9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

@ ∠CBD=90°+30°=120. 在△BCD中，由正弦定理， 由正弦定理得sin Bsin A=sin Asin乞 B sineCDsinCCHD CD B o B=sin2 :simA≠0.∴.2sin2cos2 B sin∠BCD=BDin∠CBD_10·sm12g°_ 2 sin B-1 CD 10V3a B≠0.c0s2=2 .∠BCD=30°， ∴.辑私船沿北偏东60°的方向行驶. 0CB<B=等 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°. 故△ABC为纯角三角形， [典题3][解析](1)由(a+b+c)(a十b一c)=ab可得 ∴.∠D=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. a2+b2-c2=-ab, 小时≈15分钟. t10 由余弦定理知，c0sC=0十hC=一→ 2ab 2,又 ∴.蜂私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快戴获走私 6,考委小时，即大锋15分钟 C∈(0，)，因此C=2 3 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (2):Saw=5am+Sam,即号ain至=号6X 3 课前案·自主学习 2n吾+号×2a [教材梳理] 导学 9b=a+2b≥vab, 1.选题开题做题结题 2.合适对象活动步骤记录数据 2号音里仪当6=2a,即a=,68时等号 3 章末整合提升 [深化提升] 成立， [典题1门[解析](1)由余弦定理有a2+-c2=2 abcos ∴S△A cb>8.△AC面款的最小值为85. C,又a'+b-c=√2ab, [典题4][证明](1)根据正弦定理， 可得cosC=a+6-c=2ab区 2ab 2ab 2 左边=4 sin A十4R'sinB 4R'sin'C 因为C∈(0，π)，所以sinC>0. sinA十simB=右边， sin'C 21 即原等式成立 又因为sinC=2cosB,即cosB=2,注意到B∈(0，r), (2)根据余弦定理。 右边=2(x.+d+m.+26+6, 所以B= 2hc 2ca a2+6-c2 (2)由1)可得B=音osC=号 2ab 2 C∈(0，x),从而C=元 =(b+c2-a2)+(c2+a”-b2)+(a2+b-c2) A=r一 元π5元 =a2十b十”=左边，即原式成立. 3 4121 [典题5][解析](1)在△ADC中，因为∠ACD=30°， 而nA=s加=m(骨+）-竖×+号× ∠BDC=45°，∠ADB=75°， 2 2 所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°， 6+2 ∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°， 4 又DC=403, 由正弦定理有a b 5π sin 12 所以由正孩定理可得in DAC sin元，即03 DC AC sin30° 从而a=642:=6号-。 AC 4 2 m120·解得4C=120. 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为SAc= 所以A船距离雷达站C距离为120海里. mc-号，9-35. (2)在△BDC中，根据正弦定理可得 21 2 8 BC DC 由已知△ABC的面积为3+3，可得3+3=3+3， nn2D中5 403 所以c=2V2. 8in(180'-45-30-45·解得BC=402, [典题2】[解折]“sin号(asim号+2cos会） 在△ABC中，由余弦定理可得AB=120+(402)一2 ×120×40√2cos45=8000,解得AB=405, AC =acos 2 cos 2 因为A船以30海里每小时的逵度前往B处，而05 30 C 45∠3， :nA=aosA生S-=as2B-asin号. 3 B 2 2 所以能在3小时内赶到救援，第九章解三角形。 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 学业标准 素养目标 1.探究不可达到的两点之间的距离如何求解.。 1.通过将不可达到的两点之间的距离问题转化 2.能利用正弦定理、余弦定理求解不可达到的两点之 为解三角形问题，培养学生数学抽象核心素养」 间的距离.（重点、难点） 2.通过利用正弦定理、余弦定理求解，培养学生 3.掌握课题研究的完整过程.（重点） 逻辑推理、数学运算等核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 开题：指讨论与确定 的过程。 导学 课题研究 做题：指按照讨论的步骤进行实际活动并 1.完整的课题形式包括 的过程 过程. 结题：指整理活动数据、总结与交流的 2.选题：指根据活动要求选定 的 过程. 过程 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 请小组同学分工合作，确定合适的两点，利用身边的工具或制作简易工具，测量有关数据， 然后利用正弦定理与余弦定理来得出选定两点之间的距离，尽量减少误差 根据探究的内容和过程，填写下表： 得到不可达两点之间的距离活动记录表 活动开始时间： (1)成员与分工 姓名 分工 (2)选定的不可达两点的状态描述（可附照片，下同） 15 O数学·必修第四册（配RJB版） 续表 (3)活动方案（包括测量原理、创新点描述等） (4)活动工具描述（包括自制工具的制作步骤等） (5)活动过程中记录的数据 (6)根据数据计算结果 (7)活动总结（包括误差分析、活动感受等） 活动结束时间： 章末整合提升 1 知识网络 b 定理内容：in Asin B sin C a 变形形式：a:b:c=sinA:sinB:sinC:a=2 Rsin A:sinA=录等 正弦定理 面积公式：S= 2absin C=1 acsin Bbesin A 已知两角和一边，求其他的边和角 应用范围 已知两边及一边对角，求其他的边和角 解 定理内容：a2=b+c2-2 bccos A,b2=a2+c2-2 accos B,c2=a2+b-2 abcosC 角 2bc 4,cos B=ateb: 变形形式：cosA=+c2-a2 余弦定理 2ac ,cosC=42+6-c2 2ab 已知三边，求三个角 应用范围 已知两边和夹角，求其他的边和角 应用举例：从实际问题中抽象概括出数学模型，然后求解，常利用正、余弦定理处理距离问题、高度问题、 角度问题、几何计算等 一16