7.3.4 正切函数的性质与图像-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第七章三角函数。 规律方法 课堂小结 此类问题可先求出f(x)的单调区间，将问题 转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出 知识落实 技法强化 参数范围 (1)本节课应用了整 [触类旁通] (1)余弦函数. 体代换、换元、数形结 3.(多选题)(2024·浙江杭州高一期末)下列 (2)余弦函数的性质与图象. 合的思想方法 不等式成立的是 (3)余弦函数的单调性、奇 (2)正弦函数与余弦 A.sim-ξ)>sim(-8》 偶性、对称性 函数的单调性、对称 (4)余弦函数的值域（最值）】 B.c0s400>c0s(-50°) 性易混淆。 C.sin3>sin2 D.sin(）>sin(） 温 示 请完成课后案」学业评价（十一） 7.3.4 正切函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函 1.通过正切函数性质的学习，培养数学运算、数学抽 数的性质.（重点） 象等核心素养 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.2.根据正切函数图象与性质的关系，提升直观想象等 (重点、难点) 核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题3诱导公式tan(一x)=一tanx说明 了正切函数的什么性质？ 导学1正切函数的性质 问题1正切函数y=tanx的定义域是 问题4从正切线上观察，正切函数值在 什么？ (0,)上是增大的吗？ 问题2诱导公式tan(π+x)=tanx说明 了正切函数的什么性质？tan(kπ十x) ©结论形成 (k∈Z)与tanx的关系怎样？ 正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 45 。数学·必修第三册（配RJB版） 续表 D基础自测 值域 最小正周期 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 奇偶性 (1)函数y=tanx在其定义域上是增 在每个开区间 函数 单调性 都是增函数 (2)函数y=tan2x的周期为π.() 零点 (3)正切函数y=tanx无单调递减区间. kπ(k∈Z) () 正切曲线是中心对称图形，其对称 对称中心 中心为 (4)函数y=2tanx,x∈ 0,)的值域是 [0,十∞). 导学2正切函数的图象 2.函数y=2an(-3x+)的最小正周期是 ?向题我们能用“五点法”简便地画出正 弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画 出正切函数y=tanx,x 受，受)的简 A晋 R君 图吗？怎样画？ C. D.π 3.函数y=anx+1是 tan x A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 ○结论形成 D.既不是奇函数又不是偶函数 1.正切函数的图象 4.函数f)=1anx+牙)的单调增区间是 A.(kx-2kx+)k∈Z 2.正切函数的图象特征 B.(kπ，kπ+π)，k∈Z 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 C(-,kx+k∈Z 所隔开的无穷多支形状 相同的曲线组成的. D.(kx-，kx+3）,kZ 46 第七章三角函数。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一正切函数的定义域、值域问题 C.xxER,x≠8+kr,k∈Z 例1(1)函数y=1十tan元 的定义域为 D.R≠+经，eZ 题型二 正切函数单调性的应用 (2)若x(-,》求函数y=m(2:-》 例8(1已知函数y=-2an(后x+）,则 的值域， [自主解答] A.递增区间为(6k一5,6k+1),k∈Z B.递增区间为(6k-1,6k+5),k∈Z C.递减区间为(6k一5,6k+1),k∈Z D.递减区间为(6k-1,6k+5),k∈Z (2)已知实数a=tan(sn写）b=an(cos罗， c=-tan(tan-),试比较a,b,c的大小 [自主解答] [素养聚焦]在求解正切函敏的定义城和值战的 过程中，体现的数学核心素养为数学抽象，数学运算 规律方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义城时，除 了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函 数y=anx有意义即x≠受十红，k∈乙 (2)求值域要用换元的思想，把tanx看作可 取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确 定tanx的范围. [触类旁通] 1.函数y=tan(2x-平)的定义域为( A.ER.≠+经∈z B{女x∈R,x≠+kx,k∈Z 47 。数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 [母题变式] L.求函数y=Atan(wx十g)的单调区间的方法 (变条件、变结论)把例3中的函数换为 (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调区间 “y=|tanx”,并根据其图象判断其单调 上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 性、奇偶性、周期性， kx一<ax十<km十受（∈），求得x的范 围即可 (2)若w0,可利用诱导公式先把y=Atan(ar十p) 转化为y=Atan[一（一ax一p]=一Atan(一r ),即把x的系数化为正值，再利用“整体代换” 的思想，求得x的范围即可， 2.比较正切值的大小 第一步：运用三角函数的周期和诱导公式将角 化到同一单调区间上； 第二步：运用正切函数的单调性比较大小关系。 [触类旁通] 2.不等式tan(x+)<1的解集为 ( A.(-+kx,-是+kxjk∈z B(-5F+2k,-是十2kx)k∈刀 C.(（-受+，-年+x)(k∈刀 规律方法 (1)若函数为周期函数，可先研究其一个周期 D.（- 受+2kx,-开+2x)(k∈2Z) 上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可 题型三正切函数的综合应用 一题多变 (2)作出函数y=|f(.x)川的图象的一般方法 设函数fx)=tan(受-若）】 ①保留函数y=f(x)图象在x轴上方的 部分； (1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心； ②将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分 (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图. 沿x轴向上翻折. [自主解答] [触类旁通] 3.(多选题)已知函数f(x)=tan(r+,则 下列叙述正确的是 () A.函数(x)的图象关于点（一不，0）对称 B函数f)在（一不）上单调递增 C.函数f()的图象关于直线x=对称 D.函数y=|f(x)|是偶函数 48 第七章三角函数。 [缜密思维提能区] 易错辨析 用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然 三角函数图象的应用 后利用对称性作出x(一，)时的两函 [典例们 当x(经，经)时，方程1anx 数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个 sinx=0实根的个数为 交点.所以方程有3个根 [错解]同一平面直角坐标系中作出 y=tanx与y=sinx在(- 经，）内的图 象如图所示，两图象有5个交点，所以方程 tanx-sinx=0有5个根， [答案]3 [纠错心得] 数形结合法求解问题的关键是准确地画出 图象 课堂小结 [错因分析] 没有比较x∈（一受）时， 知识落实 技法强化 y=tanx与y=sinx的大小. (1)本节课应用了三点两 [正解]将方程变形为tanx=sinx,作 (1)正切函数的定义. 线法、整体代换法、换元法 y=tany=snx在(-，）)上的图 (2)正切函数的定义的思想方法 象，则两图象交点的个数就是原方程根的 域、周期性与奇偶性 (2)注意正切函数的最小正 个数.在同一坐标系内画出y=tanx与y (3)正切函数的单调性 周期T=高，在定义域内不 =sinx的图象，根据图象判断交点个数. 与值域 (4)正切函数的图象. 单调，对称中心为（经0 在同一平面直角坐标系中，首先作出y (k∈Z). sinx与y=anx在（仁受，）内的图象， 温碧 需明确x∈(0,2)时，有sinx<r<anx(利 提示 请完成「课后案1学业评价（十二） 49@ [触类旁通] 1.解析当cosx=1时，即x=2kr,k∈Z时， [-告-] 函数y=-2co5x十10取最小值8. 答案{xx=2kπ，k∈Z :f)在（行，受）上单调递增， [例2][解析] 1)由函数f(x)=cos(-2x-8):则共 [爱<高ez 21 3w 2π 最小正周期T=2=元 2)周为)=co(受+g): 解得6k一4≤m≤4k- h∈Z.由题意知， 2 f(-）=c0s(-吾+吾)=1≠0，A错误： 吾-晋<号×语0<<62w<号故选C ()=0s(号+吾)=-1.B正确： [答案]C [触类旁通] (+）)-o[2(+)+]-o(告+受) 3BD国为-受<-音<-无<0，且函载y=r在 -sim受，所以(x+)是奇画数，C正确： (（一受0)上单调递增，则m(-晋)<sin(-无）：故选 易知f(一x)≠f(x),所以f(x)不是偶函数，D错误. 项A错误： [答案](1)B(2)BC 因为cos400°=cos(360°十40°)=cos40°，0s(-50°)= [触类旁通] 2.ACD函数fr)=2cos(2x+君)的最小正周期 cos50°，且函数y=cosx在(0,2)上单调道减，则cos40 >c0s50°，即cos400>cos(-50),故选项B正确： T=罗=，故A正确： 因为受<2<3<要，且画数y=mx在（受，）上单满 f(g)=2os(2×吾+吾）=2cos受=0， 递减，则sin3<sin2,故选项C错误： 所以八)关于（晋，0）中心对称，故B错误： 周为受<行<<经且画教y=mx在（受·要）上单 8 7 r(-吾）-2cas(-经+晋）-2os(←吾）-0，所以 调适减，则sm()>sin(）,故选项D正痛：放选BD, 7.3.4正切函数的性质与图象 (-受，0）是画数f代)图象的一个对称中心，故C正确： 课前案·自主学习 根据题意gr)=2c0s[2(x+)+] [教材梳理] 导学1 2co(2x+5)=-2sin2, 问题1[提示] r≠kx+受，kez. 则g(一x)=-2sin(-2x）=2sin2x=-g(x）.所以g(x） 问题2[提示]周期性.tan(kx十x)=tanx(k∈Z). 为奇函数，故D正确 问题3[提示] 奇偶性. [例3-1][解析](1)，函数y=simx在(90°，270)上单 问题4[提示]是的， 调递减，且90°<250°<260°<270°， ◎结论形成 "sin 250>sin 260". {女≠x+受∈Z RT=元奇函数 cos1=os(2x-g）=s5 (m-受kx+受)∈)（受0)∈ 导学2 :函数y=c0sr在[0，]上单词递减，且0<及<<， 89 问题[提示] 能，三个关键点：（于1小(0,0) ..o cos 0 （一至1两条年行线=受=-受 (3ros1=sm(经-1小： ○结论形成 sin 2=sin(-2), 2.r=至+k,k∈Z 又0<-1<-2< [基础自测] 且y=imr在[0，]上是递增的， 1.(1)×(2)×(3)/(4)J ! asin(受-1）<sin(x-2. 2.BT=-3=3 π 即cos1<sin2. 8A函数的定义线是{女≠a6∈乙， [例3-2】[解折]令2张-≤+子≤2x,k∈乙， 且tan(-x) tan ()=tan x-tanx w 30 =-(amr+》 :函数x)=co(ar+晋)的单润递增区间为 所以函数y=tnx十 1是奇函数。 tan x k@© 4.C由-是+x<+<受十，E乙 -晋=0则= (2)令x 得-要+x<<+k,∈ 故fx)的单调增区间是(-西+，子+），k∈乙 令 课堂案·互动探究 [例1】[解析]（D要使函数y一十an云有意义，必须且 1+tanr≠0， 只需 x≠kx+受(k∈ 画数y=am(受一-苔)的图象与x轴的一个文点坐标 所以函数的定义域为 是(0)，在这个文点左，右两侧相年的两条新近线方程 {口x≠x-晋且≠x+受k∈ 2:-r<7-<2r-< 分别是x=一行江=3 ,从而得到函数y=fx)在一个周 即tan(2r-吾)<1， 期（一吾，暂）内的简图（如图所示）。 故函数的值城为（一∞，1）. ya修-蜀e界，到 [答案]（①）{女≠-且x≠kx+受k∈Z 6- (2)(-00,1) 2红红 5t x 36 [触类旁通] 1.A令2x-至≠受+k,k∈Z [母题变式] 解得≠+之，k∈乙，故选A 解析由y=|anx得， [例2】[解析])由-受+km<若r+号<受+xk∈么. anr,k<r<kx+受（∈D 解得6k-5<x<6k+1,k∈Z. m,-是+k<<kk∈. 因此，画数y=-2m(凭x+)的单润适减区间为 其图象如图所示： (6k-5,6k+1),k∈Z. (2)实教a=tam(sin晋）=tam>0, 03红 6=tam(os吾）=am>0, 2 2 c=tan(an音）=tan<o, 由图象可知，函数y=tanx是偶函数. 而画数y=am工在区同(0，受)上单洞适增， 函数y=|tanx的周期T-x, 为>>号>0，所以1m>n>0 函数)y一m的单调递增区问k标十)∈，单调递 3 即0<b<a,所以a>b>c. 减区间为(km-受，)∈D。 [答案](1)C(2)a>b>c [触类旁通] [触类旁通] 3.ABf(-开)=tan0=0,A正确： 2.A依题意，得一受十<r十号<晋十红∈)，解程 +k<<-音+xk∈. 当r(一牙，)时+∈(o,受）此时x)单调运 6 增，B正确： 所以不等式an(r十)<1的解集为 函数y=1anx的图象不是轴对称图形，函数f(x)的图象 (-要+，一是+a)∈ 是由y=anx的图象向左平移天个单位长度得到的，所 以其图象也不是轴对称图形，C错误： [例3】[解析](D:u=2· 1 国为/(-要)川-0，但（川不存在，D错误，故 选AB. 2 教考衔接2三角函数中的参数问题 ◆--受D,科r=x+要k∈D [典题1】[解析]1)令-受+2kx≤2r+若≤受+2x, “)的对称中心是(kx+号，0)∈. ∈乙.所以-晋+k≤r≤晋+，k∈乙 3 6