第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末整合提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

=10(sm20+s20-】 所以AP-(号2)B驴=(-号，2)小 =100sin(20+哥）-508,0<0<g, 所以户.B驴-15+4- 4 当20+-受0=时 [答案](1)D(2)C [典题1-2][解析](1)：a∥b,∴.1·y-2×(-2)=0, S取得最大值100-505≈13.4， 解得y=一4， 此人布置1m的宣传区域需要花费40元， 从而3a+b=(1,2),3a+b=V5.故选A. 所以布置此矩形宣传栏最多要花货13.4×40=536元. (2)由a+b+c=0,得(a+b+c)2=0, [触类旁通] 即a2+b+c+2(a·b+b·c十c·a)=0. 3.DA=}m(e+晋)+os(x-吾)】 又(a-b)⊥e,a⊥b, 所以(a-b)·c=0,a·b=0, =gin(r-吾+）+cos(r-若) 所以a·c=b·c. 所以a+b+c=-4b·c, =gos(r-吾)+cos(-吾） b+c2=-1-4b·c.① =gcos(r-晋) 由a+b+c=0,得b+c=-a, 故(b+c)2=1, 设g(x)=co(-否）小则g(x)e[-1.1, 即b+c2+2b·c=1.② 由①②得b·c=一1.故a°+b十c=4, 所以)∈[吾号])的最大位为号批选A 即a+|b+lc=4. (3)解法一（数形结合法）作AB=a, (2)解析 由题意，5cos0-5sin0=1,0e(0.子)） AD=b.以AB.AD为邻边作□AB 所以co0s0-sin0=5 CD,如图所示. 两边平方，得1一sin20-25 南。-6=1及ab-专得 IABI=1ADI=1. 所以sin20= a·b 1 25 os∠BAD=8iA-2 所以0C20<受， 又∠BAD∈[0°，180]， 所以∠BAD=120 所以0s20=V1-sn20=名 所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为120的菱形， 、2 易得 答案 ①a+b1=AC=1. 章末整合提升 ②a与(b-a)的夹角为150 [深化提升] 解法二（数量积运算法） [典题1一1][解析](1) ∠A=60°，AB=2,AC=3,可 国为a=6=1a·b=-合所以a=b=1 得AB.AC=|ABIIAC1cOsA ①la+bl=√(a+b)=√a+2a·b+b=1. =2×8×2=3 D ②设a与(b-a)的夹角为0， 由于|b-a=√/b-2a·b+a=√5， 因为点D为边AC上一点，且 3 C=3市，可得市=号心， 所以=-8君-t哥 2 2 所以B成-A市-A店=A花-A店， 由于0°≤0≤180°， 所以0=150 所以A店.B币=A店·（号AC-A店） 所以a与(b一a)的夹角为150° [答案](1DA(2)4(3)①1②150 =号A店，A-A店=号×3-2=-3. [典题2][证明]证法一如图 (2)如图建立平面直角坐标 所示， 系，A(0,0),B(4,0),C(4, 设CA=a,Ci=b 2),D(0,2),设P(x,2), 则a=b且a⊥b. (0≤x≤4)， :D为BC的中点， 则AP=(x,2),AB=(4: ∴ci=2ci-b 0),所以A户.AB=4x=6, AE=2EB. 得=受 “B=号Bi=号(Ci-Ci)=号(a-b), 31 @ Ai=C市-C=b-a.Ci=Ci+成 =cosB-sina·cos23- 2cos2a·cos28 -cos B-cos28.(sin'a+cos 2a) 市成-（合a)小(ga+号） -1+cos2 2 -cos28·[sina+21-2sima月 a6b-a-号ab = -1+929-名ms29-之 =-号a=0 解法三（从“幂”入手，利用降暴公式先降次） ADLCE..AD⊥CE. 原式=1-0s20.1-0s2望+1+os2e.1+cos29 2 2 2 证法二建立如图所示的平面直角坐标系，设CA=CB= 1 2,则A(2,0),B(0,2),C(0,0). 2cos2a·cos23 =1+oms2a·s29-os2a-s290+1+os2a· as2g+os2a+cos2g9)-7·0os2a0s239 +- 设E(x,y),:D为BC的中点，∴.D(0,1), 解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） AE=2EB, 原式=(sina·sinB-cosa·cos)2+2sina·sinB·cosa :A名A店 3 ·cosB- 2cos2a·cos28 (红-2y)= 2(-2.2) -ca+0+号n2a·m9- 2c0s2a·c0s28 -2=- 3· 2 3 =cos2(a十B)- 2·cos(2a十2p) - y=3 =cos2(a+)- 号·[2cos(a+m-11=2 1 (号)》 [答案] DA2号 i.成-(-2…（号，专）-号+音-0， [典题4][解析](1)f(.x)=-√3sinx十sin reos r AD⊥CE.AD⊥CE. [典题3】[解析]1)周为an(e+子)=a: -6x1g2+n2r-sm(+音）-9。 2 1-tan a 2 所以tana=- 由-受+2x≤2r+晋<受+26，长五， 3 因为一吾<a<0,所以sin。=- 10 可得一-晋+x长≤音十，∈么 10 则2sim'a+sin2a_2sima(sina+cosa） 所以)的单调增区网为[晋+品+树∈乙 os(a-晋) (on at in a) (2)由f(受）=-+是，可释sm(2x号+）-受 -22sin a=- 25 5 +是，所以sim(e+晋)=吾： 2 (2)解法一（从“角”入手，“倍角”变“单角”） 原式=sima·sinB+cosa·osB-合(2cosa-1)· 图为ae0,所以a+音∈（受）： (2cos'B-1) 若a+晋（骨]，则m(e+晋）（停]： -sina·sn计msa·as月-(4omsa·oms月-2msa 又号<停，所以+晋（停·] 5 2cos3+1) =sima·sing-cos2a·cosB+cos'a+cosB 1 所以a+晋（受]，所以m(a+音） =sima·sinp++cos号 √-m(a+号)=-告 =m叶cosg合=1-合=2 所以sina= im[a+晋)-]=sim(a+答) 解法二（从“名”入手，异名化同名） os音-cos(e+号)sin音 原式=ima·sinB计(1-sina）·cosB2c0s2a·os29 =os月ina((in》-7ms2as29 10 32第八章向量的数量积与三角恒等变换 章末整合提升 1知识网络 (3)借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化 alba·b =0 背景 向量数 为有垂直向量关系或平行向量关系的向量 及其 a a=lal 量积的 向量的 向量的数 含义 坐标运 数量积，借助 a⊥b， ，则 a⋅b=0 等解决 数量积 量积运算 s<a，b a⋅b 算及性 $$= \frac { a } { | a | | b }$$ 运算律 质的坐 问题. la-bl≤l all bl 标表示 (4)建立坐标系，利用坐标运算求解数 $$\overline { S _ { a - \beta } }$$ $$S _ { 2 n }$$ 以 量积. 导 $$S _ { \alpha + \beta }$$ 典题 (1)(2024·河南驻马店高一期 三角恒 式 两式 $$T _ { n }$$ 等变换 换 末)在 △ABC 中， $$， \angle A = 6 0 ^ { \circ } ， A B = 2 ， A C =$$ $$C _ { n + \beta }$$ a 以 3，点D为边AC上一点，且 $$\overrightarrow { A C } = 3 \overrightarrow { A D } ，$$ ，则 两角和(差)的正、余弦相加减 积化和差 $$C _ { 2 }$$ $$\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { B D } =$$ () a+B=x a x+ A.3 B.2 C.一2 D.-3 两式 相除 $$\frac { T _ { a } } { 2 } |$$ 和差化积 (2)(2024·江苏南通高一期中)在矩形 2深化提升 ABCD中， 已知 AB=4，AD=2， ，点P在 (一)向量的数量积与夹角、模长问题 CD边上，满足 $$\overrightarrow { A P } \cdot \overrightarrow { A B } = 6 ，$$ $$则 \overrightarrow { A P } \cdot \overrightarrow { B P } =$$ 多维探究 () 因为数量积运算及其性质涵盖了求向量的 $$A . - \frac { 1 } { 2 }$$ B.0 $$C . \frac { 1 } { 4 }$$ $$D . \frac { 3 } { 2 }$$ 模、夹角、证明向量垂直等基本问题，所以 角度2 向量的垂直与平行，夹角与模问题 它是本章的核心，应用也是最广泛的. 1.证明共线问题常用的方法 角度1 向量数量积的运算 (1)向量 a，b(a≠0) 共线↔存在唯一实数 向量数量积运算的求解策略 λ，使b=λa. (1)利用数量积的定义、运算律求解. (2)向量 $$a = \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， b = \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right)$$ )共线 在数量积运算律中，有两个形似实数的完 $$x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 1 } = 0 .$$ 全平方公式在解题中的应用较为广泛，即 (3)向量 a 与b共线 ⇔|a⋅b|=|a||b|. $$\left( a + b \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a \cdot b + b ^ { 2 } ， \left( a - b \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } -$$ (4)向量 a 与b共线→存在不全为零的实 $$2 a \cdot b + b ^ { 2 } ，$$ 上述两公式以及 (a+b)⋅(a-b)= 数 $$\lambda _ { 1 } ， \lambda _ { 2 } ，$$ ，使 $$\lambda _ { 1 } a + \lambda _ { 2 } b = 0 .$$ $$a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$$ 这一类似于实数平方差的公式在解 2.证明平面向量垂直问题的常用方法 题过程中可以直接应用. $$a \bot b \Leftrightarrow a \cdot b = 0 \Leftrightarrow x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } = 0 ，$$ (2)借助零向量 其中 $$a = \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， b = \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) .$$ 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的 3.解决向量模的问题常用的策略 向量的和为零向量”，再合理地进行向量的 (1)应用公式 $$： | a | = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }$$ (其中 a=(x，y). 移项以及平方等变形，求解数量积. (2)应用三角形或平行四边形法则. -89 O数学·必修第三册（配RJB版） (3)应用向量不等式：川a一|b≤a士b≤：2.向量法解决平面几何问题的“三步曲” al+bl. (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表 (4)研究模的平方：a士b2=(a士b)2. 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 4.求向量的夹角 题转化为向量问题； 设非零向量a=(x1,y1),b=（x2,y2),两 (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关 向量夹角(0≤0≤π)的余弦cos0= 系，如距离、夹角等问题； a·b x1x2十y1y2 (3)把运算结果“翻译”成几何关系 ab√++ 这其实也是用向量法解决其他问题的思 典题1-2(1)设平面向量a=(1,2),b= 路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译 (一2，y),若a∥b,则|3a十b等于() 成向量关系式（用基底表示其他向量），然 后通过一系列的向量运算，得到新的向量 A.5 B.6 C.√17 D.√26 关系式，则这个新的向量关系式的几何解 (2)设向量a,b,c满足a十b十c=0,(a一b)⊥c, 释就是问题的结论 a⊥b,若a|=1,则|a2+|b|2+c|2的值 是 典题2在等腰直角三角形ABC中，∠C是 直角，AC=BC,D是BC的中点，E是AB (3)已知向量a2=b2=1,且a·b=- 1 上一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE. 求①a+b|;②a与(b一a)的夹角. [自主解答] [自主解答] (二)向量数量积在几何中的应用 1.向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似 ! (三)三角恒等变换与化简、求值问题 问题，常用向量共线定理：a∥b→a=b台 1.三角函数求值的三种情况 x1y2一x2y1=0(b≠0) (1)给角求值：一般给出的角都是非特殊 (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩 角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非 形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直 特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要 等，常用向量垂直的条件：a⊥b台a·b=0 利用观察得到的关系，结合公式转化为特 殊角并且消除非特殊角的三角函数而 台x1x2十y1y2=0. (3)求夹角问题，利用夹角公式： 得解. (2)给值求值：给出某些角的三角函数式的 cos (a,b)=T a·b x1x2+yy2 ab +y√+y 值，求另外一些角的三角函数值，解题关键 (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向 在于“变角”，一般用已知角表示所求角， (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”， 量的模|a=√a=√+yY或|AB=|AB 先求角的某一三角函数值，再根据角的范 =√(-x2)+(4-y2). 围，确定角 90 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 :2.以向量运算为载体，考查三角恒等变换.这 (1)一看“角”，一般化异角为同角，通过看 类问题往往利用向量的知识和公式，通过 角之间的差别与联系，把角进行合理的拆 向量的运算，将向量条件转化为三角条件， 分，从而正确使用公式 然后通过三角变换解决问题；有时还从三 (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差 角与向量的关联点处设置问题，把三角函 异，一般化异名为同名，从而确定使用的公 数中的角与向量的夹角统一为一类问题 式，常见的有“切化弦” 考查 (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以 典题4(2024·四川广元高一月考)函数 帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要 f(x)=-3sin'x+sin xcos x. 通分”等， (1)求f(x)的单调增区间； 典题劲(1)已知tama+牙)-2，且一受< (2)若f(侣）=-+是a∈(0，)，求 a<0,则2sina+sin2e sin a. cos(a-) [自主解答] A.-25 B.-35 5 10 C.-310 10 (2)化简：sin2a·sin2B+cos2a·cos2B 2cos2a·cos2R. [自主解答] 3思维辨析 [典例]已知0≤&<B<y<2π，且sina十 sin B++sin Y=0,cos a+cos B+cos =0, 求B-a. [错解]由已知， sina+sinB=-siny,① (四)三角恒等变换的应用 cosa+cosB=-cosY.② 1.以三角恒等变换为主要的化简手段，考查 ①2+②2，得 三角函数的性质.当给出的三角函数关系 2+2(sin asin B++cos acos B)=1. 式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变 故c0sg-a)=-2 换，将三角函数的表达式变形化简，将函数 由0≤a<B<y<2π， 表达式变形为y=Asin(wz十p)十k或 知0<3-a<2π， y=Acos(wx十p)十k等形式，然后再根据 化简后的三角函数，讨论其图象和性质 所以B一a=晋我日-a=经 3 91 O数学·必修第三册（配RJB版） 「错因分析]没有对结果进行检验，其实： (2)若f(x)在区间-3,0上单调递增， 题目中隐含着条件B-a<y一a. 且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a, [正解]由已知， b的值， sin a+sinB=-siny,① 得 [审题指导](1)把函数f(x)化为一个角 cosa+cosB=-cosY.② 的三角函数，利用周期的计算公式求解； ①2+②2， (2)根据函数的单调性和最值列出方程组， 2+2(cos acos B++sin asin B)=1, 可求a,b的值. 故c0s(g-a)=-2 [规范解答] (1)f(x)=sim(x+)+ 由0≤a<By<2π，知0<3-a<2π， sin (x)+acos x+b 所以日-a=号x或Pa=音元 =2sin xcos +acos十b 6 同理，可求出cos(y-a)=- 2, =√3sinx+acos x+b ·阅卷提醒卜- 得到①处的三角 且0<y-a<2π， 函数式是解答本 =√Ja2+3sin(x+p)+b,① 题的关健，若此 所以Y-a=名r或y-a= 2 4 处失误：得0分： 元 ………… (4分) 所以函数f(x)的最小正周期为2π.… 又B-a<Y-a, ………（6分) 因此B一a取两者中较小的，Y一a取两者中 (2)由(1)，可知f(x)的最小值为 较大的. -√a2+3+b, 所以B-a= 3元 所以一√a2十3+b=2,②…(8分)》 纠错心得] 另外由f(x)在区间阅卷提醒上 ②处在解题过程中 给值求角问题要先根据条件求出所求角的范 -晋0上单调递增， 极易被忽视注意对 “恰好能够取到阅 围，然后确定用哪种三角函数进行求值 的最小值2”的理解 否则无法求解，若此 4规范答题 可知f)在区间[-号0 :处失误，本题最多得 6分 三角恒等变换的综合应用 上的最小值为(-》， [典例](13分)已知函数f(x)=sin（x十 所以-》=一昌+受+6=2. 800040000 g）+sin(z-)H acos x+b(a,b∈R,且 ………(10分） 均为常数) 又-√Ja2十3十b=2, (1)求函数f(x)的最小正周期； 解得a=一1，b=4.……(13分) 提示：[章末达标检测]请完成检测卷（二）、 模块综合检测卷（一）、（二） 92