第七章 三角函数 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学三角函数单元复习课件系统梳理了任意角概念、三角函数定义、性质与图像等核心内容，通过知识整合列表将正角负角、单位圆、五点法等知识点串联，建立从概念到应用的逻辑脉络，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于“巩固-提升-测评”分层设计，题型探究中通过摩天轮高度问题培养数学建模能力，性质题用整体代换发展逻辑推理，综合测评覆盖不同难度题。这种设计兼顾基础与拔高，助力学生巩固知识，教师可精准实施复习教学。

章末综合提升 第七章　三角函数 巩固层·知识整合 章末综合提升 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 提升层·题型探究 类型1　三角函数的定义 高考对三角函数定义的考查主要是利用三角函数定义求三角函数值，利用三角函数线比较大小，判断三角函数的符号，利用三角函数线求定义域．既单独考查，也常与单位圆、实际问题、三角变换求值相结合考查．解决此类问题的关键是利用三角函数定义求出三角函数值，体现了直观想象核心素养． 章末综合提升 1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例1】　(1)已知角α的终边经过点P(－8，m)，且tan α＝－，则cos α的值是(　　) A．　　　B．－　　　C．－　　　D． (2)已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过单位圆上的点，若α＝，则y0的值为(　　) A．－　　B．C．－　　D． √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1)C　(2)C　[(1)因为tan α＝－，所以m＝6， 所以cos α＝． (2)∵角α终边经过点，且终边经过单位圆上的点，∴r＝＝1，故sin＝sin＝－sin＝＝＝y0＝－，∴y0＝－．故选C．] 类型2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．应用中，要注意掌握解题的技巧，体现了数学中的数学运算核心素养． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例2】　已知f ． (1)化简f ； (2)若f ＝2，求sin2α＋sinαcos α－cos2α的值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 [解]　(1)f ＝－tan α． (2)由f ＝2得tan α＝－2， ∴sin2α＋sinαcos α－cos2α ＝ ＝． 类型3　三角函数的性质 重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)及y＝A tan (ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧，体现了逻辑推理的核心素养． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例3】　已知函数f ＝sin －1． (1)求f 的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)当x∈时，求函数f 的最小值和最大值． [解]　(1)令2x－＝k，k∈Z，则x＝，k∈Z，所以f 的图象的对称中心为，k∈Z． 由2k－≤2k＋，k∈Z，解得k－≤x≤k＋，k∈Z， 所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (2)令X＝2x－．因为x∈，所以X∈， 则y＝sin X－1在上单调递增，在上单调递减． 当X＝2x－，即x＝时，函数f 取得最大值为f ＝sin －1＝0； 又sin ，sin >sin ， 所以，当X＝2x－，即x＝－时，函数有最小值为f ＝ sin －1． 所以，当x∈时，函数f 的最大值为0，最小值为－－1． 类型4　三角函数模型的应用 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝A sin (ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．这一问题充分体现了数学建模的数学核心素养． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例4】　如图，某摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为65 m，摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要18 min．甲、乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔7个座舱．(本题中将座舱视为圆周上的点) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1)求劣弧PQ的弧长l(单位：m)； (2)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式； (3)若游客在距离地面至少90 m的高度能够获得最佳视觉效果，请问：摩天轮转动一周能有多长时间使甲、乙两位游客都有最佳视觉效果？ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 [解]　(1)由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱， 所以两个相邻座舱所对的圆心角为， 因为甲、乙之间间隔7个座舱，所以劣弧PQ所对的圆心角为，所以l＝αr＝， 即劣弧PQ的弧长为 m． (2)因为摩天轮距离地面高度呈周期变化，且与三角函数有关， 不妨设开始转动t min后距离地面的高度H＝A sin ， 由题可知，H－50＝15，所以A＝为T＝18＝，解得ω＝，此时H＝50sin ＋65(ω>0)， 因为H＝65－50＝15，所以50sin φ＋65＝15， 解得φ＝－＋2k，k∈Z， 故H＝50sin ＋65 ＝50sin ＋65＝－50cos t＋65， 综上，H＝－50cos t＋65，0≤t≤18． (3)因为在距离地面至少90 m的高度能够获得最佳视觉效果， 所以H≥90，t∈，即－50cos t＋65≥90，解得cos ，即，解得6≤t≤12， 所以12－6＝6 min，故有6 min的时间使游客有最佳视觉效果． 因为劣弧PQ所对的圆心角为，所以甲、乙相隔的时间为， 解得t＝ min，当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需min后才有最佳视觉效果，故甲、乙都有最佳视觉效果的时间为6－(min)． (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点P，则cos α＋sin ＝(　　) A．－　　　B．　　　C．　　　D．－ 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 章末综合测评(一)　三角函数 16 17 18 19 22 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D　[因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点P， 所以cos α＝． 则cos α＋sin ＝2cos α＝－． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图2)AO＝80 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为(　　) A．10 800 cm2 B．10 800 cm2 C．600 cm2 D．600 cm2 √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 24 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[因为AO＝80 cm，C为AO的中点，扇形窗子所对的圆心角为，则该扇形窗子的面积为＝(802－402)＝600(cm2)．] 25 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是(　　) A． B． C． D． √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 26 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[根据题意得以OQ为终边的一个角为， 设Q(x，y)，根据三角函数的定义可得sin ＝y，＝x，则y＝，所以Q．] 27 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知sin ，则cos ＝(　　) A． B． C．－ D．－ √ C　[＝－cos ＝－sin ＝－sin ．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 28 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为，则f (x)在的最小值为(　　) A．－ B．－ C．0 D． √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 29 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A　[f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋) ＝－sin 3ωx，由T＝＝得ω＝， 即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈， sin 2x∈，所以f (x)min＝－． 故选A．] 30 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．若a＝sin ，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b √ C　[因为y＝sin x在上单调递增，所以sin <sin ，即a<b． 又因为tan >sin ，所以b<c．综上，a<b<c．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f (x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．2cos 2x B．sin C．sin D．2sin √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 32 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A　[依题意有＝，得ω＝2， 又f ＝A sin ＝0， 所以2×＋φ＝＋2k，k∈Z，且0<φ<，得φ＝，又f (0)＝A sin ＝1，得A＝2， 所以f ＝2sin ， 所以g＝2sin ＝2cos 2x．] 33 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．设函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x＋)＝f (x)恒成立，且 f (x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 34 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[因为f (x)＝sin ，f (x＋)＝f (x)恒成立，所以T＝，所以k·＝，即ω＝2k，k∈N*，当k＝1时，ω＝2，f (x)＝sin ，因为x∈，所以2x＋∈，f (x)>0，故k＝1不符合题意；当k＝2时，ω＝4，f (x)＝sin ，此时f (0)＝sin ＝1>0，f sin ＝－1<0，即f (x)在上存在零点，故ω＝4即为所求．故选C．] 35 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝ √ √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 36 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ABD　[因为sin α＝，且α为锐角， 所以cos α＝，故B正确； 所以tanα＝，故A正确； 所以sin α＋cos α＝，故C错误； 所以sin α－cos α＝，故D正确．故选ABD．] 37 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知函数f ＝tan ，则(　　) A．f B．f 的最小正周期为 C．把f 图象上的所有点向左平移个单位可以得到函数＝ tan 2x的图象 D．f 在上单调递增 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 38 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 BD　[＝tan ＝－tan ，故A错误； 函数f ＝tan 的最小正周期为T＝，故B正确； 把f ＝tan 图象上的所有点向左平移个单位可以得到函数y＝tan ＝tan 的图象，故C错误； x∈时，2x－∈，故f (x)在上单调递增，故D正确．] 39 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．将函数f (x)的图象向右平移个单位，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则函数f (x) (　　) A．最小正周期为，最大值为2 B．图象关于点中心对称 C．图象关于直线x＝对称 D．在区间上单调递减 √ √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD　[由题图可知，A＝2，T＝4＝3． 又由g＝2可得φ＝－＋2k，k∈Z， 因为，所以φ＝－． 所以g(x)＝2sin ，f (x)＝2sin ． 41 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，f (x)的最小正周期为，最大值为2，故A正确；对于B，令2x＋＝k(k∈Z)，则x＝，可知函数f (x)图象的对称中心为(k∈Z)，故B错误；对于C，令2x＋＝k＋(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，令k＝0，得x＝，故C正确；对于D，当x∈时，2x＋∈，所以f (x)在上单调递减，故D正确．故选ACD．] 42 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． －　[因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2k＋＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2k＋＋α)＝－cos α．因为α∈，所以cos α ∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－．] － 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 43 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．已知某种交流电电流I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次． 25　[根据I＝5sin 知，ω＝100， 该电流的周期为T＝(s)， 从而频率为每秒50次，0.5 s内往复运动25次．] 25 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 44 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知函数f ＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，函数f 的图象过点M，且f 的图象的两条对称轴之间的最短距离为，则ω＝________；将f 的图象向右平移个单位，得到函数g的图象，则图象的对称轴方程为_____________________． 2 x＝，k∈Z 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 45 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2　x＝，k∈Z　[由题图可知A＝2，由函数f 的图象过点M可得，2sin φ＝1，又<，∴φ＝， 由函数f 的图象的两条对称轴之间的最短距离为，得， ∴T＝＝，ω＝2，∴f ＝2sin ＝2sin ＝2sin ，令2x－＝k＋，k∈Z， 解得x＝，k∈Z，即g图象的对称轴方程为x＝，k∈Z．] 46 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知 f ． (1)化简f ； (2)已知tan α＝2，求f 的值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 47 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)f ＝． (2)因为tan α＝2， 所以f ＝1． 48 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知关于x的方程2x2－x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2)． (2)求m的值； (3)求方程的两根及此时θ的值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　由根与系数的关系得， sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝． (1)原式＝ ＝＝sin θ＋cos θ＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由sin θ＋cos θ＝， 两边平方可得1＋2sin θcos θ＝， 所以1＋2×，所以m＝． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)由m＝可得方程2x2－x＋＝0， 解得两根为x1＝． 所以或 因为θ∈(0，2)，所以θ＝或． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)已知函数f (x)＝2sin ，x∈R． (1)求函数f (x)的最小正周期、振幅、初相、 频率并画出函数y＝f 在区间[0，]上的 图象； (2)说明此函数图象可由y＝sin x在[0，2] 上的图象经怎样的变换得到． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)因为f (x)＝2sin ，x∈R，所以振幅A＝2，初相φ＝，周期T＝＝，频率f ＝． 列表： x 0 2x＋ 2 1 2 0 －2 0 1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 作图： 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)把y＝sin x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的，即得到函数f (x)＝ 2sin 的图象． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M． (1)求f (x)的解析式； (2)当x∈时，求f (x)的值域． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由最低点为M，得A＝2， 由f (x)的图象与x轴上相邻两个交点之间的距离为， 得，即T＝，所以ω＝＝2． 由点M在图象上得2sin ＝－2， 即sin ＝－1，故＋φ＝2k－(k∈Z)， 所以φ＝2k－(k∈Z)． ，所以φ＝，故f (x)＝2sin ． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为x∈，所以2x＋∈， 当2x＋，即x＝时，f (x)取得最大值2； 当2x＋，即x＝时，f (x)取得最小值－1， 故f (x)的值域为[－1，2]． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求f (x)的解析式； (2)求函数y＝f 在上的单调递减区间； (3)若函数y＝f 在区间上恰有2 024个 零点，求b－a的取值范围． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)由题图得A＝1，T＝2＝， ＋φ＝k，k∈Z，又<，解得φ＝－， ∴f ＝sin ． (2)令＋2k≤x－＋2k，k∈Z， ∴＋2k，k∈Z， 故函数y＝f (x)的单调递减区间为(k∈Z)， ∴函数y＝f (x)在[1，2]上的单调递减区间为． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)令f ＝sin ＝0，则x－＝k，k∈Z， 解得x＝k＋，k∈Z， ∴f 在 有两个零点，∵f 的周期为2， ∴若函数y＝f 在区间上恰有2 024个零点，则1 011×2＋1≤b－a<1 012×2＋1， ∴2 023≤b－a<2 025， ∴b－a∈． $