一下·海南·期中改编）已知与所在平面相交,并且交于一点.若,求证:共线. 变式2-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由． 【方法技巧与总结】 点共线的证明方法方法 方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，从而证明点在相交平面的交线上. 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上. 【题型三：空间线共点问题】 例3．（23-24高一下·全国·专题练习）已知空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，且.三条直线交于一点. 变式3-1．（23-24高一下·青海西宁·月考）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 变式3-2．（22-23高一下·陕西西安·期中改编）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点. 变式3-3．（2024·江苏徐州·一模改编）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【方法技巧与总结】 方法1：可把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上； 方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得到三线共点。 【题型四：空间点线共面问题】 例4．（23024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面． 变式4-1．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 变式4-2．（22-23高一下·陕西西安·期中改编）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面. 变式4-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【方法技巧与总结】 证明点、线共面问题的常用方法： （1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都要在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α和β重合，即用“同一法”； （3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”。 一、单选题 1．（22-23高一下·河北定州·月考）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线 2．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）下列命题正确的个数是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·全国·专题练习）下列推理错误的是（    ） A．， B．，，， C．，，， D．， 5．（22-23高一下·黑龙江·期中）在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 6．（22-23高一下·吉林通话·月考）在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 7．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 8．（22-23高一下·江苏南京·月考）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 二、多选题 9．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 10．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则与相交 B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则 C．经过两条平行直线有且仅有一个平面 D．如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行 11．（22-23高一下·安徽阜阳·月考）下列四个命题中，是真命题的有（    ） A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面 三、填空题 12．（22-23高一下·安徽安庆·月考）不共面的四点可以确定平面的个数是 ． 13．（22-23高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 14．（22-23高一下·江西南昌·月考）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 16．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明： （1）四点共面； （2）多面体是三棱台. 17．（23-24高一下·江苏高邮·月考） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 18．（22-23高一下·山西运城·月考）如图，正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：，，，四点共面； （2）若，，与平面交于点，求证：三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 平面的基本事实与推论 课程标准 学习目标 （1）了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法； （2）掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； （3）能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. （1）掌握平面的画法及表示方法； （2）掌握平面的基本事实及推论； （3）能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题. 知识点01 平面的基本事实 1、基本事实1 （1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （2）图形： （3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α （4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法 2、基本事实2 （1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 （2）图形： （3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α （4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 3、基本事实3 （1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （2）图形： （3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l （4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点 【即学即练1】（22-23高一下·湖北·月考）立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是（    ） A．过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面 B．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实， D选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行， 故D不是立体几何中的基本事实.故选：D 知识点02 平面基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练2】（22-23高一下·辽宁·月考）在下列条件下，能确定一个平面的是（    ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 【答案】D 【解析】三点共线则不能确定一个平面，A错误； 点在直线则不能确定一个平面，B错误； 若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误； 梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确.故选：D 【题型一：基本事实与推论理解】 例1．（23-24高一下·全国·专题练习）直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 【答案】C 【解析】两条平行直线确定一个平面，所以经过直线，，直线，，直线，的平面各有一个， 故直线，，两两平行且不共面，经过其中两条直线的平面共有共3个．故选：C 变式1-1．（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】ABC 【解析】当经过的交线时，三个平面有一条交线，故A项正确； 当时，三个平面有两条交线，故B项正确； 当与两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线，故C项正确； 因平面都是平坦的，且无限延展的，故三个平面最多只有三条交线，故D项错误.故选:ABC. 变式1-2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【答案】B 【解析】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误； B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形，而三角形为平面图形， 故可确定一个平面，B正确； C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误； D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形， 如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误.故选：B 变式1-3．（22-23高一下·陕西咸阳·月考）（多选）下列说法，不正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【答案】ABC 【解析】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误， 对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误， 对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，故选：ABC 【题型二：空间点共线问题】 例2．（23-24高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】因为，且平面，所以平面， 同理平面，从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 变式2-1．（23-24高一下·全国·专题练习）已知三边所在直线分别与平面α交于三点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】∵是不在同一直线上的三点 ∴过有一个平面 又,且，所以， 设，则 同理可证：， 所以三点共线 变式2-2．（23-24高一下·海南·期中改编）已知与所在平面相交,并且交于一点.若,求证:共线. 【答案】证明见解析. 【解析】因为 所以平面平面 因为平面,平面，且，所以 即三点位于同一直线上 变式2-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由． 【答案】三点共线，理由见解析 【解析】M，N，K三点共线．理由如下： 因为即在平面内又在平面内， 所以在平面与平面的交线上， 所以是平面与平面的交线， 即在平面内又在平面内， 所以在平面与平面的交线上， 所以是平面与平面的交线， 又平面与平面是同一平面， 所以与是同一条直线，即M，N，K三点共线． 【方法技巧与总结】 点共线的证明方法方法 方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，从而证明点在相交平面的交线上. 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上. 【题型三：空间线共点问题】 例3．（23-24高一下·全国·专题练习）已知空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，且.三条直线交于一点. 【答案】证明见解析 【解析】∵，∴， ∴四边形为梯形， 所以梯形的两腰和相交于一点，设交点为， 因为平面，故平面，同理平面， 又因为为这两个面的交线，所以， 所以三条直线、、交于一点. 变式3-1．（23-24高一下·青海西宁·月考）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【解析】如图，梯形中，因为，所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为，所以， 又因为，所以，所以共点． 变式3-2．（22-23高一下·陕西西安·期中改编）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点. 【答案】证明见解析 【解析】在空间四边形中，连接， 因为分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图， 由于平面，点在平面内，同理点在平面内， 又因为平面平面， 所以点在直线上， 故直线相交于一点. 变式3-3．（2024·江苏徐州·一模改编）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．证明：直线BG，EF，共点. 【答案】证明见解析 【解析】四点共面，不平行于，设， 又平面，平面，均不平行于， 为平面与的公共点， 又平面平面， 根据基本事实3可得， 直线BG，EF，共点 【方法技巧与总结】 方法1：可把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上； 方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得到三线共点。 【题型四：空间点线共面问题】 例4．（23024高一下·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面． 【答案】证明见解析 【解析】假设面与棱交于． 平面，平面与其相交， ， 为中点，为中点， 与重合，即四点共面． 变式4-1．（23-24高一下·全国·专题练习）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【答案】证明见解析； 【解析】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以，所以， 所以四点E，F，G，H共面. 变式4-2．（22-23高一下·陕西西安·期中改编）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面. 【答案】证明过程见解析 【解析】证明：设直线与，分别交于点，如图， 因为，所以确定一个平面，记为平面， 因为点直线，点直线，所以，， 所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面. 变式4-3．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，分别为与的重心，，分别为，的中点.求证：，，三线共面. 【答案】证明见解析 【解析】连接，.由三棱锥的性质，知三点不共线，则确定一个平面. 所以平面，平面，平面，平面，平面. 根据三角形重心的性质，知，，所以平面，平面， 所以平面，平面，平面， 所以，，三线共面. 【方法技巧与总结】 证明点、线共面问题的常用方法： （1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都要在这个平面内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α和β重合，即用“同一法”； （3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”。 一、单选题 1．（22-23高一下·河北定州·月考）下列条件一定能确定一个平面的是（    ） A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线 【答案】D 【解析】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．故选:D． 2．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）下列命题正确的个数是（    ） ①三点确定一个平面； ②圆心和圆上两个点确定一个平面； ③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点； ④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】不共线的三点确定一个平面，①错误； 当这三点在一条直径上时，不能确定一个平面；②错误； 如果两个平面有一个交点，必有一条公共直线，有无数个公共点；③正确 两条直线没有交点，两条直线可能平行或者异面，不一定平行；④错误；故选：A 3．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，，，根据公理1可得，故A选项正确， 由，，，根据公理2可得，故B选项正确， 由，可能与相交，可能有，故C选项错误， 由，根据公理1可得，故D选项正确，故选：C. 4．（23-24高一下·全国·专题练习）下列推理错误的是（    ） A．， B．，，， C．，，， D．， 【答案】A 【解析】对于A选项，，可能，所以A选项推理错误. 对于B选项，根据平面的基本事实二可知B选项正确. 对于C选项，由于，，，，所以直线， 所以，C选项正确. 对于D选项，，正确，D选项正确.故选：A 5．（22-23高一下·黑龙江·期中）在空间中，下列命题不正确的是（    ） A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上 B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C．梯形可确定一个平面 D．任意三点能确定一个平面 【答案】D 【解析】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线， 即两平面有无数个公共点，故选项A正确； 对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线， 则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确； 对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确； 对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；故选：D. 6．（22-23高一下·吉林通话·月考）在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【解析】由题意知：面，又交于一点P， ∴面，同理，面，又面面， 由公理3知：点P一定在直线上.故选：B. 7．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【解析】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得，所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确.故选：B 8．（22-23高一下·江苏南京·月考）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 【答案】D 【解析】由于，所以四点确定一个平面， 因此直线与一定共面，故D正确，C错误， 只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确， 只有当但时，此时四边形为梯形， 此时相交于点，故B不正确， 故选：D 二、多选题 9．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．不重合的平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 【答案】BC 【解析】对于A，不共线的三点确定一个平面，错误； 对于B，三角形的三个顶点不在一条线，可确定唯一一个平面，故三角形一定是平面图形，正确； 对于C，梯形中有两条线平行，可确定唯一一个平面，故梯形一定是平面图形，正确； 对于D，若不重合的两个平面相交，则它们一定有一条交线， 所有的两个平面的公共点都在这条交线上，错误.故选：BC. 10．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则与相交 B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则 C．经过两条平行直线有且仅有一个平面 D．如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行 【答案】CD 【解析】对于A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误； 对于B，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，故B错误； 对于C，由两条相互平行的直线能确定一个平面，且该平面有且仅有1个，故C正确； 对于D，如果两个平面没有公共点，那么由平行平面的定义得这两个平面平行，故D正确．故选：CD. 11．（22-23高一下·安徽阜阳·月考）下列四个命题中，是真命题的有（    ） A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面 【答案】ABD 【解析】A：两条相互平行的直线可确定一个平面，故正确； B：由平行线性质，平行于同一直线的两直线平行，故正确； C：平行线也没有公共点，但不是异面直线，故错误； D：若两条直线都垂直于同一个平面，这两条直线平行，与异面直线矛盾，故正确故选：ABD 三、填空题 12．（22-23高一下·安徽安庆·月考）不共面的四点可以确定平面的个数是 ． 【答案】4 【解析】令为不共面的四点，则这4点中任意三个点都不在同一条直线上， 因此从四点中任取三个点都可以确定一个平面， 能确定一个平面的三点有：点，点，点，点， 所以不共面的四点可以确定平面的个数是4. 13．（22-23高一下·河南郑州·月考）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则 【答案】2 【解析】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线， 点是的重心，所以. 14．（22-23高一下·江西南昌·月考）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 . 【答案】/ 【解析】设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线. 设直线与直线交于点，连接，如图所示， 则直线是与平面的交线. 由题意知，与的交点为，连接， 则直线是平面与平面的交线. 由题意知. 因为，所以，所以. 在中，，所以. 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，所以与共面， 又由，，所以三线共面； 同理可证三线共面，所以四条直线共面. 16．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，在正四棱台中分别为棱，的中点.证明： （1）四点共面； （2）多面体是三棱台. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）连接，如图所示， 在正四棱台中，， 分别为棱的中点， ， 四点共面. （2），且， 四边形EFHG为梯形， 延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设， 平面平面， 平面平面， 又平面平面， 交于一点. 又平面平面， ∴多面体是三棱台. 17．（23-24高一下·江苏高邮·月考） 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 又因为，所以.所以， 所以E，F，G，H四点在同一平面内， 即E，F，G，H四点共面． （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，， 所以四边形为梯形，直线和必相交， 设交点为M，即， 因为平面，所以点平面， 同理可得点平面. 又因为平面平面，所以点直线， 所以直线，，三线共点． 18．（22-23高一下·山西运城·月考）如图，正方体中，，分别为，的中点． （1）求证：，，，四点共面； （2）若，，与平面交于点，求证：三点共线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）连接， 在正方体中，∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，∴， 又因为，∴ ∴四边形为梯形，即，，，四点共面． （2）在正方体中，，， ∴是平面与平面的交线， 又因为交平面于点， ∴是平面与平面的一个公共点． 因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上， ∴三点共线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$