学业评价(一-二) 角的推广 弧度制及其与角度制的换算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册课后案·学业评价（人教B版2019）

学业评价(一) 角的推广 [必备知识·基础巩固 11.如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的 集合是 1.(多选题)下列四个角为第二象限角的是 ) A.-200。 B.100* C.220* D.420。 2.下面各组角中,终边相同的是 ( A.390*,690* B.-330{*,750* C.480*,-420* D.3000*,-840{ 12.如果角a与角(v十60)的终边相同,角3与角 3.已知a是第二象限角,则180{*}一a是 ( (一60{})的终边相同,那么a一8的可能值为 A.第一象限角 B.第二象限角 (写出一个即可). C.第三象限角 D.第四象限角 13.在集合gla-·90{*}+45{,EZ中, 4.若角2a与240角的终边相同,则a等于 (1)有几种终边不相同的角? A.120{*+·360{},6-7 (2)有几个在一360{}~360{之间的角? B.120*+·180{},Z (3)写出其中的第三象限角. C.240{+·360*,7 D.240*+·180*,7 5.下列说法中正确的序号为 ①一65*}是第四象限角;②225^{*}是第三象限角; ③475*是第二象限角;④一315*是第一象限角. 6.若将时钟拨快30分钟,则时针转了 度, 分针转了 度。 [学科素养·探索创新 7.若角。一2023{,则与角。具有相同终边的最小正 角为 ,最大负角为 14.角;与角8的终边关于y轴对称,则。与3的关 8.已知a--1910*。 系为 ) (1)把a写成B十·360{}(EZ,0 ③ 360*)的 A.a十B-·360{},EZ 形式,指出它是第几象限角 B$a+③-k·360*+180*, (2)求θ,使0与a的终边相同,且一7200~0*。 C.a-③-·360*+180{,7 D.a-③-k·360{}, 15.如图所示,点A在半径为1 且圆心在原点的圆上,且 AOx-45,点P从点A 处出发,以逆时针方向沿圆 [关键能力·综合提升 周匀速旋转,已知点P在1 9.(多选题)在一360*}~360{范围内,与一410{*}角终 秒内转过的角度为θ(0{}<0 180*}),经过2秒钟 边相同的角是 ( ) 到达第三象限,经过14秒钟又回到出发点A. A.-50。 B.-40” 求9,并判断0所在的象限 C.310{ D.320* ( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ·数学·必修第三册(配BJB版) 学业评价(二) 狐度制及其与角度制的换算 [必备知识·基础巩固] 7.a的终边与的终边关于直线y一x对称,则a的 ( 1.-300{化为孤度是 .-## 取值集合为 8.已知角。-1200*。 A.一 (1)将a改写成③+2k-(Z.0<③<2π)的形式 C.-7 并指出a是第几象限的角; (2)在区间[一2x,2x]上找出与a终边相同的角 _ 2.(多选题)下列转化结果正确的是 ) 3 6 ( 。 [关键能力·综合提升] A.第一象限 B.第二象限 9.若角a与角x十有相同的终边,角8与角x-π C.第三象限 D.第四象限 4.下列与角^2的终边一定相同的角是 有相同的终边,那么a与?间的关系为 ) .7 A.a十3-0 B.a-B-0 B. k· 360+2#n(e 乙2) C.a+③-2x(z) D.(2+1)+2-□(ke乙) 小的e值是 ( ) 5.已知4x a6,且角a与角 A.-3- B.- 4 二 C. D3 6.折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时期, 《南齐书》上说:“褶渊以腰扇障日,”,据《通鉴注》 11.“数聚清风,一趁生秋意”是宋朝朱奖描写折 上的解释,“腰扇”即折扇,一般情况下,折扇可以 扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢, 看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形 是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别 的孤长为/,扇形所在的圆的半径为,,当/与·的 号,如图所示是折扇的示意图,已知D为OA的 比值约为2.4时,折扇着上去的形状比较美观,若 一把折扇所在扇形的半径为30cm,在保证美观 3 的前提下,此折扇所在扇形的面积是 cm{. ABCD)部分的面积是 2 12.密位广泛用于航海和军事,我国采用的“密位 15.如图.动点P.Q从点A(4:0)出发.沿圆周运动 制”是6000密位制,即将一个圆周分成6000等 点P按逆时针方向每秒钟转狐度,点Q按顺 份,每一个等份是一个密位,那么600密位等于 rad. 时针方向每秒钟转一孤度,求P,Q第一次相遇 13.已知一扇形的圆心角为a(a>0{}),周长为C,面 时所用的时间及P,Q点各自走过的狐长。 积为S,狐长为/,所在圆的半径为r. (1)若a一30{,r一8,求扇形的孤长; (2)若C=16,S一16,求扇形的半径和圆心角 [学科素养·探索创新 14.以等边三角形每个项点为圆心,以边长为半径, 在另两个顶点间作一段孤,三段狐围成的曲边 三角形就是勤洛三角形,勤洛三角形是由德国 机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,所 以以他的名字命名,一些地方的市政检修井盖、 方孔转机等都有勒洛三角形的应用,如图所示, 已知某勒洛三角形的三段孤的总长度为x,则该 勒洛三角形的面积为 ( A.n-③ B.*-3 D.2 C.3 .n_3 2 3学业评价 11.解析终边落在OA的位置上的角的集合是 学业评价（一）角的推广 {aa=120°+k·360°，k∈Z. 1.AB对于A选项，一200°=160°-360°，故-200°为第二 终边落在OB的位置上的角的集合是 象限角：对于B选项，100°是第二象限角：对于C选项， {aa=-45°+k·360°，k∈Z}. 220°是第三象限角：对于D选项，420°=60°+360，故420° 故终边落在阴影部分的角的集合是 为第一象限角， {a|-45°+k·360°≤a≤120°+k·360°，k∈Z}. 2.B因为-330°=-360°+30°.750°=720°+30°， 答案{a-45+k·360°≤a≤120°+k·360°，k∈Z 所以一330°与750°终边相同. 12.解析角a与角(y十60)的终边相同， 3.A由a是第二象限角可得， a=m·360°+y+60,m∈Z, 90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z 角3与角(Y一60)的终边相网， 所以180°-(90°+k·360>180°-a>180°-(180°+k·360°). 3=n·360°+y-60°，n∈Z, 即90°-k·360>180°-a>-k·360°(k∈Z). ∴.a-B=m·360°+y+60°-(n·360°+y-60) 所以180°一a为第一象限角. =(m-n)·360°+120°(m,n∈Z), 4.B角2a与240°角的终边相同，则2a=240°+k·360°， 即a一B与120°角终边相同. k∈Z,则a=120°+k·180°，k∈Z. 答案120°（容案不唯一） 5.解析①65是第四象限角，是正确的： 13.解析(1)由k=4n,4n十1,4n十2,4n+3(n∈Z),知在给 ②225°是第三象限角，是正确的： 定的角的集合中终边不相同的角共有四种， ③475°=360°+115°，其中115°是第二象限角， (2)由-360<k·90+45<360,得-号<<号 所以475°为第二象限角，是正确的： ④一315°=一360°十45°，其中45°是第一象限角， 又k∈Z,故k=-4,-3,-2,一1,0,1,2,3. 所以在给定的角的集合中在一360°一360°之间的角共有 所以一315°是第一象限角，是正确的， 8个. 所以正确的序号为①②③④. (3)其中的第三象限角为k·360°+225°，k∈Z 答案①②③④ 14.B方法-（特值法）令a=30°，则3=150°， 6.解析国为每小时时针、分针分别按顺时针方向旋转了 代入选项得只有B符合题意. 30°，360°，所以考虑到旋转方向，时钟拔快30分钟，时针、 方法二（直接法）因为角α与角B的终边关于y轴对称， 分针分别转了一15°，一180 所以月=180°-a+k·360°，k∈Z, 答案-15-180 即a+3=k·360°+180°，k∈Z. 7.解析2023°=5×360°+223， 15.解析根据题意知，14秒钟后，点P在角140十45°的终 ∴.与角a终边相同的角的集合为 边上，所以45°十k·360°=140+45°，k∈Z. {aa=223°+k·360°，k∈Z}, 又180°<20+45°<270，即67.5°<0<112.5°. 故最小正角是223°，最大负角是-137 答案223°-137° ÷67.5<180°<12.5 7 8.解析(1)设a=+k·360°(k∈Z), 又k∈Z,.k=3或4， 则3=-1910-k·360°(k∈Z). 令0°≤-1910°-k·360°<360°， 六所案的0的位为四或四 7 解释-6品<≤-5品 0<540°<90°.90°<720°<180. 7 7 又k∈Z,故k=-6,求出相应的3=250°， “0在第一象限或第二象限 于是a=250°一6×360°，它是第三象限角. 学业评价（二）弧度制及其与角度制的换算 (2)令0=250°+n·360°(n∈Z), 取1=一1，一2就得到符合一720°≤0<0°的角： -30°=-300×10=-号x 5 1.B 250°-360°=-110°，250°-720°=-470. 故0=-110°或-470°， 2ABD对于A,6730=67.5X高0-警正猜 9.AC因为-50°=-410°+360°，310°=-410°+2×360°， 所以与一410°角终边相同的角是一50°和310°，故选AC 对子-1g=-1g×(） =一600°，正确： 10.B0是第二象限角， ∴.k·360°+90°<0<k·360°+180°，k∈Z, 对于C.-150=-150×高0=-，错： k180+45<号<.180+906eZ 对子D音=×(0）广=15，正确 “号是第一或第三象限角。 3A周为管-2十是，角登是第一康限角，所以角晋 5 又一0是第三象限角，，'.90°一0是第四象限角. 的终边所在的象限是第一象限。 33 @ 4.C 与管的终边相同的角的集合为。-+2k∈乙， 18解析1由已知，得1=8×30X高-经， 又角度与孤度不能混用，故只有C选项合适， C=2r+l=16 5.解析。=2x-径，6∈Z (2)由己知，得 -r=16. 解得4， 11=8, C(4x,6x).3.615 .a= 上×180=8×180=360，即扇形的半径为4，图 r 4 答案 心角为360 6.解析依题意r=30(cm), L=2.4, 14.B设等边三角形ABC的边长为a, 所以1=2.4r=72(cm), 则由道意得晋×a=子×，解得a=1, 所以S=r=专×72×30=1080(m). 所以扇形ABC的半径为1，圆国心角为答， 答案1080 7.解析。的终边与君的终边关于直线y=x对称， 则共西积为号×晋X=晋 6 所以。的终边与角晋的终边相同，所以。的取值集合 又等边三角形ABC的面积为XP- 4 为{ae=晋+2x,∈Z小， 则孩勒移三角移的而款为（悟一）×3+-。 答案{aa=吾+2m,k∈Z 故选B. 15.解析设P,Q第一次相遇时所用的时间是1， &解折1a=120-102x-警+6a 则1…受+1…一晋=2元解得1=4 因为行为第二象很角，所以口是第二象限角： 所以第一次相遇时所用的时间是4秒， 第一次相适时点P已经运动到角受·4一亨x的终边与 4 （2)与。终边相同的角可以写成7=+2km,k∈乙。 周交点的位置，点Q巴经选动到角-红的终边与圆交点 由y+2kx∈[-2,2]，得 3 的位置， 当k=0时，y经当=一1时一号 所以点P走过的孤长为号不×4=9 所以在区间[一2,2幻上与a终边相同的角为经和-红 2 3 点Q走建的激长为一等×4= X4= 3元 9.Da=r+年+2kx,∈D 学业评价（三）三角函数的定义 B=x一至+2：∈Z0 1.B图为（名）广+（受）=1，由三角画数的定义可知， ÷a-月=受+2k-k)x(k,∈Z.k:∈Z. k∈Z,k∈Z,k1-k2∈Z. 点P为角。的终边与华位司的文点，所以s加。-号 ∴a-月=5+2kx(k∈ZD. 2.BC因为角a的终边经过点(2a-6,a十1)，且cosa≤0， sin a0. 10.A令-=0+2kx(k∈ZD. 所以a是第二象限角或a的终边在y轴非负半轴上，可得 4 则9=-4r-2kr(k∈ZD. 24-6≤0·解得-1<a≤3，结合选项可知实数a的取值 1a+1>0. 4 可以是1,3，故选BC 取k0的值，k=-1时，0=-30- 3.BCDA为正，：-1000°=-3×360°+80°， k=-2时，0=头，0=> .一1000是第一象限角，.sin(一1000°)>0： ,01=>还t连A B为负，19-2x十智9是第三泉限角， k=0时，0= 11,解析由题意可得整个折扇扇形的半径r=4, cos1g5<0: 国心角。=要，故扇面面积S=2ar-4·(5）广 C为负，"2rad≈2×5718'=114°36，是第二象限角， ∴.tan2<0: 骨r-×号×- 8 3 D为负，：竖<5<2,5孤度是第回象限角， 答案4π .sin5<0:故选BCD. 12.解析国周角为2x, 4.B在△ABC中，A为钝角，则B为锐角，则 1害位-品-3 cos A<0,tan B>0. 则点P(cosA,tanB)在第二象限，故选B. 600窗位=300×60=吾 5.解析由于角0的终边经过点P(4,m), 5 答案号 由角0正弦的定义得：sin0= V个+m,且sim0一 5 34