9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修 第四册（配RJB版） 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 学业标准 素养目标 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些常用术语 2.会建立解决实际应用题的三角形模型，并能运用正 通过建立解决实际应用题的三角形模型解决问 弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际 题，培养数学建模和数学运算的核心素养。 问题.（重点、难点） 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2高度、角度问题 导学1距离问题 问题1如图，AB是底部B不可到达的一个 建筑物，A为建筑物的最高点.通过观察图 问题1如何求两个不可到达的点之间的 形，你认为哪些量能够测量出？ 距离？ 问题2如图所示，如果测得数据a,b,Y,可 以测量隧道AB的长度吗？ 问题2你能说出求AE长的一个解题思 路吗？ 问题3你能写出求解AE长的解题过程吗？ ◎结论形成 1.基线的定义：在测量上，我们根据测量需要 ©结论形成 适当确定的线段叫做 1.高度的测量主要是一些底部不能到达或者 2.选择基线的原则：在测量过程中，要根据实 无法直接测量的物体的高度.常用正弦定 际需要选取合适的 ,使测量具有 理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到 较高的精确度，一般来说，基线 一个可到达的点之间的距离，然后转化为 测量的精确度 解 的问题. 10 第九章解三角形。 2.常用术语 (3)方位角和方向角是一样的. (1)仰角和俯角 (4)两点间可视但不可到达问题的测量可 ①前提：在视线所在的垂直平面内； 以构造已知两角及一边的三角形并求解. ②仰角：视线在水平线 时，视线与 () 水平线所成的角： 2.已知A,B两地相距10km,B,C两地相距 ③俯角：视线在水平线 时，视线与 水平线所成的角 20km,且∠ABC=120°，则A,C两地相距 ( ) 视线 仰角 一水平线 俯角 A.10 km B.103 km 视线 C.10/5 km D.107 km (2)方向角：从指定方向线到目标方向线所 3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距 成的小于90°的水平角， 离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯 如图所示，目标B的方向角为北偏东30°， 塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在 目标A的方向角为南偏东45°. 灯塔B的 ) 北 A.北偏东10 B.北偏西10° C.南偏东10 D.南偏西10° 四 东 45 4.如图，学校体育馆的人字屋架为等腰三角 形，测得AC的长度为4m,A=30°，则其 基础自测 跨度AB的长为 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边. ( ) A.12m B.8 m (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得. ( ) C.33m D.4√3m 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 距离问题 [自主解答] 例1一货轮在海上由西向东航行，在A处望 见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在 B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方 向.若货轮的速度为30 n mile/h,当货轮航 行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向 时，求A,D两处的距离 11 O数学·必修第四册（配RJB版） 规律方法 [自主解答] 测量距离问题的基本类型和解决方案 基本类型 图示 解决方案 A,B两点不 测得AC=b,PC=a,∠ACB 可到达且不 =C,则由余弦定理得AB 可视 =√+-2 aos C 测得BC=a,∠ABC= B,C与点A B,∠ACB=C,则∠BAC 可视但不可 =一(B十C),由正弦定 到达 理得AB= asin C sin(BC) 测得(CD=a,∠BDC, ∠ACD,∠BCD,∠ADC, C,D与点 在△ACD中，用正弦定理 A,B均可视 求AC,在△BCD中用正 不可到达 弦定理求BC,在△ABC D 中用余弦定理求AB [触类旁通] 1.(2024·江苏南通高一期中)一艘船以 32 n mile./h的速度从A处向正北方向航 行.从A处看灯塔S位于船北偏东45°的 规律方法 方向上，30min后船航行到B处，从B处 测量高度问题的基本类型和解决方案 看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则 基本类型 图示 计算方法 灯塔S与B之间的距离为 ( A.82 n mile B.16√2 n mile 底部 测得BC=a,∠BCA C.16 n mile D.163 n mile 可到达 =C,AB=a·tanC. 题型二高度、角度问题 测得CD=a及C与 点B 例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以 ∠ADB的度数，先 与 选与塔底B在同一水平面内的两个测点C C,D 22/ 用正弦定理求出AC 与D.测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD 或AD,再解直角三 =30米，并在点C测得塔顶A的仰角为 底部 共线 角形得AB的值. 60°，求塔高AB. 测得CD=a及 达 点B ∠BCD,∠BDC,∠ACB 与C, 的度数，在△BCD D 不 中由正弦定理求得 共线 BC,再解直角三角形 得AB的值. 12 第九章解三角形○ [触类旁通] [母题变式] 2.(2024·安徽安庆高一期中)一艘游船从海 (变条件、变结论)题中若小艇无最高航行 岛A出发，沿南偏东20的方向航行8海里后 速度限制，其他条件不变，若希望相遇时小 到达海岛B,然后再从海岛B出发，沿北偏 船行距最小，则小艇航行速度为多少？ 东40°的方向航行了16海里到达海岛C. 若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C, 则航行的方向和路程（单位：海里）分别为 A.北偏东50°，83 B.北偏东70°，12 C.北偏东70°，83 D.北偏东50°，12 题型三 实际应用问题 —航行追及问题 一题多变 例3某港口O要将一件重要物品用小艇送 到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时， 轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距 20海里的A处，并正以30海里/时的航行速 度向正东方向匀速行驶，经过t小时小艇 与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只 [素养聚焦]通过利用正弦定理、余弦定理 能达到30海里/时，试设计航行方案（即确 解实际应用题，把数学建模和数学运算等核 定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇 心素养体现在解題过程中. 能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由. [自主解答] 规律方法 解决实际问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题， (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关 的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题， (3)把数学问题还原到实际问题中去. [触类旁通] 3.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距 A处(3一1)海里的B处有一艘走私船. 在A处北偏西75°方向，距A处2海里的 C处的我方缉私船奉命以103海里时 13 。数学·必修第四册（配RJB版） 的速度追截走私船，此时走私船正以： [解析]如图，令∠ACD= 北 A 10海里时的速度，从B处向北偏东30°方 a,∠CDB=3,在△CBD中， 20° 409 向逃窜.问缉私船沿什么方向行驶才能最 由余弦定理得 快截获走私船？并求出所需时间. c421 D B BD2+CD2-CB2 20 31 cos B= 2BD·CD 202+212-312 =- 2×20×21 7, 所以sin月=4图 71 又sina=sin(3-60) -[易错警示】 本题在解△ACD =sin3cos60°-sin60°cos3 蒙私 :增解，应用正弦 43 7 ×是+ 定理来求解 大7 =53 14, 在△ACD中， 由正弦定理得 21 AD sin60°sina 所以AD= 21·sina=15(千米). sin60° [答案]15 [纠错心得]在综合应用正、余弦定理解三角 形时，应恰当选择应用哪个定理，避免产生 增解。 课堂小纬 [缜密思维提能区] 易错辨析 知识落实 技法强化 用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题 (1)应用正弦定理、余弦定理 [典例]某观测站C在城A的南偏西20°的 不可到达的距离、高解决实际应用问题应用了数 方向，由城A出发的一条公路，走向是南 度、角度等实际问题形结合的思想方法， 偏东40°，在C处测得公路上B处有一人， 距C为31千米，正沿公路向A城走去，走 的测量方案 (2)注意不要弄错实际问题 了20千米后到达D处，此时CD间的距离 中的方位角。 为21千米，则这人能到达A城还要走 温馨 请完成[课后案」学业评价（三）、 千米. 阶段测评（一） 14Le 解法二 由解法一，知osA=白 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△r 由正弦定理，得么-imB,所以cosA=imB. 又由(1)知A十C=120°， sin C sin C 因为A+B十C=元， 故由正弦定现得a=sinA_sn(120°-C 所以sin Ceos A=sin(A+C), sin C sin 2tan C 2 所以sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C, 由于△ABC为锐角三角形 所以sin Acos C=0. 故0°<A<90°.0°<C90 因为0<A<x,0<C<π 结合A+C=120°，所以30°<C<90°， 所以sinA≠0，所以cosC-0,所以C=元 2 <<2，从而号<S< 1 8 故△ABC是直角三角形」 [触类旁通] 因此△ABC面积的取值范围是(3，)】 82 3.B固为a00sB+bc0sA=a,所以aX+c-B+b× [触类旁通] 2ac 2.解析(1)由m⊥n,得m·n=0,即cosB(2cosC+cosB) 店十c-口=a,整理得c=a,所以△ABC是等腰三角移. +(sin B-2sin C)sin B=0, 2bc 2(cos Bcos C-sin Bsin C)+(cos B+sin B)=0, 教考衔接1解三角形中的最值与范围问题 [典例1门[解析](1)设△ABC的内角A,B,C所对的边 即2c0s(B+0+1=0,故c0s(B+C)=-立 分别为a,b,c, sin”A一sinB-sinC=sin Bsin C,由正弦定理可得 又B+C∈(0，，所以B+C=要，所以A=子 a2-6-c2=bc, 即为6+e2-a2=-bc, (2)周为A=子，BC-. osA=公+=-= BC 2bc 2bc 2· 由正弦定理得AB=AC sin C sin B-sin A-2. 由0<A<,可得A= 所以AB=2sinC.AC=2sinB=2sin(5-C): (2)由1)得A-经由题意可得a=3, 所以AB+AC=2snC+2sin(号-C） 由余弦定理得a2=b+e2-2 bccosA=b+2-2 becos 2π =2nc+2(停sc+c 可得9=6+c2+bc=(h+c)-bc, (b+c)2-9=bc≤b+ -in c+oc) 4 .3+≤9h+c)'≤12.h+≤23. =23sim(c+若） 4 ∴.a+b+c≤3+2√5. 国为Ce(o,)所以C+晋∈（答，） 当且仅当b=(=3时等号成立，△ABC的周长取得最大 值3+2√5. 所以sm(c+吾)∈（合小， [触类旁通] 1.解析(1)：(a十2c)cosB+bcos A=0, 所以25sim(C+晋)∈(3,2] ..(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0. 即AB+AC的取值范围是(5,2√5]. 所以(sin Acos B+sin Bcos A)+2 sin Ccos B=0, 9.2正弦定理与余弦定理的应用 所以sin(A+B)+2 cos Bsin C=0, 课前案·自主学习 :sin(A+B)=sinC≠0，∴cosB=-2: [教材梳理] 0<B<,∴B=2 导学1 1 问题】[提示]两个不可到达的点之间的距离我们可以借 (2)由余弦定理得=a+e-2ac×(-号)） 助第三个点和第四个点量出角度、距离求得 问题2[提示]可以，可以由余弦定理求得AB. ∴.a2+c2+ae=16≥3ac, ①结论形成 ∴ar<9,喜且仅当a==4g时等号成立， 1.基线 3 2.基线长度 越长越高 导学2 1 2 3 问题1[提示]能够测量出的分别是a,B,CD=a,测角仪 器的高h. 所以AAC的西款的最大值为 问题2[提示]在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部 [典例2][解析](1)由题设及正弦定理得sin Asin A的距离CA,再测出由C,点观察A的仰角，就可以计算 A+C-sin Bsin A. 出AE的长 问题3[提示]选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在 因为sinA≠0，所以inA十C=sinB. 同一条直线上，由在H,G两，点用测角仪器测得A的仰角 2 分别是B,a,CD=a,测角仪器的高是h.那么，在△ACD 由A+B+C-180,可得in4C=cos B 2 2 中，根搭正弦定理可得AC=asin。 sin(a-B)' 2sin 2 cos 2 AB-AE+hACsin a+h-asin asinh sin(a-B) 因为w号≠0，故血号=宁，由号∈（心，90，周北B ⊙结论形成 1.直角三角形 =60°. 2.(1)②以上③以下 [基础自测] 83 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ :AC-85(海里)，又inCAB sin60 16 2.DAC=AB+BC-2.AB·BCeos120°=102+202 .si∠CAB=1,∴.∠CAB=90°，航行的方向和路程分 2X10×20×(-2）-70,所以AC-10万km 别为北偏东70°，8√3海里 3.B如图，由题意，知AC=BC, [例3]解析]设小艇航行速度的 北 大小是v海里时， 如图所示，设小艇与轮船在B处相 遇.由余弦定理得BO=AO十 40 '50 AB-2AO·ABc0sA. 西 所以(w)=400+(30)2-2×20×30t·c0s(90°-30) 即(2-900)1+6001-400=0（其中0<≤30）， 609 、609 (1)当0<v<30时，则△=360000十1600（一900）= 1600(-675), ∠ACB=80°，所以∠BAC=∠CBA=50°， 令△=0，即1600(w一675)=0，则v=15W3, 图为a十∠CBA=60°，所以a=10° ， 当0<<15√3时，两船不会相通。 即灯塔A在灯搭B的北偏西10 4.D由题意知，A=B=30°， 当15√3≤<30时， 所以C=180°-30°-30°=120°， 光时1=一300士20√0-675 由正孩定理得，=B则AB AB AC AC·sinC w-900 sin B 4×sim120°=43(m. 当1=-300=20-675时. v2-900 sin 30 课堂案·互动探究 令x=√0-675，则x∈[0,15)， [例1][解析] 如图所示， 1= -300-20x-204 x-225 x-153: 当且仅当x=0,即v=15√3时.等号成立； 309 当t= -300+20√0-675时， 457 450 v2-900 B 在△ABC中，∠CAB=45°， 同理可得号<< ∠ABC=90°+30°=120°， 所以∠ACB=180°-45°-120°=15°， 体上可得，当15<K30时>号 AB=30×0.5=15(n mile), (2)当=30时可求得1=号 则由正孩定理，得in2 ABC-sin乙ACB AC AB 综合(1)(2)可知，当v=30时，1取得最小值，且最小值 即 AC 15 in120°sin15 又周为m15=6-2.n120-g 此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20: 4 2 所以可设计方案如下： 所以AC=15sim120°_3v2,+6×15(mile). 小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/时， sin15° 2 此时小艇能以最短的时间与轮船相遇 在△ACD中，因为∠A=∠D=45, [母题变式] 所以△ACD是等腰直角三角形， 解析设相遇时小艇航行距离为， 所以AD=√2AC=15(3+√3)(n mile). [触类旁通] 则=V90r-60r+400气J90(-3）+30. 1.B由题多知AB=32× =16 n mile,∠BAS=45, 故当1=号时桃行距离藏小为=105海里， ∠ASB=30°， 由正袋定卫，得-，解得BS=15Enm 16 此时 103=305(海里时)，小艇以303海里/时的 1 [例2][解析]在△BCD中， ∠CBD=180°-15°-30°=135°： 速度航行，相遇时航行距离最小 [触类旁通] 由正弦定理得 BC CD sin∠BDC sin.∠CBD 3.解析设辑私船应沿CD方向行驶1小时，才能最快（在D 所以BC=30sin30 =152. 点)栽获走私船，则CD=10√31海里，BD=101海里，在 sin 135 △ABC中，由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB· 在Rt△ABC中， AC0sA=(W3-1)2+2-2(W/3-1)×2·c0s120°=6. AB=BCtan∠ACB=15√2tan60°=15√6（米）. ,BC=√6海里。 [触类旁通] BC AC 2.C据题意知，在△ABC中，∠ABC=20°十40°=60°， 又 sin A sin∠ABC AB=8(海里)，BC=16(海里)， ∴.AC=AB+BC-2 ABX BCX cos∠ABC=8+16 sin∠ABc=ACsin A_2sim120°_-V2 BC 2×8×16×7=192. 6 21 ∠ABC=45°，B点在C点的正东方向上， @ ∠CBD=90°+30°=120. 在△BCD中，由正弦定理， 由正弦定理得sin Bsin A=sin Asin乞 B sineCDsinCCHD CD B o B=sin2 :simA≠0.∴.2sin2cos2 B sin∠BCD=BDin∠CBD_10·sm12g°_ 2 sin B-1 CD 10V3a B≠0.c0s2=2 .∠BCD=30°， ∴.辑私船沿北偏东60°的方向行驶. 0CB<B=等 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°. 故△ABC为纯角三角形， [典题3][解析](1)由(a+b+c)(a十b一c)=ab可得 ∴.∠D=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. a2+b2-c2=-ab, 小时≈15分钟. t10 由余弦定理知，c0sC=0十hC=一→ 2ab 2,又 ∴.蜂私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快戴获走私 6,考委小时，即大锋15分钟 C∈(0，)，因此C=2 3 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (2):Saw=5am+Sam,即号ain至=号6X 3 课前案·自主学习 2n吾+号×2a [教材梳理] 导学 9b=a+2b≥vab, 1.选题开题做题结题 2.合适对象活动步骤记录数据 2号音里仪当6=2a,即a=,68时等号 3 章末整合提升 [深化提升] 成立， [典题1门[解析](1)由余弦定理有a2+-c2=2 abcos ∴S△A cb>8.△AC面款的最小值为85. C,又a'+b-c=√2ab, [典题4][证明](1)根据正弦定理， 可得cosC=a+6-c=2ab区 2ab 2ab 2 左边=4 sin A十4R'sinB 4R'sin'C 因为C∈(0，π)，所以sinC>0. sinA十simB=右边， sin'C 21 即原等式成立 又因为sinC=2cosB,即cosB=2,注意到B∈(0，r), (2)根据余弦定理。 右边=2(x.+d+m.+26+6, 所以B= 2hc 2ca a2+6-c2 (2)由1)可得B=音osC=号 2ab 2 C∈(0，x),从而C=元 =(b+c2-a2)+(c2+a”-b2)+(a2+b-c2) A=r一 元π5元 =a2十b十”=左边，即原式成立. 3 4121 [典题5][解析](1)在△ADC中，因为∠ACD=30°， 而nA=s加=m(骨+）-竖×+号× ∠BDC=45°，∠ADB=75°， 2 2 所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°， 6+2 ∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°， 4 又DC=403, 由正弦定理有a b 5π sin 12 所以由正孩定理可得in DAC sin元，即03 DC AC sin30° 从而a=642:=6号-。 AC 4 2 m120·解得4C=120. 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为SAc= 所以A船距离雷达站C距离为120海里. mc-号，9-35. (2)在△BDC中，根据正弦定理可得 21 2 8 BC DC 由已知△ABC的面积为3+3，可得3+3=3+3， nn2D中5 403 所以c=2V2. 8in(180'-45-30-45·解得BC=402, [典题2】[解折]“sin号(asim号+2cos会） 在△ABC中，由余弦定理可得AB=120+(402)一2 ×120×40√2cos45=8000,解得AB=405, AC =acos 2 cos 2 因为A船以30海里每小时的逵度前往B处，而05 30 C 45∠3， :nA=aosA生S-=as2B-asin号. 3 B 2 2 所以能在3小时内赶到救援，