7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第七章 三角函数○ 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 学业标准 学科素养 1.通过弧度制概念的学习，培养数学抽象等核 1.理解1弧度角的定义，了解弧度制的概念.（难点） 心素养 2.能进行角度与弧度之间的互化.（重点） 2.通过弧度制与角度制的互化，提升数学运 3.掌握弧度制下弧长与面积公式，能应用公式解决问题 算、逻辑推理等核心素养。 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 教材梳理 ◎结论形成 1.弧度制与角度制的换算 导学1弧度制 设一个角的角度数为n,弧度数为a, 问题1在平面几何中，1°的角是怎样定 则80 义的？ 一些特殊角与弧度数的对应关系 度 08 19 30456090120135150180270360 问题2长度等于半径长的弧所对的圆心角 有多大？是否有其他单位制来度量该角？ 3.由弧度制与角度制的换算公式不难得到正 角的孤度数是 数，负数的弧度数是 数，零角的弧度数是 ⊙结论形成 导学3弧度制下弧长与面积公式 1.1弧度的角：长度等于 的圆弧所 ？问题在孤度制下，弧长公式和扇形面积 对的 为1弧度的角，记作1rad. 公式可以写成什么形式？你能推导吗？ 2.弧度制：以 为单位来度量角的 制度 [点拨] 用孤度制表示角时“孤度”二字或rad可 ⊙结论形成 设扇形的半径为r,弧长为L,a为其圆心 以略去不写，而只写这个角对应的孤度数， 角，则 导学2孤度制与角度制的换算 a为度数 a为弧度数 ?问题角度制和弧度制都是度量角的单位 扇形的弧长 180 L= 制，它们之间如何进行换算呢？ 扇形的面积 Q元2 360 O数学·必修第三册（配RJB版） 基础自测 3.下列角中，终边在y轴正半轴上的角是 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)1弧度就是1的圆心角所对的弧.() A B一受 (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半 径大小无关， C.元 D.-2 (3)160化为弧度制是号xrad ( ) : 4.在半径为8cm的圆中，的圆心角所对 (4)1rad的角比1的角要大. 的弧长为 () 2.1920°的角化为弧度数为 ( ) 号 五号 A积cm B 3πcm 16 200 400 C. D. 32 C.xcm D.cm 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 弧度与角度的互化 [触类旁通] 例1(1)把下列角度化成弧度或弧度化成 1.将下列角度与弧度进行互化： 角度： （a5x,(2)-7语：(310,0-855 ①72°；②-300°；③2，④-2 (2)已知a=15,8=6,y=1,0=105,试 比较a,B,Y,0的大小. [自主解答] 题型二 用弧度制表示终边相同的角 一题多变 例2把下列各角化成2kπ十a(0≤a<2π， k∈Z)的形式，并指出是第几象限角. ①-1500：(22g,3)-4 [素养聚焦]利用孤度制与角度制引起的计算， [自主解答] 把数学运算等核心素养体现在解题过程中， 规律方法 弧度与角度的互化技巧 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分 化为度之后，牢记πrad=l80°即可求解.把弧度转 化为角度时，直接用弧度数乘以 180 °即可. 个 6 第七章三角函数。 [母题变式] [触类旁通] 1.(变条件、变结论)在区间[一5π，0]上，用 2.(2024·江西赣州高一期中)下列各角中， 弧度制表示与2010°终边相同的角. 与一21不终边相同的角是 B c 题型三 扇形的弧长与面积公式的应用 例3已知扇形的圆心角是a,半径是r,弧长 为1 (1)若a=100°，r=2,求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最 大值，并求此时扇形圆心角的弧度数， [自主解答] 2.(变条件、变结论)用弧度表示顶点在原点， 始边落在x轴的正半轴上，终边落在阴影部 分内的角的集合（不包括边界，如图所示）. 规律方法 图1 图2 弧度制下扇形有关问题的几点注意 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l=ar, S=7=,其中。必须是孤度制的角， (2)涉及扇形的周长、孤长、圆心角、面积等计 算，关键是分析已知哪些量，要求哪些量，用扇形 的弧长公式、面积公式直接求解或列方程组求解. (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于 扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函 数的最值问题， [触类旁通] 3.(2024·天津宁河高一期末)杭州第19届 亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇 面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及 规律方法 象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其 用弧度制表示终边相同的角2kπ十a(k∈Z) 中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴 时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要 已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、 注意角度制与弧度制不能混用，单位要统一 下两条弧分别是半径为30和10的两个同 O数学·必修第三册（配RJB版） 心圆上的弧（长度单位为cm),侧边两条线： 课堂小结 段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角 知识落实 技法强化 为，则扇面（扇环）的面积是 (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的(1)研究弧度制与角度制 相互转化. 的互化应用由特殊到一般 (3)特殊角的角度数与的思想方法。 弧度数的对应关系. (2)表示角时不要弧度与 19th Aslan Games Hangzhou 2022 (4)扇形的弧长与面积角度混用. 800π A. B.400x 的计算. 温碧 C. 200π D.1094cm 提示 请完成[课后案】学业评价（二） §7.2 任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 学业标准 学科素养 1.理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以1.通过三角函数概念的学习，培养数学抽象 实数为自变量的函数.（难点） 等核心素养 2.理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过三角函数定义的应用，提升数学运算 (重点) 等核心素养 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 教材梳理 (1)角a的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 导学1 任意角的正弦、余弦与正切的 定义 (2)对于确定的角a,sina,cosa,tana是否 随P点在终边上的位置的改变而改变？ ?问题使锐角α的顶点与原点O重合，始 边与x轴的非负半轴重合，在终边上任 取一点P,PM⊥x轴于M,设P(x,y), ○结论形成 OP=r. 角a的终边 角a的终边” "P红h Ps,y） P力. 角a的终边 角a的终边[例3-2][解析](1)因为a是第二象限角， [基础自测] 所以90°十k·360°<a<180°+k·360°(k∈Z), 1.(1)×(2)√(3)/(4)/ 所以180°+k·720°<2a<360°+k·720°， 2.D设1920°的孤度数为a, 所以2@是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非 则g=1920° 正半轴上， π 8a=号，故选D (2)因为a是第二象限角， 3.D 所以90°+k·360°<a<180°+k·360(k∈Z), 4.A振据孤长公式，得1=警×8=g(cm. 所以45+k180<号<90+长180（∈2D. 课堂案·互动探究 ①当k=2n(n∈Z)时，45+n·360<号<90°+1·360° [例1门 [解折]0漫72=a,则受-品。 n∈D,即受是第-象限角； a=号即72=号 ②当k=2n+1(m∈20时，225°+n…360<号<270+m· ②设-300°=a,则g=-300 180 360(n∈2)，即号是第三象限角. a= 警即-30=-号 3 故号是第一或第三象服角 [触类旁通] @设2=则是高a=0即2=() 3.D图为a为第二象限角，则2n·180°+90°<a<2m·180 2π +180°，n∈Z, ④设-2红=，则 9 图此(2n+k)·180°+90°<k·180°+a<(2m十k)·180°+ 180°，n,k∈Z, n=-40,即-2=-40 9 而2n为偶数，当是为奇数时，2n+k为奇数，则k·180°十a (k∈Z)为第四象限角， (2a=15°-15×7赢0-意 当k为偶数时，2m十k为偶数，则k·180°十a(k∈Z)为第二 象限角， 0=105'=105×高0-7语 所以k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四 故a<P<y<a. 象限. [触类旁通] 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 1.解析 课前案·自主学习 a)5-59×180=1530 6 [教材梳理] 导学1 2②-7-7×180-10s 问题1[提示]将圈周分成360等份，每一段国孤所对的 圆心角就是1°的角. (310°=10×7高0=是 问题2[提示]若长度等于半径长的孤所对的圈心角为 ④-855=-855×7高0=-19年. 4 ()则用孤度制度量被角为1益度。 [例2][解析](1)-1500°--1800°+300°= ○结论形成 -5×360°+300 1.半径长圆心角 2.孤度 -1500可化成-10x+5警，是第四象限角。 导学2 22g-2x+g, 问题[提示]由360°=2x孤度，即180°=π孤度， ○结论形成 管严与号终边相同，是第四泉限角。 6 1品 （3):-4=-2x+(2x-0,受<2x-4<元 2.0180 3π 2π .一4与2π一4终边相同，是第二象限角. 3.正负零 [母题变式] 导学3 1.得折2010-2010X7高-6g-5×2x+7晋 6 问题[提示]孤长公式：由公式a=上及0<a<2x可得 与2010终边相同的角可以写成7-看+2张x(∈Z刀， 1a·r扇形面积公式：S=名r 又-5π≤y<0, 设扇形的圆心角为arad,则扇形的面积为 1 7 六-32≤≤-2： 又因为1=ar,所以S=名r 当k=3时y三一。x: ⊙结论形成 当=一2时，y=- 6 ar fir ar 当k=-1时7一音元 5 3 @ 2.解析（1)以OA为终边的角为石+2x(∈D,以0B为 ⊙结论形成 (1)第一，二 y轴正半轴第三、四y轴负半轴 终边的角为-+2x(k∈ZD,所以阴影部分（不包括边 3 (2)第一、四x轴正半轴 第二、三x轴负半轴 (3)第一、三 第二、四 界)内的角的集合为{a-管+2<aK晋+2∈2. [基础自测] (2)终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合 1.(1)×(2)/ (3)×(4)/ 2.B 是{a号+2x<<晋+2，ez. 3.D [触类旁通] 4.0~a=受时，角。的终边上任取一点(0,1)， 2.D因为-吾-（-2头）=5x,要-(-24）=65x,赞 ∴.cosa=0. -(-2头)=1.5,1-（-24）=8，所以1与 课堂案·互动探究 [例1-1][解析]由题意知r=|OP1=√x+9, _21π的终边相同。 4 由三角函数定义得cos日=工=工 [例3)[解桥]1)因为a=100=10×7高0-号， r+9 所以扇形的面积为S==名=号×晋×4=1g 又cos0=y0 10x, 10 +910x. 91 "x≠0，.x=士1. (2)由题意，可知1+2r=20,即1=20-2r, 当x=1时，点P为(1,3)， 所以扇形的面款为S=r=受(20-2r)·r 此时sin0= 3=310 -(r-5)2+25, √1+3 10 am0-是-3 当r=5时，扇形面积的最大值为25， 当x=一1时，点P为（一1,3）， 此时1一20-2×5-10a--9-2 3 此时sin0= -3√10 -1)+3 10 [触类旁通] 3.A因为上、下两条孤分别在半径为30和10的圆上，圆心 am0---3. 角为经，由扇形面积公式S=号=号a,所以两个扇形 [例1一2][解析]设角a的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0)，则x=k,y=-3k, 的面积分别为 r=√+(-3k)2=√101k|. S=号×10×号-1098=2×30×号-09， 31 (1)当>0时，r=√/10k,a是第四象限角， 所以扇面的面积为S,-S,=900m-100压=800m sina=义= 3k=-3⑩ 3 3 31 r √10k 10, §7.2任意角的三角函数 1=工=0=0， 7.2.1三角函数的定义 cos a x k 课前案·自主学习 所以10na+。-10x(-30)+3V而 10 [教材梳理] 导学1 =-3√10+3√/10=0. 问题[提示]sna=之，osa=号，ana= (2)当k<0时，r=一√10k,a是第二象限角， x (2)[提示]否. 血-流。。 是 O结论形成 -√10， (1)义 sina=义 (2) Cos a= (3)之 所以10sina十c0 3=10x3+3x(-V1o 10 tanc=义 唯一k纸十芬唯一 2 =3√/10-3√/10=0. 导学2 综上所述，10sina十3=0. 问题[提示] cos a y [触类旁通] + 1.B由终边经过点P(-2,1),根据三角函数的定义， (1) 0 可得r=|OP1=5, 5cos a= 1 所以sina= -2 sin a cos a tan a (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正； +2x() 第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦 则na十2cose-5 一3，故选B. 3sin a+cos a 3X1-2 为正. 55