9.1 正弦定理与余弦定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 学业标准 素养目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定 1.通过对正弦定理的探索,培养数学抽象核 理的内容及其证明方法.(重点) 心素养. 2.能根据条件,判断三角形解的个数.(难点) 2.通过正弦定理的运用,培养逻辑推理、数 3.能运用正弦定理解决简单的解三角形问题.(重点) 学运算等核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 I教材梳理 导学2正弦定理的形成 导学1三角形面积公式的拓展 #oesin)A 问题1 间题1△ABC中,边BC,CA,AB上的高分 别记为。,,h,那么它们如何用已知边 和角表示? 么式子? 问题2 将问题1中得到的结论代入三角形面 问题2问题1中的式子能取倒数吗?如果 能,得到什么式子? 面积公式? 间题3 在△ABC中,sinA:sinB:sinC= O结论形成 a:b:c吗? 若记△ABC的面积为S,则S一 ·数学·必修 第四册(配BJB版) 结论形成 结论形成 1.正弦定理 三角形中的元素与解三角形 (1)三角形中的元素:指的是三角形的 在一个三角形中,各边 文字 的长和它所对角的 语言 (2)解三角形:已知三角形的 的比相等. 求 的过程. 符号 sinA 基础自测 语言 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 三角形都成立,它反 2.正弦定理对 (1)在Rt△ABC中,若C为直角,则sinA 之间 _ 映了一个三角形中各边与其 _ C 的关系. (2)在△ABC中,若a>,则A>B 3.正弦定理的变形 ( _~ sinB (1)sinA (3)在△ABC中,C=π-A-B _~ #sin 'sinC sinA sinC ( ) (2)a:b:c-sinA:sinB:sinC 2.在△ABC中,A:B:C=4:1:1,则 #(3) _C a十b a:b:c等于 ) sinA sin B sin C sin A+sin B A.4:1:1 b十C B.2:1:1 a十c ___ sin A+sinCsin B+sin C C./2:1:1 D.③:1:1 a十b十C -2R. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为 sinA十sinB+sinC a,$,c,若A=60{},B=45^{*},a-3 /②,则$$ (R为△ABC外接圆的半径) ( ) 导学3解三角形 # B.③ ?问题 在一个三角形中,已知两个角和一 C.2③ D.4③ 条边,能求出其余的边和角吗? 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若a=1,b-③,A+C=2B,则sinA 2 第九章 解三角形· 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 已知两角及一边解三角形 规律万法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 例1在△ABC中,已知A-45^{*,B=30{,a=$ 根据正弦定理求另外一边所对 2.解此三角形 角的正弦. [自主解答] 先根据正弦求角,再根据内角 和定理求第三角. 根据正弦定理求第三条边的长度. [触类旁通] 规律方法 2.(1)(2024·浙江杭州高一期中)已知在 已知两角和任意一边解三角形的方法 根据三角形内角和定理求第三个角. B一 ( ## _ A 根据正弦定理求另外两条边的长度. [触类旁通] C.## 1.(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中, ($2)在△ABC中,a=6,-8, A=40*,则$$$$ 内角A,B,C的对边分别为a,,c,若a B的解的个数是 ( ~ 2,A- A.0 __ 。 B.2 C.1 D.无法确定 题型三 三角形形状的判断 一题多变 ## 例3;在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C 的对边,且(a^{}十b^*})sin(A-B)=(^{}-^)· 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 sin(A十B),试判断△ABC的形状 例2 在△ABC中,解三角形 [自主解答] (1)6-4,c-8,B-30*; (2)a-/2,b-2,A-30*。 [自主解答] 2 ·数学·必修 第四册(配BJB版) [母题变式] [填密思维提能区] 易错辨析 (变条件)将本例条件“(a^{}十^)sin(A一B) 利用正弦定理解三角形 =(^}-)sin(A+B)"”改为“acos(-A) [典例] 在△ABC中,若A=60{*},BC= 4③,AC-4/2,则角B的大小为 ( =beos(一B)”,其他条件不变,试判断 ~ A.30* B.45。 △ABC的形状. C.135* D.45*或135* BC [错解] -AC 根据正弦定理得 sinAsinB' 即4③ 又B为三角形的内角, 所以角B为45^*}或135^{}(忽略了对角大小的 判断) [答案] D BC _AC [正解] 根据正弦定理得 sinAsinB' 又BC AC,所以A>B,所以角B为45^*} [素养聚焦] [答案]B 利用正弦定理求三角形的角, 突出考查数学运算和逻辑推理核心素养 [纠错心得 已知两边和其中一边的对角解 规律万法 三角形时,可能出现两解、一解或无解三种情 判定三角形形状的两种方法 况,一般要根据大边对大角进行判断, (1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通 课常小结 过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断 三角形的形状. 知识落实 技法强化 (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角 (1)正弦定理的推导及应用.(1)本节课应用了转 函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角 (2)三角形的面积公式及其化与化归、分类讨论 的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应 应用. 过的思想方法. 用A+B+C一π,这个结论 在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公 (3)应用正弦定理解三角(2)应用正弦定理易 因式,应移项提取公因式,以免漏解。 形:①已知两角和任意一忽略对角的讨论,进 [触类旁通] 边,求其他两边和第三个行边和角的正弦相互 3.(2024·临沂高一期中)在△ABC中,角 角;②已知两边和其中一边转化时易出现非等价 的对角,求其他的边和角. A.B,C,所对的边为a,b,c,若sinA 变形. 2sinB·cosC,且. sinA=sinB十sinC,则 请完成[课后案]学业评价() △ABC的形状是 4 第九章 解三角形· 9.1.2 余弦定理 学业标准 素养目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向 1.通过运用余弦定理解三角形,培养数学运算核 量方法. 心素养, 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 2.通过利用余弦定理判断三角形的形状,培养逻 (重点、难点) 辑推理核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 数梳理 导学2 余弦定理的证明 ②问题 如图,设CB-a,CA-b,AB-c,由 导学1余弦定理的形成及推论 AB-CB-CA知c=a-b,那么如何用a,b 问题1 正弦定理可以解决哪两类解三角形 和角C表示出边c呢? 问题? 问题2 如果一个三角形中已知两条边和它 们的夹角,利用正弦定理能求出其余的边 和角吗? 基础自测 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)在△ABC中,已知两边及夹角时, O结论形成 △ABC不一定唯一. ) 1.余弦定理 (2)在△ABC中,三边一角随便给出三个, 可求其余一个. ( 三角形中任何一边的 ,等于其他两 ) 边的 (3)在△ABC中,若a^}十b-c*}=0,则角C 减去这两边与它们 为直角. ( .即a②}-6②}十c2- 余弦的积的 ) (4)在△ABC中,若a*}十b*}-c>0,则角C 2bccosA,62一 为钝角. ) 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为 2.余弦定理的推论 b62十c2-{} c+-2} ,b-2②,c-③,则a= -;cosB- cosA- 3 2bc 2ca ~ _2}+-2} cosC- B./2 A.2 C.3 2b D.3 ·数学·必修 第四册(配BJB版) 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 4.在△ABC中,cosC- 2 a,b,c,若a=4,b=5,c=6,则cosB= 则cosB- ( ( ) ) ## D. 课堂案·互动探究 关键能力 素养提升 [触类旁通] 题型一 已知两边与一角解三角形 1.(2024·福建泉州高一期中)已知△ABC 例1(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边 中,CA-3,CB-5,C-120*,则sinB 分别为a,b,c,A=60{,且△ABC的面积 ( ## _~ 为③,若十c-6,则a A.34 ) 3③ A.2/6 B.5 C.30 D.2/7 题型二 已知三边(关系)解三角形 例2在△ABC中, 则sinA- 。_ ) 1 (1)a-3,b-4,c-/37,求最大角; B#0 (2)a:b:c=1:3:2,求角A,B,C的 C.0 大小. [自主解答] 规律万法 (1)已知两边及两边的夹角解三角形,可以先利用 余弦定理直接求第三边,再利用余弦定理的推论 及三角形内角和定理求其余两角,也可用正弦定 理求其余两角 (2)已知两边和一边的对角解三角形,有两种 规律万法 过解法: 已知三角形三边长度解三角形可以仅使用余 ①利用余弦定理列出方程,运用方程的思想求出 弦定理的推论,也可以先运用余弦定理的推论求 第三边的长,这样可直接判断取舍, 出一角,再利用正弦定理、三角形内角和定理求其 ②直接运用正弦定理,先求角再求边,但要注意判 余角,在用正弦定理求解时,要根据三边的大小确 断解的个数, 定角的大小,防止增解或漏解, ⊙ 第九章 解三角形· [触类旁通] A.直角三角形 2.已知三角形的三边长分别为3,5,7,则最 B. 等腰三角形 大的角为 ( ) C.等腰直角三角形 B. D.等腰三角形或直角三角形 [填密思维提能区] 规范答题 正弦定理、余弦定理的简单应用 题型三 三角形形状的判断 一题多解 [典例](13分)在△ABC中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosC 2 2 cosB 2# 为角A,B,C所对的边),判断三角形的 形状. [自主解答] (1)求sinC _的值; sinA (2)若cosB-1. ,△ABC的周长为5,求b 的长. [审题指导] (1)根据正弦定理,将式中的 边化为角; (2)根据(1)的结论,得出a与c的关系,结 合cosB和周长为5,求b [规范解答](1)由正弦定理得 a-2RsinA. b-2RsinB. -1失分警示-- ①处若忽视用正 c-2RsinC. 弦定理,则无法 失掉3分..-. 实现边角转化会 (其中R为△ABC外接圆 [素养聚焦] 灵活利用正,余弦定理判断三 半径) 角形的形状,培养学生数学运算和逻辑推理 核心素养, 所以cosA-2cosC2c-a cosB 规律万法 _2sinC-sinA^{①} 判断三角形的形状往往和三角恒等变换或代 sinB , ..................(3分) 数变形分不开,解法一是化角为边,解法二是化边 过为角。 所以sin Bcos A-2sin BcosC [触类旁通] -2sin Ccos B-sin Acos B. 3.(2024·江苏连云港高一期中)在△ABC sin Acos B+sin Bcos A 中,若acosB十bcosA一a,则△ABC的形 -2sin Bcos C+2sin Ccos B, 状是 ( 所以sin(A+B)-2sin(B+C). 7 ·数学·必修 第四册(配BJB版) 又A+B十C-π. -1失分警示上-- 即(5-3){}-^}十(2a){}-4^{②}·1 ...... 若②处不能熟练 所以sinC-2sinA^{②}, 运用公式,则无 i法进行角的转化。 .......................11分) 会失掉4分.... 所以sinC -2...... (5分) 解得a-1,a-5(舍去), sinA ........(12分) 所以=5-3×1-2...............(13分) (2)由(1)知sinC -2. sinA 课堂小结 知识落实 sinA a 技法强化 即c三.........................分). (1)利用余弦定理解三角 (1)余弦定理的应用 又因为/ABC的周长为5。 形应用了化归、转化、数 所以-5-3.......................... (9分) (2)余弦定理解决的两形结合的思想方法. 类问题. (2)应用余弦定理易忽略 由余弦定理得 -1失分警示上-- !若③处不能用余 三角形中的隐含条件. $*-a2+c2-2accosB^{}$ 弦定理列出方程, 则会失掉8分. 请完成[课后案1学业评价(二) _, 解三角形中的最值与范围问题 一、真题展示 由已知条件:1十cos2B去0. (2022·新高考全国卷I)记△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cosA sin2B 1+sinA1+cos 2B' (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则 (1)若C2π. ##} ,求B; ##2)}#}# 的最小值. sin B=sin(C-)--cos C. ## [解析] (1)由已知条件得:sin2B十 sin A=sin(B+C)=sin(2Cc-)= sin Asin 2B=cos A+cos Acos 2B -cos2C. sin 2B-cos A+cos Acos 2B-sin Asin 2B a+6^2sin2A+sin2}B =cosA+cos(A+2B) 由正弦定理,得 sin{C 。_ =cos-(B+C)]+cos-(B+C)+2B$ cos{}2C十cos}C =-cos(B+C)+cos[x十(B-C)] sin②C (1-2sinC)*+(1-sinC) --2cosBcosC. sin{②C 所以2sin Bcos B--2cos BcosC 2+4sin C-5sin C2+4sin*C-5 sin{C 即(sin B+cos C)cos B-0. sin2C 2高中同步学习方案 第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 课堂案·互动探究 9.1.1正弦定理 [例1][解析]由三角形内角和定理得 课前案·自主学习 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30)=105°. [教材梳理] 导学1 旅扬三按定理得b血B2如392X sin A sin 45 =2, √2 问题1[提示]h.=bsin C=csin B,h,=csin A=asin C, 2 h,=asin B=bsin A. 2X6+2 问题2[提示]5=合bsinC,S-合csmA,S c=asin C_2sin105° 2sin75° 4 sin A sin 45 sin 45" =√3+1. 2acsin B. 2 [触类旁通] O结论形成 besin A 1.D由题可得simC-2 ,由正弦定理得 2acsin B 3 sinCsinA,解 导学2 得c=asin C_ 2X2 问题】[提示]能得到sinA=si血B-sinC sin A 1 -号故-号故选D 2 问题2[提示]因为sinA>0,sinB>0,sinC>0,所以可 [例2][解析](1)由正弦定理，得 以取例载，得到A一品B一C sin C sin B-8sin 30-1. b 4 同题3[提示]由于品A品B片以合-出会同显 b .30°<C<150°，∴.C=90 从而A=180°-(B+C)=60° b=sinB,所以sin A sin B:sinC=atb:c正确. a=√e2-b=43. sin C ∴.C=90°，A=60°，a=4V3. ○结论形成 （2)由AB b 1.正弦值sin B sin C b 2.任何对角正弦值 得sinB=bsin A_2sin30°-区 2 2, 3a号色吕 a<b,∴B>A=30°， .B=45或B=135 导学3 当B=45°时， 问题[提示]能，可以利用正弦定理求解，还要用到三角 C=180°-(A+B)=180°-(30°+45)=105°， 形的内角和定理」 C ○结论形成 sin Csin A' (1)三个角及其对边(2)几个元素其他元素 [基础自测] .e= asin C= √2sin105_2sin75 v2×6+@ 1.(1)/(2)√(3)√(4)X sin A sin30° sin 30 2 2.DA+B+C=180°，AtBC=4:1:1, .A=120°，B=30°，C=30 3+1. 由正弦定理的变形公式得 当B=135°时， atbc=sin At sin B:sin C C=180°-(A+B)=180°-(30°+135)=15°， =血120：如30血30-号：2：专 ∴c=asinC_ 2sin15° 2x6-② sin A sin 30 4一=5-1. =√3：1：1.故选D. 2 3.C由正弦定理得b=a8inB_32sin45 .B=45°，C=105°，c=3+1戏B=135°，C=15°，c= sin A sin60° 3-1. 3v2x② [触类旁通] 2 =2√3. 3 2.(1)C由正弦定理得 c品6中”-品品 2 4.解析图为A十B+C=180°，且A十C=2B,所以B=60°， 由正孩定理得sinA=asin B=1·sin60°_1 血B-号，又0<B<管，所以B=至或B=要 b 2 (2)B过点C作CH⊥AB于点H, 因为a=6,b=8,∠A=40°，所以CH=8sin40°<8sin45 答案2 =42<6, 所以CH<a<b,这样的∠B可能为锐角，也可能为钝角，： [基础自测门 如图所示，解的个数为2个 1.(1)×(2)√(3)/(4)× 2.D由余弦定理得a2=b6+c2-2 bccos A=3,得a=√5. 3.D由余弦定理的推论得 cosB=-。+-8-16+36-25-9 2ac 2×4×616 B' H B 4.A设AB=c,BC=a,CA=b, [例3][解析]因为(a2+b)sin(A-B) c=a2+6-2abcos C =(a2-b2)sin(A+B), =9+16-2×3×4×号=9， 所以b[sin(A+B)+sin(A-B)] =a[sin(A+B)-sin(A-B)], 6=3osB=+-日故选A 2ac 所以2 bsin Acos B=2a'cos Asin B, pa'cos Asin B=bsin Acos B. 课堂案·互动探究 由正弦定理知a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, [例1】[解桥])由于A=60,SAe=csnA=号c 所以sin2 Acos Asin B=sin'Bsin Acos B, 又sinA·sinB≠0，所以sin Acos A=sin Bcos B,所以 sin 2A=sin 2B. 故有气=尽，解得配=4， 在△ABC中，0<2A<2r,0<2B<2r, 又b+c=6,则a=√6+e2-2 bccos A=√(b+c)-3bc 所以2A=2B或2A=π-2B. =√36-12=26，故选A 所以A=B或A+B=受 (2)在△ABC中，因为B=T,AB=E,BC=3, 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. [母题变式] 由余弦定理得AC=AB+BC-2AB·BCcos年=2+9 解析解法一 固为aos(受-A）=tcos(受-B), 2xEx8x号=-5， 所以asin A=bsin B. 所以AC=5, 由正孩定理可得a·录=b~泉，所以。=， b 由正弦定里AC BC sin B sin A' 所以a=b,所以△ABC为等腰三角形. 解法二周为acos(受-A)=bcos(受-B), 可得sinA=BCsin B3文2-3o AC √5 10 所以asin A=bsin B. [答案](1)A(2)C 由正弦定理可得2Rsin2A=2Rsin2B,即sinA=sinB,所 [触类旁通] 以A=B.(A十B=π不合题意，舍去). 1.A 在△ABC中，由余孩定理得AB= 故△ABC为等腰三角形. √AC+BC-2AC·BCeos C=√3+52+3×5=7， [触类旁通] 3.解析因为sinA=2sinB·cosC, 所以sin(B+C)=2sinB·cosC, 南正孩定理得如日=AC咖C。3 AB 72-3 14 则sin Bcos C+cos Bsin C=2sinB·cosC, [例2][解析](1)里然C最大. 所以sin Bcos C-cos Bsin C=0, :coc-G+_2- 1 即sin(B-C)=0, 2ab 2×3×4 因为B,C∈(0，r),所以一π<B一C<π， .C=120°. 所以B一C=0, (2)由于aibi c=1；√3：2， 即B=C,则b=c,所以△ABC为等腰三角形， 可设a=x,b=3x,c=2x. 又sin2A=sin2B+sinC, 由余弦定理，得 由正弦定理可得口=+己，则A=受， osA-+2-d_3x2+42-王2_5 2bc 2X3x·2x 2 所以△ABC为直角三角形， .A=30 综上可得△ABC为等腰直角三角形. 答案等腰直角三角形 同理c0sB=7,c0sC=0, 9.1.2余弦定理 .B=60°，C=90° 课前案·自主学习 [触类旁通] [教材梳理] 2.C由大边对大角知，边长为7对应的角0∈(0，x)最大， 导学1 cos9=9+2549=-号， 问题1[提示](1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. 2×3×5 2 (2)已如两边和其中一边的对角，求另一边和两角， 所以0=2 问题2[提示]不能，需要用余孩定理 ⊙结论形成 [例3】[每析]解法-因为m令-生。 1.平方平方和夹角2倍c2+a2-2 cacos B a2+6- 2abeos C 所以1+空A-会+日所以c0sA- 2 c 导学2 问题[提示]lc2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b 由余弦定理的推论得c0sA=十口， 2bc 2a·b=d2+8-2 lallblcos C.所以2=a2+6-2 abcos C. 同理可以证明：a2=6十c2-2 bccos A,b2=c2十a2 所以+-a=点，所以8十2-a=26, 2bc c 2cacos B. 所以a2十b=c2,所以△ABC是直角三角形. 3 解法二由解法一，知cosA= c (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= 1a. 由正孩定理，得之-需是，所以A-密是 又由(1)知A+C=120°， sin C' 因为A十B+C=x, 故由正弦定理得a csinA_sin(120°-C 所以sin Ccos A-sin(A+C), sin C sin C 所以sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C, 由于△ABC为锐角三角形， 所以sin Acos C=0. 故0°<A<90°，0°<C<90 因为0<A<π，0<C<π， 结合A+C=120°，所以30°<C<90°， 所以sinA≠0，所以cosC=0,所以C=受 <a<,从而<S< 8 故△ABC是直角三角形」 [触类旁通] 因光△ABC面教的取值范周是（停，受）】 3.B图为acos B+-bcos A=a,所以aX。+-B十bX [触类旁通] 2ac 2.解析(1)由m⊥n,得m·n=0,即cosB(2cosC+cosB) 店+-d=a,整理得c=a,所以△ABC是等腰三角形. +(sin B-2sin C)sin B=0, 2bc 则2(cos Beos C-sin Bsin C)十(cos2B十sin2B)=0, 教考衔接1解三角形中的最值与范围问题 [典例1][解析](1)设△ABC的内角A,B,C所对的边 即2c0s(B+C)+1=0,故c0s(B+C)=-2 分别为a,b,c, ,sin2A一sinB-sinC=sin Bsin C,由正弦定理可得 又B+CE(0,,所以B+C-,所以A=子. 3 a2-b2-c2=bc, 即为+c2-a2=-bc, (2)周为A=号，BC=, 六cosA=+c2-g =一= 2bc 2bc 2 由运张定理得品品二一品2 由0<A<,可得A=号 所以AB=2sinC,AC=2sinB=2sin(5-C), (2②)由1得A-受由题意可得a-3, 所以AB+AC=2snC+2sin(5-C) 由余弦定理得a2=b+c2-2 bccos A=b2+c2-2 bceos 3 -2mc+2(sc+nc) 可得9=b+c2十bc=(b+c)2-bc, (b+c)2-9=bc≤b+c2 -3sin C+coC in+o c 4 :36+≤9，（6+e≤12，b+c≤23. =25sin(c+若)： 4 a+b+c≤3+2√5. 国为C∈(o,),所以C+晋∈（答，）， 当且仅当b=c=√3时等号成立，△ABC的周长取得最大 值3+2√3 所以sm(c+晋)e(侵]。 [触类旁通] 1.解析(1)：(a十2c)cosB+bcos A=0, 所以23sin(C+音)∈(W5,23], .(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0, 即AB+AC的取值范围是(5,2V5]. 所以(sin Acos B+sin Bcos A)+2 sin Ccos B=0, 9.2正弦定理与余弦定理的应用 所以sin(A+B)+2 cos Bsin C=0, 课前案·自主学习 :sin(A+B)=sinC≠0，∴cosB=-z, [教材梳理] :0<B<B=5 导学1 问题1[提示]两个不可到达的点之间的距离我们可以借 (2)由金弦定理得B=a2+2-2acX(-合)月 助第三个点和第四个点量出角度、距离求得， 问题2[提示]可以，可以由余孩定理求得AB ∴a2+c2+ac=16≥3ac, O结论形成 a<9当且收当a=6-4时等号成立， 1.基线 3 2.基线长度越长越高 导学2 1 31 问题1[提示]能够测量出的分别是a,B,CD=a,测角仪 器的高h. 所以AABC的面款的最大值为4 问题2[提示]在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部 [典例2][解析](1)由题设及正弦定理得sin Asin A的距离CA,再测出由C点现察A的仰角，就可以计算 A+C=sin Bsin A. 出AE的长. 2 问题3[提示]选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在 因为si血A≠0，所以sinA十C=sinB. 同一条直线上，由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角 2 分别是B,a,CD=a,测角仅器的高是h.那么，在△ACD 由A+B+C=180,可得sin4生9=cos号，故cos号 中，根据正弦定理可得AC-asin且 2 sin(a-B)' 2sin BB AB-AE+h-ACsin a+h-asin asin h sin(a-B) 因为m号≠0，故血号=宁，由号∈（心，90，因此B ⊙结论形成 1.直角三角形 =60°. 2.(1)②以上 ③以下 4