学业评价(十九) 倍角公式-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册课后案·学业评价（人教B版2019）

学业评价(十九) 倍角公式 [必备知识·基础巩固 8.已知sin(+a) sin(-)#-,且E(,)# 1.(多选题)下列各式的值为的是 求tan4a的值 。 ) 17π B. i0{o01 A. sin 6 (a D.- 2.(2024·北京海淀高一期中)若sina十cosa= 5 则sin2a= ( - B. .1 . [关键能力·综合提升] 3.(2024·江苏盐城高一期中)已知sina= 2 ( cos(-2a)一 ) 的三角形称为黄金三角形,它被称为最美的三角 A.-7 7 形,如图所示,正五角星由五个黄金三角形和一 个正五边形组成,且黄金三角形ABC的顶角A . 36^{}根据这些信息,可求得cos216{的值为 4.(2024·江西南昌高一期末)已知/②sin9-cos- 0.则tan20- ( ) A.-2/2 B.2/2 2 D.一 #2 5.函数f(x)cos 2x+6cos(-x)的最大值为 A.-5+1 B.-5-1 # 2 6.(2024·四川遂宁高一月考)已知sin(a+)-= C.1-5 D.3-+ ## 10.若aE(o.,)且 sinra+cos 2a-1.,则tana的 7.(2024·陕西西安高一月考)已知tana= 值等于 ,_ ) tan-- B#3 ) C.2 D.③ 33 ·数学·必修第三册(配BJB版) 11.化简:sin 2o(1+tan atan)一 [学科素养·探索创新] 12.已知函数f(x)=cos2x十asinx,若对于任意 14.已知aé(0.x),jE(-,)满足sin(+)- xER都满足/(x)</(),则实数a的取值范 #1o{-)0,: se (2一 围是 。 210+2 13.已知tana= 3.tan-- B210-2 A. 9 2a一B的值. C.-210+2 D.-210+2 ) 9 15.已知函数f(x)-23sinxcosx+2cos{x-1(xER. (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 [0]上的最大值和最小值; ## [, c0 2。 (2)若/(x。)- 的值. 34@ 10.DA=180°-(B+C), .'sin A=sin (B+C)=2sin Bcos C. 所以am(号+)= =5. sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 1-tan tan g .'sin Beos C=cos Bsin C. .sin Bcos C-cos Bsin C=sin (B-C)=0. 又tan号tanB=2-尽， .B=C,故△ABC为等腰三角形. 1L.解析sin(a-)cosa-cos(B-a)sin& 所以an号+tam=3-原， =sin (a-B)cos a-cos (a-B)sin a =n[a-a]=一s如g=是即如g= 3 因此1an气，tanB可以看成是方程 5 x-(3-√3)x+2-√3=0的两个根， 又日是第三象限角，所以c0s一号 解得=1，x2=2-3 所以sn(p+平）=sino要+in牙 若an受=1，则。=受，这与e为锐角矛盾， -(←)x(9)+(-)x()-0 所以tan号=2-原.anf=1, 答案得 所以a-晋g至 所以满足条件的@B存在，且a=吾，日=平 12.解析周为B为锐角，si加nB=25」 学业评价（十九） 倍角公式 所以eosB=V-inB=5. mB=黑县-2. :: 1k.ADA:mg=(2a+-吾)=如（云晋） 故tan(A十B)=tanA+tanB。3+2 I-tan Atan B-1-3x2--1. 因为A,B均为锐角，所以A+BE(0,x,故A十B-至 答案 题意： 1.解折(Df)=2(mmr- 2 cos or)= C:os语-m音=cos(2x吾）os吾=，不特合 题意： 23sin(or-若） tan s :周期T=不2红=不心w=2. 1-tan D: “fr)=25sim(2x-8）月 题意.故速选AD. 2.Cma叶cosa=是，+方可得1+n2a=器 25 2g)=25in[2r-g）-看] 9 =23sim(2r-2g-若入 sin2a=i6,故选C 3.B由题得cos(-2a)=cos2a=1-2sin'a= “g(x)为奇函数，-2g-君=m,k∈Z, 1-2x号-日 g-最-受4zg>09=0 4.B由v2sin0-cos0=0,得tan0=2 21 14.D 由题可知tan∠FCB=tan(∠FCE十∠BCE)= tan∠FCE+tan∠BCE 则tan20= 2tan 6 2x号 22. 1-tan∠FCE·tan/BCE 1-1x号 期tan∠FCD=tam(天-∠BCE) 5.解折)=1-2+6m=-2(如一名）广+号 所以当sinx-1时，f(x)的最大值为5. tan 4 -tan∠BCE 答案5 3 1+an开an∠BCEI+号 4 CD' ! 6.解析cos(2a+若）-1-2sim(a+是)-1-2× 即CD=4DF,AD=4DF. 15.解析复设存在锐角e,P使得①a十29-三。 ②tan受ang-2-3同时成立 答案 由①得号+-号· 7.解析因为ama=3>0,anB=一7<0a, B∈(0，π)， 60 所以ae(o,受）c(受 12.解析依题意，f(.x)=一2sinx+asin x+1,x∈R, 令t=sinx∈[-1,1]， 、1 2× 因为tan2a= 2tan a 对于任意xER都满足f)≤f(受) 1-tan'a 1-(3) 则有)=/（受），即当x=受im=1时， 所以2a∈(0.受)8c(受x小 函数f(x)取得最大值， 因此-T<2a-B<0, 于是函数y=一2r十at+1,t∈[-1,1]在t=1时取得最 周为an(2a-)=a2aane 1+tan2atanB 大值，国此>1，解得>4， 是+ 所以实数a的取值范围是[4，十∞). 答案[4，十∞) 1+×() 1,所以2a-月=-3r 3.解析ana=>0,且a∈(0，x】 答案一 a∈(0,2）2ae(0,x &解析国为sim(学-a）=sin[受-（停+a] -cos(+a), .'.tan 2a= 2tan a 2x号 1-n1 则已知条件可化为sm(任+a)o(年+a)-名 ∴2ae(0.) *号m[2(导+小-合 :am9=-号<0，且c(0,x, 所以si加（受+2a)- 9e(受x)小 所以ms2a=吉 因为ae(受，x）,所以2a∈(，2x… ,tan(2aan 2atan tan 2a-tan B 从而sin2a=- 1-cos 2a=2/2 =1 3 1+是×(-7) 所以an2a=sin2a=-22. cos 2a 2e(o.)() 故tan4a 2tan 2a -4242 1-tan2a1-(-2√2) 7 2a-e(-元，02a-月-3 .A由图形知∠A=36,则之∠A=18, 14.B因为a∈(0，x,则a+受∈（答智）， 所以sin18°=号×BC=↓×5-1=5-1 2AC 2 2 4 又sm(e+5）号<9-m吾， o36=1-2am18=1-2x(5）-中5， 4 则a+晋∈（受小将cos(e+音）=一 六c0s216=c0s180°+36)=-c0s36°=-1+5. 4 周为c0(日吾）=得， 10.D 'cos 2a=cos'a-sin'a, .sin'a+cos 2a=cos'a,.cosa= 则os[2(a若)门=2os(g晋）-1=-号. 又ae(o受）omse-g 又c(登，音)则晋∈(-，) a=音，故ana=原，因北选D 站合cos(日-吾)-5<号=6s吾， 1l,解析sim2a(1+tan atan-号)= 则吾∈(-吾o)得如(g吾）-@。 2 sin acosa…(1+sine. 2sim号 则m[2(g-吾)]=2os(g吾)sim(g-吾）-5 cos a 2sin 2cos 2 又注意到a+29=a+吾+2（日-吾）】： =2sin acos a(1+sin a I-cos a cos a sin a 则sina+29)=sim(a+吾)os[2(g吾)] -2sin acos a.sin acos asin a-sin acos a sin acos a os(a+吾)im[2(g吾】 =2 sin acos a· sin a sin acos a -=2sin a. 答案2sina 片×()+(2)×(-）-2- 61 @ 15.解析(1)由f(x)=23 sin xcos x十2cosx-1, f(r)=3(2sin rcos )+(2cos'r-1) 2 5 -sin 2x+cos 2r=2sin ( 则其底角的余弦值为 所以函数f(x)的最小正周期为元 国为x)=2sim(2x+8)在区间(0，)上为增函最， 答案 在区间（晋，受）上为减函数， 7.解析 1-cos(a+π) 1+cos a 2 又f0)=1(g)=2f(5）=-1 os号 所以函数儿)在区问(0，受)上的最大值为2，最小值为-1 因为一x<a<π，所以一 <号 2 2 (2)由1)可知fx,)=2sin(2x,+石）月 从而 1一cos(a+π) 又周为)-号所以m(2+晋）是 2 由x∈（任，受）释2，+晋∈（管，）： 答案ms号 8.解析 从而o(2,十晋）=1-m(2+晋)=-号 (D)y-sin [sin r-sin ( =sinr…2cos(x+g）sin(-F） 所以cos2,=os[（(2,+晋）-晋] =cos(2x,+吾）cos+sin(2,+）sin若 -sino(e+晋) -3-4V3 -- [m(2:+吾)+m(-吾刀 10 2n(2r+吾）+ 学业评价（二十）三角恒等变换的应用 所以f(x)的最小正周期为元 1.C由题可得a=sin24°，b=sin26°，c=sin25, 所以a<c<. (2)周为sim(2x+若)∈[-1,1. 2.Af(x)=- [os-o(-吾 所以当sin(2x+吾）--1 =-+os(-晋） 即x=k元 吾6∈Z时-是： :-1≤cos(x-晋)K1.f)<1-是- 此时对应x集合为{女x=x一牙，k∈Z fc)= 9.C f(r)=cos'r-sin'r=cos 2x, 3.A已知a为锐角，若sina=有， 选项A中：2x∈(-，-吾)，此时f八r)单调递增： 尉a=()=年， 选项B中：2x∈（一受，晋）此时f)先递增后递减： 4 选项C中：2rE(0,),此时)单洞递减： 所以os号=1+gos 1+⑤ 4=4+5 2 2 2 8 选项D中：2∈（受，晋），此时先递减后递增，所以选C 4.C因为sinA+sinB=2snA+BosA,B_ 2 2 10.B解法一 由条件得血e=1十in月，即sin acos cos a cos B 54≤ cosa·(1+sinD,sin(a-)=cosa=sin(g-a）, 当且仅当A=B=60时，等号成立， 所以sinA十sinB的最大值为√5. 国为-<a-K受0<受-a<受， 5解折（号）=An音-号=停A-9-0,解特 所以a-月=受-@，所以2a-B=受，故选B A=1. fr)=sinx-cosr=2sim(x-号)） 解法二tana= 1-o(受+ sim(受+B) 2-am(+号) 故f(倍)=2sin(8-登）=2im(-)=-2 答案1一√② 周为e,至+号∈(0，吾)，所以a=+号即2a-日=受： 设顶角a∈(0，x),则sina=25 故选B. 6.解析 11.解析因为f(x)=sin3x十cos3.x c0s&= -()=±· =(号n3r+号ar)-Esm(3r+ 62