教考衔接1 利用同角三角函数关系式求值-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修第三册（配RJB版） A.0e(0,】 当cosA=- B.cos = 3 5sin A+8 5 5cos A-7 「失分警示 对c0sA的取 C.tan 0=-. 3 4 5x+8 3 值分类讨论，缺少 D.sin 0-cos =7 15x(后-7 一种情况扣4分. 4 [缜密思维提能区] 规范答题 (13分) 忽视角的取值范围致误 [纠错心得] (1)在解题过程中要充分利用题中的条件，判 [典例们 13分)若simA=手，且A是三角 断出所需要的符号. 形的一个内角，求生的值 (2)要明确三角函数在每个象限内的符号，要 记准并应用熟练 [规范解答] 周为如A=号AE0:,“ (3)解答题中的最后答案耍准确、完整并且规范， 课堂小结 所以cosA=土1-sinA=士3 知识落实 技法强化 (1)同角三角函数 (5分) (1)本节课应用了由部分到整 的基本关系式. 当cosA= 时， 体、整体代换的思想方法。 [失分警示] (2)利用同角三角 (2)求值时注意α的范围，如果 漏掉一种情 函数的基本关系 无法确定，一定要对a所在的 5sin A+8 况扣2分 式求值、化简与 象限进行分类讨论。 15cos A-7 15X3 证明. -7 4 =6: (9分) 温馨 提示 请完成[课后案】学业评价（工） 教考 衔接 利用同角三角函数关系式求值 一、真题展示 (3)3sin acos a; (2023·全国乙卷)若e(0,受) (4)4sin a-2cos a 5cos a+3sin a 三、类法探究 tan 0= 2,则sin0-cosg= 同角三角函数的基本关系有两种：(1)平 方关系：sina十cosa=1;(2)商数关系： 二、真题溯源 [人教B版必修三P26练习BT2] &=tana(a≠受十kr,k∈Z,这就是 cos a 说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 已知tana=一4，求下列各式的值. 1,商等于角α的正切.根据这些关系式，利 (1)sin a; 用方程的思想方法可求相关的三角函 (2)cos a-sin a; 数值 18 第七章三角函数。 类型一sin0士cos9与sin0·cos0之间 类型二 三角函数求值 的关系 典题2 (1)已知sina-cosa= 7 典题l1)已知sina十cosa=13a∈(0， tan a- 1的值为 tan a π)，则sina-cosa= tan a= A.-4 B.4 C.-8 D.8 (2)(多选题)如果sinx十cosx= 且0< (2)已知sina十√2cosa=√3，则tana= x<π，则下列结论正确的是 ( ( ) A.x∈（受x B.2 B.sin x-cos = 5 C.② D.-2 C.cos x=- 5 (3)若0<a<受，则1-2 2sin号 Damx=号 1+2sin号cos号的化简结果为 (3)已知sina十cosa=- 号，0a< (4)若2cosa-3sina=√J13,求tana. [自主解答] ①求sin acos a的值； ②求sina一cosa的值. [自主解答] 规律方法 利用同角三角函数的基本关系式中的平方关 系sina十cos2a=1,可以实现同角的不同三角函 数值之间的相互转换；形如sina十cosa,sina· cosa,sina-cosa三个式子中，已知其中一个，利 规律方法 用平方关系可求其他两个，涉及的三角恒等式有： 已知条件中含有一个角的正弦、余弦，求 D(sin 0++cos 0)2=1+2sin 0cos 0; 这个角的正切，基本的做法是利用该条件和平 2(sin 0-cos 0)*=1-2sin Ocos 0; 方关系sina十cosa=1,构建方程组求解，还可 3(sin 0+cos 0)2+(sin 0-cos 0)=2; 以根据条件的具体的结构特征，利用其对称式 (sin 0-cos )*=(sin 0+cos )*-4sin 0cos 0. 和对偶式求解 19[触类旁通] 2.证明左边=osr+sinr-2 sin reos工 .2sinx·cosr= 24∠0 2 cos'r-sin'r 又x∈(0，x),∴.sinx>0,cosx<0, (cos r-sin r)2 (cos x-sin x)(cos x++sin x) x∈（受）A正确： -cosx-sin上=1an=右边. sinx-cosx=√(sinx+cosx)-4sinx·cosx= 7 cosx+sinx1十tanx B错误： [例3][解析](1)由sina十cosa= /10 两造车方：得(n+a-(- sin r+cos=5' 的 4 7 得sinr=5,cosr= 3 5 sin r-cos r= 即1+2 sin acos a- 5,则sin acos a= 2 3 ,故C正确，D错误。 4 ,∴.tanx= (2)因为(cosa-sina)2=1-2 sin acos a=1+ 616 10101 [答案] a 12 (2)AC 5 所以cosa一sina=士4 /10 (3)[解析]①由sina十cosa= 3 因为5<a<,所以sina>0,eosa<0, 得(sna十cose)= 则cosa-sina=一 4 =-21 5 ,所以1 1 1 /10 sin a cos a 即sina+2 sin acs十cosa=g,所以sin acosa= cos a-sin a4 10 ②因为0<a<x,所以sina>0,cosa<0, sin acos a 3 可得sina-cosa>0. [触类旁通] 3.CD因为0∈(0，π).则sin0>0. 所以sina-cosa=√/(sina-cosa)' 又因为sin0+cos0= 号<0，则os0K0, 1-2sin acos a17 3· 可知0E（(受x),故A错误： [典题2](1)[解析]将sina-cosa= 两边平方， 2 图为(sin0-cos0)y2=1+2sin0cos0=25' 1 5 1 得1-2sina·cosa=子2sina·cosa=-4: 可得d如os9-一是 则tana十an a cos a I sin a cos a 1 sin a sin a·cosa =-8. (sn0叶cs0-1-2snas0-是 [答案]C (2)[解析] 解法一由sina+√2cosa=5, 且sin0-cos9>0, 所以sin0-cos0= 1 令sina-√2cosa=A. 故D正确： 则sina=3+ (sin 0+cos 0=-5 1 2 ,cos5a=-A,由sina十cosa=1, 22 联立方程 7 sin0-cos0=5· 得A=- 3 解得sin0= 号60s0=-专：故B错误： 3 3.cos a=6 .sin a=3 =2 2 所以an0=脚}-是，故C正确，故选CD 解法二 由sina十/2cosa=√3，① cos 0 令2sina-cosa=A,② 教考衔接1利用同角三角函数关系式求值 由①+②，得(sina+√2cosa)2+(W2sina-cosa)2=3+ [典题1][解析](1)，sina十cosa= 13(sin a+cos a A',∴.A=0,即2sina-cosa=0, 129∠0， =品p2 2sin eos=-168 ∴.tana= ② 2 又a∈(0，π)，则sina>0,cosa0, 解法三由sina=√3-2cosa代入sina十cosa=1, ae(受x 得3cosa-26cosa+2=0.∴cosa=5. 3 17 故sina-cosa=√(sina+cosa)-4 sin acos a= 13 ..sin a= 3 2 3 ,.'.tan a- 2 12 5 可得sina-13,cosa= [答案] A 上两边平方， (2)将sinr+cosr= (3)汇解析] 1-2sin号·cos号- 1 得1+2simx·cosr=25' /sin'号+cos 2 g·cos2 -2sin @ √(sm号-osg 函数定义知，sin(π一a)=y=sina,cos(π一a)=一x= -cos a.tan (x-a)-y--tan a. -I 1+2sim号·os号-√(sim号+osg), ©结论形成 0<a<受0<号<，0Ksim号<cos号 sin a -cos a -tan a 导学4 问题[提示]如cos(π十a)=cos[x-(-a)] c0s(-a）=一c0sa. cos号-sim受+m号+cos 号=2c0s2 @结论形成 -sin a -cos a tan a [答案]20s号 [基础自测] (4)[解析]解法一（平方关系）由2cosa-3sina= 1.(1)×(2)/(3)√/(4)/ V3,得sina-2 cos a13 2.C tan (x-a)=-tan a=-4. 3 3.Asin585°=sin(360°+225) 代入sin2a十cosa=1,得sina=- V13'cos a= 2 13 =sin(180'+45)=-sin45°=- 2 am6=- 4.C =6os(-）=-cos 2x 解法二（构造对称式）由2cosa一3sina=√13， 令2cosa+3sina=A, 1-m)=√-m 则cosa=A+厘，ina=A-区 课堂案·互动探究 4 6 [例1][解析] (1)解法-sin1320°=sin(3×360°+ 则cos'a+sina=1=A+图)+(A-13) 36 240)=sin240°=sin(180°+60) 16 ∴A=-5ama=mg-2A-18=-3 =-sin60°= 2 W/13 osa3(A十13) 2 解法二sin1320°=sin(4×360°-120) 解法三（构造对偶式）由2cosa一3sina=√13，① =sin(-120)=-sin(180°-60) 令3cosa+2sina=A,② 由①+②2， =-sin60°=- 2 (2cos a-3sin a)+(3cos a+2sin a)=13+A, 六A=0,即3cose+2sina=0.∴tana=-号 (2)解法一 cos(-8）=cos3 2 7.2.4诱导公式 =cos(4x+g）=cos(x+吾)】 第1课时角a与a十k·2π(k∈Z), 一a,π士a的三角函数的关系 课前案·自主学习 [教材梳理 解法二 cos(-3）-os(-6m+g) 导学1 问题[提示]sina=sin3,cosa=cosB,tana=tanA. 2 ○结论形成 (3)tn(-945°)=-tan945 sin a cos a tan a =-tan(225°+2×360°)=-tan225 导学2 =-tan(180°+45)=-tan45°=-1， 问题[提示]a与一a的终边关于x轴对称，它们与单位 : [触类旁通] 圆的交点P与P关于x轴对称，设P的坐标为(x,y), 则P的坐标为(x,一y).sin(-a)=一y=一sina, 1.解析 10os(-10509=ms1080-1050)=0s30°-5； cos(-a)=r=cos a,tan (-@)=-=-tan a. 2sn(）=m(学-）血吾-号。 ©结论形成 1.g+e 3am2号-an(号-2头）=an号-。 2 2.-sin a cos a -tan a wsin(-）=sn(38-）=sin晋-=sin吾-号 导学3 : [例2][解析](1)sin(a-360°)-cos(180°-a)=m, 问题[提示]a与开一a的终边关 所以sina十cosa=m, 于y轴对称，如图所示，设P,(x,y) 而sin(180°+a)·cos(180°-a) 是Q的终边与单位圆的交点，则 π一a与单位圆的交点为P:(一r, =(-sin a).(-cos a)=sin acos a y),P,P关于y轴对称，由三角 =(sina十cosa）-l=m2-1 2 2