第七章 三角函数 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

2.解析(1)设该函数为f(x)一Asin(ax十c)十B(A>0. [典题2-1] [解析] 因为点P(吾)在画数 a0,0 | π),根据条件①,可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)一f(2)一400, y-sin(2--)的图象上, 故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递 增,且f(2)-100,所以f(8)-500 所以(sin(2×--sin-. 根据上述分析可得,2π-12, 又P(一.)在函数y-sin2r的图象上, 所以-sin2(一)]. A十B-500, 解得/A-200. 则2(一)-2^ka+或2(--2^k-+5#k B-300. 得---十或-一页--,6 之 根据分析可知,当x一2时f(x)最小; 当x=8时(c)最大,故sin(2x吾+)--1. 又&>o.故:的最小值为吾 且sin(8x+)-1. [答案]A 5. 又因为0<ll<n,故-一 [典题2一2] [解析] 由图可得函数的最大值为2,最小值 #一-)-,故---得一 为-2,故A-2. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 #(2)=200sin(5)+300. 、。 (2)由条件可知,20osin(5)3002400花简, 故y-2sin(2x-). 将({2)代入可得2sin(2)一2. 得si#()# 则5-2kx十(ke 2),解得第--2^x+(éz). 即 2级十~2级6乙 :<<.-.v.y-2sin(2-r-). 解得12 +6x12+10, [答案]B 因为xN,且1<r12,故x-6,7,8.9,10 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物 [典题3-1] [解析] f(x)-2sinx-2asin x+a-2a-1 2(“in)+20-一1 章末整合提升 [深化提升] [典题1][解析](1)sin4-sin(+) 由0<x<吾,得0<sinx<1. -sin-0(-0-) 当0<<2时,0<<1, 当sinr-时:(xi)取得最小-2a-1--2 0o2-0(+)-0 所以 sino0(-)#)故-3# 解得a-2-②或a-2+②(舍去), 此时/(x)的最大值为/()-一1; 当a>2时,>1,当sinx-l时,f(x)取得最小值a- 所以2+tanθ--4(1-tanθ). 4a十1--2,解得a=3或a-1(舍去),此时f(x)的最大 解得an0-2. 值为f(0)-2; 所以(sin0-3cos0)(cos 0-sin0) 当a<o时,<o,当sinx-0时,/(c)取得最小值 -4sin 0cos8-sin0-3cos*0 4sin ocos 0-sin6-3cos*8 a-2a-1--2,解得a-1(含去). sin0十cos8 综上所述,当a-2一v2时,/(x)的最大值为-1. 4tan 0-tan0-38-4-31 4+1=5 当a-3时,f(x)的最大值为2. tan1 [典题3-2][解析] 对于A,/(c)的图象向左平移吾个 单位长度后得到/(c+)-sin(2x+)的图象,故A 错误;对于B.(2)sn(+)sin3-1,故B 所以(sin6-3cos θ)(cos6-sin6) -(2cos 0-3cos θ)(cos 6-2cos9) 正确;对于C当 [时,2+2,7#,故 -cos{)-cos{} sin{0十cos{0 C正确;对于D.()sin(5)sinx=0o,故 D . tan^1: 正确。 [答案](1)3 (2)D [答案] BCD 20第七章 三角函数· 章末整合提升 1知识网络 2深化提升 正角、负角、零角 (一)同角三角函数的基本关系式及诱导公式 -任意角 象限角 1.牢记两个基本关系式sin{}a十cos{②}a-1及 出 sing_tana,并能应用两个关系式进行三 终边相同的角 cosa -定义 角函数的求值、化简、证明,在应用中,要注 -孤度制 角度与孤度互化 意掌握解题的技巧,比如:已知sina士cosa 的值,可求cosasina.注意应用(cosa士 孤长公式、扇形面 sing)2-1士2sinacosa. 积公式 任意角三角函数的定义 三角函数值的化简公式,记忆规律是:奇变 出1图数 -正弦线 偶不变,符号看象限 114数 三角函数线 余弦线 3.三角函数式的求值、化简的策略 正切线 (1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较 同角三角函数的基本关系 多时,往往把三角函数化为弦,再化简 -诱导公式①~⑧ 变形. 五点法 (2)化切:当三角函数式中含有正切及其他 -画法- 图象变换法 三角函数时,有时可将三角函数名称都化 为正切,再变形化简。 正弦曲线、余弦曲线、正 (3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含 切曲线 1图 有常数1,常数1虽然非常简单,但有些三 函数y=Asin(x十) 角函数式的化简却需要利用三角函数公式 的图象 将1代换为三角函数式 定义域 值域 2+tan(-n)--4,则(sin9- 周期性 (2)已知 1+tan(2π-0) 性质 -奇偶性 3cos0)·(cos 0-sin0)= _ ) 单调性 A.一 ### B.5 对称性 D 已知三角函数值求角 C.-5 57 ·数学·必修第三册(配BJB版) (二)三角函数的图象及变换 多维探究 1.三角函数的图象变换 行。人 由函数v一sinx的图象通过变换得到函 数y一Asin(ax十)的图象的两种方法 先平移后伸缩 先伸缩后平移 画出y=sinx的图象 画山y-sinx的图象 A.y=2sin(2x-) 向左(右)平移ql个位长度 1 横坐标变为原来的1 横坐标变为来的。 左()移1个单位长度 B.y2sin(2c-) 得到y=sin(x+)的图象 得到y-sin(x+)的图象 纵坐标变为 原来的4倍 ③ 纵坐标变为原来的A信 C.y2sin(-) 4 2. 由图象或部分图象确定解析式v一Asin(ux十 D. y-sin(2x-) )中的参数 (三)三角函数性质及其应用 多维探究 (1)A:由最大值、最小值来确定A 重点应掌握y=sinx,y=cosx,y=tan (2):通过求周期T来确定. 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等 (3):利用已知点列方程求出 有关性质,在此基础上掌握函数y 角度1 三角函数图象间的变换 Asin(x十),y=Acos(ax十q)及y= 典题2=将函数ysin(2x-)图象上的 Atan(ax十)的相关性质,在研究其相关 点P()向左平移s(s>0)个单位长度得 性质时,将x十看成一个整体,利用整 体代换思想解题是常见的技巧 到点P,若P位于函数y三sin2x的图象 (1)三角函数的两条性质 上,则 _ ①周期性:函数y=Asin(x十)和y= Acos(z十)的最小正周期为 B./_ tan(x十)的最小正周期为 C.y-. ②奇偶性;三角函数中奇函数一般可化为 y=Asinox或y=Atanx,而偶函数一般 D./ 可化为y一Acosax十B的形式 角度2 由三角函数的图象确定其解析式 (2)求三角函数的单调区间的方法 典题②2(2024·湖南长沙高一期末)函数 求形如y-Asin(ax+c)或y-Acos(ax+ y=Asin(ax-)(A>0,>0,0 n) (A>0,0)的函数的单调区间可以通过 的部分图象如图所示,则其解析式为 解不等式方法去解答,即把x十视为一 ( 个“整体”,分别与正弦函数y三sinx,余弦 58 第七章 三角函数· 角度2 函数y一cosx的单调递增(减)区间对应 三角函数性质的综合问题 解出x,即得所求的单调递增(减)区间 典题-②(多选题)(2024·湖南长沙高一 (3)三角函数图象的对称性 月考)已知函数f(x)=sin(2x十),则下 求形如y一Acos(x十)图象的对称轴, ( 列结论正确的是 ) 可把“x十”看作一个整体,由x十 bn(Z)求x可得对称轴方程,类似通过 得到函数g(x)-sin(2x+)的图象 横坐标. (4)三角函数的最值(值域)问题 C.于()在} 上单调递减 三角函数的值域和最值问题一直是高考的 D.f(2)的图象关于点(5,.)对称 热点,求三角函数的最值问题通常有以下 两种途径: ③思维辨析 ①将所求三角函数式转化为v一Asin(ax十 忽略函数的定义域致误 )十或y=Acos(x十)十的形式,然 函数y=1og. in(o+o)的单 后结合角x的取值范围求最值 [典例] ②将所求三角函数式变形转化为关于sin; 递增区间为 (或cosx)的二次函数的形式,然后结合二 [错解] 函数的增区间可由y一sin(x十 次函数的性质求解 角度1 三角函数的最值问题 典题-l 已知函数f(x)=2sinx-2asinx十 6 *-2a-1(0<x<)的最小值为-2,求实 数a的值,并求此时f(x)的最大值 #2k,.# [自主解答] [错因分析] 本题若忽略对数函数的定义 域,即sin(x+)→0,就会得到错误答案: 函数y-log n(c十一)]的单调增区 [正解] 由题意,得sin(x+)>0, 59 ·数学·必修第三册(配BJB版) [规范解答] (1)因为 -1阅卷提醒上-一- ①处是周期几何 f(x)的图象上相邻两个最 意义应用,求错 又函数y-sin 高点的距离为π,所以f(x) 2_2.① 的最小正周期T一π,从而- T = n(+)的单调 所以函数y-log。 ..................................3分) 又f(x)的图象关于直线-1阅卷提醒上-) ②处是解答本题 - 的关键,值来 错,扣3分. [纠错心得] 解决与三角函数有关的复合函数问题时,定义 #即=-十kn,h乙. 域是首先要考虑的问题,要在定义域内思考问题. ## 4规范答题 .② ..(6分) [典例](13分)已知函数f(x)=3sin(ar十 (2)由(1),得({)一 ,-1阅卷提醒-一 #)(a0-<)的图象关于直线# ③处限定角的范 围,以免增解. 离为π. 所以sin (1)求和的值; (2)若$#(-3(#<<2-),#cos(-) 的值. ....................................分) [审题指导] (1)利用对称轴和相邻两个 所以cos(a-)-1-sin^}(-) 最高点距离分别求, (2)在(1)的基础上,注意角的范围,利用平 #1()#.# .............(3分) 方关系求值, 提示:[章末达标检测]请完成检测卷(一) 60