第7章 三角函数 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 章末归纳提升 [例1][解](1)由题意得，得r=√3+m2, 所以sin0= m 2 √3+m 因为m≠0，所以m=士√5，故角0是第二或第三象限角. 当m=√5时，r=2√2，点P的坐标为（一√3，W5),角0是第 二象限角， 所以cos日=之=二3 6 r2√2 4 tang=之=」 5 -√5 3 当m=-√5时，r=2√2，点P的坐标为(-√5，-√5)，角0 是第三象限角，所以0s0=二=一3一6 r22 41 tam0=义=5=5 x-53 sinx≥0， (2)由题意知{ ,sin x≥0， {o≥分 即 如图，结合三角函数线知： /2kx≤x≤2k元十x(k∈Z), {2kx-音<≤2x+子k∈z 解得2x≤r≤2kx+受∈Z, .函数的定义域为 {2≤≤+晋A∈z 变式训练 1.解：(1)当a终边在第一象限时，取a终边上点P(1,3) 小|Op1=Wo,∴sina=3=3西，cm 1010,cos a110 10,tan a=3, 当sina终边在第三象限时，取a终边上一点P(一1，一3) 10,c0sa=-0 小0pl=o,∴sina=-3yo,c 10,tan a =3. (2)①由1一2sinx≥0，根据正弦函数图像知：定义域为 {2x+号≤2x+1g,ez -1 ②：-l≤sinx≤2： ∴.0≤1-2sinx≤3， ∴.f(x)的值域为[0，W3], 当=2x+要，k∈Z时，f()取得最大值， [例2]C[由已知得3sin月-2tana+5=0, Itan a-6sin B-1=0. 消去sinB,得tana=3, ∴.sina=3cosa,代入sin2a十cos2a=1, 化简释in。=品尉sn8a为锐角).】 ·1 数学B 变式训练 2.解：方程5r2-7x-6=0的两振为1=-号=2 由a是第三象限角，得sina=一 4 ” cos(受-asim(受+a） sim(受-ajo(登+a） ·tana sin acos a -cos a(-sin a).tan'a--tan'a=sina 9 sin acos a cos'a 16' [例3][解](1)f(x)的最小正周期为x,令2x+页=工 62 k长Z,则=吾+经长Z,当k=2时n 6y0 =3. (2)令吾+2kr≤2x+吾<经+2x,k∈Z 解得晋十km≤<+kmk∈乙。 6 f)的单羽递减区间为[答+，+]k∈乙 图为[受-]所以2x+∈【晋0小于 是当2x+否=0，即1=一登时，f)取得最大值0：当2r 6 十晋=一受，即x=-吾时，)取得最小值-3. 6 变式训练 品解析：1)令一受+x<2x-吾<受+kx,k∈乙 郎得-音+经<<晋+经6e乙 ∴f()的单调运增区间为（是+经，登+经）k∈乙， 故选B （2)令2x-否=kx,k∈Z, ∴f)的对称中心为（臣+经0）∈zD。 令2x-吾-晋+m,k∈五=登+经，k∈z f)的对称轴方程为1=答+经，k∈乙 [创据106是于用米知A合() ∴w-=2 ∴y-7sin(2x+g）-1. 当x=吾时，sin(2×+g）-1=-,即sim(答十p） =1, 晋十g=2×晋+g=受+2m,n∈乙. 0 g=晋+2m,n∈Z.又g<受， 96 故所求画数的解折式为y=2in(2:+晋)一1 (2)把y=sinx的图像向左平移灭个单位，得到y=sin(x 十)的图像，然后将得到的图像上点的纵坐标保持不 变，横坐标缩短为原来的2，得到y=sin(2x十晋)的图 像；再将得到的图像上点的横坐标保持不变，纵坐标变为 原来的？，得到y=?sin(2z+名)的国像，最后把函教y =方m(2十骨)的图像句下平移1个单位，得到y司 1 sn2x+吾)-1的图像 变式训练 4AD=in(or+学一否)和函数y=cosr的因像重 合，可得学x-吾=受+2kx,k∈乙，则w=6k+2,k∈乙 2是w的一个可能值.] 第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角、向量数量积的定义 课前预习学案 情境引入 提示由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和 位移s这两个向量的某种运算结果， 知识梳理 知识点一、1.∠AOB2.同向反向a⊥b3.零向量 知识点二，a·b=al|bcos0 知识点三、(1)a·|b(2)a2√a·a0(3)a·b= (4)ab-ab 知识点五、l.b·a2.(a·b)a·(入b)3.a·c十b·c [思考] 1.提示：实数 2.提示：由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤090°，非零向量的数量积为正数 当=90°时，非零向量的数量积为零. 当90°<180°时，非零向量的数量积为负数. 3.提示：因为a·b=|a|bcos0,故由a·b>0可得cos> 0,又9∈[0，x,故9E[0,受)，即0为锐角或零度角. 4.提示：不一定成立.若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与 c方向不一定相同，故该等式不一定成立. 预习自测 1.B[m·n=9=4X6x号-12.反] 2.B[若c⊥a且c⊥b,则a·c=b·c=0,但a不一定等于 b,故充分性不成立；若a=b,则a·c=b·c,必要性成立， 故为必要不充分条件，故选择：B.] 3.(1)-3√2(2)±6(3)0 ·1 参考答案 课堂互动学案 [例1][解析]由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2+b2=0.则 a=b=0.故①正确；若a十b=0,则a=-b,又a,b,c是三 个非零向量.所以a·c=-b·c,所以a·c=|b·c|,② 正确：a,b共线台a·b=士abl,所以③错误： 对于④，应有ab≥a·b,所以④错误： 对于⑤，应该是a·a·a=a2a,所以⑤错误； 对于⑥，a2+b2≥2a|b≥2a·b,故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0,因此⑦错误； 对于⑧，bcos 0表示向量b在向量a方向上的投影的数 量，而非射影长，故⑧错误. 综上可知①②⑥正确. [答案]①②⑥ 变式训练 1.解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b=0,故①不 正确： 当a=0,b⊥c时，a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故② 不正确： 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b) =0,故④正确. 答案：④ [例2][解](1)a·b=|a|bcos9 =6×8Xcos135°=-24√2. (2)(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b =2a2-(-24√2)-|b2 =2×62+24√2-82 =8+24√2. 变式训练 2.解析：如图，D为BC中点， .20A+AB+AC=0, ∴.20A+2AD=0, D(O AD=-OA,∴.AD=AO O与D重合，∴BC为圆的直径。 :1OA=ABl=1,BC=2,∴.AC=3,∴∠ACB= Ci.C3=|CA1.1C·os∠ACB=5·2.5=3. 2 答案：3 [例3][解析](1)设a与b的夹角为0， a·b -60 1 则cos0=a.1b=10X12=-2’ .∴.0=120°. (2)由题意，知a·b=|a|bcos0=4cos0=2, 即0s0=合，又0C0≤，所以0=号 3 [答案](1)B(2)C 变式训练 3.B[:cos0=a·b -54 1ab-9x62 2 .0°≤0≤180°， .∴.0=135°.] [例4][解](1)AB与AC的夹角为60. A店.A元-A1Acas60=1X1x2-7第七章三角函数 章未归纳提升 [网络构建] 定义 任意角 终边相同的角 任意角、 弧度制 角度与弧度互化 弧度制 扇形的弧长和面积公式 任意角的三角函数的定义、三角函数线 三角函 任意角的 三角函数 同角三角函数关系式 诱导公式 正弦函数的性质与图像 三角函数 正弦型函数的性质与图像 的图像和 性质 余弦函数的性质与图像 正切函数的性质与图像 已知三角函数值求角 三角函数模型的简单应用 [归纳提升] 题型一任意角的三角函数的定艾及三角函数线】 ◇[变式训练] 1.利用三角函数的定义，求三角函数值，以及利用三 1.(1)若角a的终边在直线y=3x上，求sina,cosa, 角函数定义判断三角函数值的符号是常见考查题 tan a. 型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论. (2)设f(x)=√1-2sinx. 2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运 ①求f(x)的定义域； 算素养. ②求f(x)的值域及取最大值时x的值. 3.掌握任意角的正弦、余弦、正切的三角函数线，能够 利用三角函数线判断三角函数值的符号，借助三角 函数线求三角函数的定义域 [例1](1)已知角0的终边经过点P(一√5，m)(m≠0) 且m分，试判断角9所在的象限，并求ms9和 tan0的值. (2)求函数y=√Sinx+/cosx- 2 的定义域 ·53· 必修第三册 数学B 题型二同角三角函数的关系式及诱亭公式] 题型写 三角函数的图像与性质 1.牢记两个基本关系式sin'a十cos'a=1及sina= 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶 cos a 性、对称性等，在研究性质时，将ωz十9看成一个整 tana,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、 体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧，同 “五点法”作函数y=Asin(wx十p)的图像。 时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论 掌握三角函数的图像和性质，重点培养直观想象和 思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用. 数学运算素养」 2.诱导公式可概括为·受士a(传∈2)的各三角函数 [例3]函数f(x)=3sin(2x+否)的部分图像如图 值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象 所示 限.其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不 变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称 变为相应的异名函数（即正余互变）；若是偶数倍， 则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时 原函数值的符号作为结果的符号 [例2]已知a为锐角，且2anx-）-co(受+) (1)写出f(x)的最小正周期及图中xo,y,的值； (2)求f(x)的单调递减区间； 十5=0，tan(x十a)十6sin(x十B)-1=0,则sina的 值是 (3)求f)在区间[一受，一]上的最大值和最小 4.36 B.37 C.30 5 7 10 D 值. 规律方法 1.利用同角三角函数的基本关系式.sina,cosa, tana三者知一可求二，但应注意角的范围、三 角函数值的正负. 2.利用诱导公式化简三角函数式，必须熟记公式 规律：奇变偶不变，符号看象限， 3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系，会知 一求二，重点提升逻辑推理和数学运算素养 ◇[变式训练] 2.已知sina是方程5x2-7x一6=0的根，a是第三象 sn。号小m(x 限角，求 ·tan2(π-a) eosg-cin(径+a 的值. ·54· 第七章三角函数 规律方法 [例4] 如图是函数y= 三角函数的三条性质 Asin(ox+)+k(A>0,@ (1)单调性：求形如y=Asin(wx十9)或y= >0,1 <艺)的部分 Acos(wa十p)(A>0,w>0)的函数的单调区 图像 间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx十 (1)求此函数的解析式； 9视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sin (2)分析该函数的图像是由y=sinx的图像如何变 x,余弦函数y=Cosx的单调递增（减）区间对 换得来的？ 应解出x,即得所求的单调递增（减）区间. (2)周期性：函数y=Asin(wx十p)和y=Acos(awx 十9)的最小正周期为2 T,y=tan(w.x+p)的 最小正周期为西 (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y Asin wx或y=Atan ox,而偶函数一般可化 为y三Acos十B的形式. ⊙[变式训练] 3.(1)函数f(.x)=tan(2x- )的单调递增区间是 A[停音经+]水c 规律方法 (经意经+ (k∈Z) (1)由图像求解析式一般采用待定系数法求A, w,”.求9时一般代入函数图像上的最高点或 c(x+x+)∈ 最低点。 D[kxx+]刀 (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是 不同的.左右平移只是把x变成x士，其它不 (2)函数y=sin(2x- 君)的图像的对称中心和对称 轴方程分别为 支左右伸维只是把x变成女，其它不变。 ◇[变式训练] 题型四 三角函数的图像变换 1.重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解析式 4.若把函数y=sin(awz- 吾)的图像向左平移号个单 的确定，通过对图像的描述、观察来讨论函数的有 位长度，所得到的图像与函数y=cosω.x的图像重 关性质。 合，则ω的一个可能取值是 2.掌握平移和伸缩变换，以及由图像求解析式，重点 A.2 c号 提升直观想象和逻辑推理素养. ·55·