学业评价(二十三-二十四) 球的表面积和体积 平面-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价（二十三） 球的表面积和体积 [必备知识·基础巩固] 离).将地球看作是一个球心为O,半径r为 6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道 1.直径为6的球的表面积和体积分别是 ( 平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一 A.36π，144π B.36π，36π 颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α， C.144π，36π D.144π，144x 记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S= 2.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这 2πr2(1一cosa)(单位：km),则S占地球表面积 个平面的距离是4cm,则该球的体积是( 的百分比约为 ( A.100 cm a207m A.26% B.34% C.42% D.50% C.s00 em D.41613x cm 10.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别 3 为3,4,5，则它的外接球的表面积是 () 3.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 A.20V2元 B.25√2π ( C.50π D.200π A知 B 11.已知长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方 体的对角线长为4，则该球的体积是 C.43π D.32√3π 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们 4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日： 的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、 置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除 球的体积之比为 之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球 的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈ 吧如果球的半轻为号根据~开立铜术”的方 ----- ---1-- 法求得的球的体积约为 A. 18,若一个底面边长为，侧棱长为，后的正六棱柱 c 的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和 表面积 5.火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积 是火星体积的 倍. 6.两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表 面积之比为 7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球 的体积为，则正方体的棱长为 [学科素养·探索创新] 8.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容 ：14.球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距 器中，水面升高了4cm,求钢球的半径. 离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体 积的比值为 15.如图所示，半径为R的半圆内的阴影 部分以直径AB所在直线为轴，旋转 一周得到一几何体，求该几何体的表 面积.（其中∠BAC=30°） [关键能力·综合提升] 9.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的 重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫 星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距： 39 。数学·必修第二册（配RJA版）】 学业评价（二十四）平面 6.两个平面相交时，下列画法不正确的是 [必备知识·基础巩固] 1.若一直线a在平面a内，则正确的作图是( ② 2.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平 面内，那么这条直线在这个平面内.可用符号表 7.如图，在正方体ABCD-A,B,CD1中，回答下列 示为 ( 问题. A.ACl,BCl,且ACa,BCa→l∈& B.A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lCa C.A∈l,B∈l,且ACa,BCa→lCa D------ D.A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→l∈a 3.如果空间四点A,B,C,D不共面，那么下列判断： (1)平面AB,∩平面A,C= 中正确的是 ( (2)平面A,C,CA∩平面AC= A.A,B,C,D四点中必有三点共线 8.求证：三棱台A,B,C-ABC三条侧棱延长后相交 于一点 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 4.(多选题)下列说法不正确的是 ( A.三点可以确定一个平面 B.空间中两条直线能确定一个平面 C.共点的三条直线确定一个平面 D.三角形和梯形都可以表示一个平面 5.如图所示，用符号语言表示以下各概念： D .C a ①点A,B在直线a上 ②直线a在平面a内 ③点D在直线b上，点C在平面a内 : 40 [关键能力·综合提升] [学科素养·探索创新] 9.(多选题)下列命题，不正确的是 14.(多选题)如图所示，在正方 D A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个 体ABCD-A1B,CD1中，OA 平面 为DB的中点，直线A,C交 B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个 平面CBD于点M,则下列 平面 结论正确的是 ( C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 A.C1,M,O三点共线 D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面 B.C,,M,O,C四点共面 对角线，有且只有一个平面 C.C1,O,A,M四点共面 10.在空间四边形ABCD中，在AB,BC,CD,DA上 D.D1,D,O,M四点共面 分别取E,F,G,H四点，如果GH,EF交于一点：15.如图所示，△ABC与△AB,C不在同一个平面 P,则 ( 内，如果三条直线AA1,BB,CC,两两相交 A.P一定在直线BD上 求证：三条直线AA,BB,CC,交于一点. B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或BD上 D.P既不在直线BD上，也不在AC上 11.在长方体ABCD-A,B,C,D,的所有棱中，既与 AB共面，又与CC,共面的棱有 条 12.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点 共线，这5个点最多可以确定 个平面. 13.如图所示，AB∩a=P,CD∩a=P,A,D与B,C 分别在平面a的两侧，AC∩a=Q,BD∩a=R. 求证：P,Q,R三点共线. 41⑧ 11,解析如图①为枝长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表 而按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面 8解析1)由通意V。=号S动=名矿·h=g 3 积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22， (2)由已知有S:=r·12=x, 其面积为8. S,=π·22=4r 所以V=专5.+5+5·S7h -号x+4+2m)X3=7元 9.B由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求 得答案 设绿诗的底面圆的半径为，其高为h,由已知可得圈盘的半 径h, 图① 图② 由已知可得6πr=2xh,∴.h=3r 答案8 即碌磷的底面圆的半径与其高之比为1：3，故选B 12.解析把长方体含AC,的面作展开图，有三种情形如图所 10.D用一个完全相同的几何体把题中几何体补成 示：利用勾股定理可得AC,的长分别为√90，T4,/80. 一个闻柱，如图，则园柱的体积为开×2×5= D C 20π，故所求几何体的体积为10π 11,解析国台的轴戴面是下底长为12寸，上底长 为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水 (10+10×6+6)×9 80 线直径是20寸，所以降水量为3 π×14日 3(寸). 答案3 图① 图② 图③ 12.解析设国台的上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r 由母线长为10可知10=/(3r)2十(4r)2=5r, 由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为√T .r=2. 答案√74 故图台的上、下底半径和高分别为2,8,8. 13.解析如图，设正三棱锥的底面边长为，斜高为h',过点O 所以圆台的侧面积为π(2十8)×10=100元. 作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则SE⊥AB,SE=h'. 答案100x Sw=2S. 13.解析设圆柱的底面半径为r, 高为'=√3，圈雏的高为h, ∴.a-3h h √4-2 一豆，所以r=1, 'SO⊥OE ∴.SO+OE=SE 所以圆柱的表而积S=2xr2+2xh=2x(1+1×5)= 2(W3+1)元 ∴3+（号×）= 14.解析两圆台的上、下底而积对应相等，则两国台的体积之 比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比 ∴.h'=25,∴.a=3h'=6. 8--×6=9 为4-n--》-6 √9(-r)-(r-n)F84 S=25a=183. 答案6 ∴.S.=Sm+S。=183+93=273. 14.A由题意可知整糯为四个面均是直角三角形的四面体， 15.解析(1)图锥的母线长为√/6十2=2√10(cm), :长方体ABCD-A,B,C,D1的长，宽，高分别为1,1,2 ,.圈维的侧面积S=π×2X2/10=4/10(cm). ∴.CD=1,CC=2.CB=D,C=2+1F=5, (2)画出国锥的轴戴面如图所示： “整瑞的表面和S=S6r,十S凸十S6任，9十S△m 1×21×2+1×5+1X5-=2+5. 2 2 15,解析如图，连接EB,EC.四棱维EABCD的体积 设图柱的底面半径为rcm, 由题意，如吃-6。子 r=6-1 3 圆柱的侧面积S,=2xrx=2(-x2+6x) Vw=号X4X3=16. 3 :AB=2EF,EF∥AB,∴.SaEw=2S△ 2[(x-3)-9]· .当x=3时，國柱的侧面积取得最大值，且最大值为 V三=V三CE=V线E 6x cm. 1 学业评价（二十三）球的表面积和体积 1.B2.C3.C4.D5.86.4t97.√3 ·多面体的体积V=V。形Am十V生性nFE 8.解析圆柱形玻璃容器中水面上升了4cm,则知钢球的体积 =16+4=20. 学业评价（二十二）圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 V=元·3·4=36元，谈锅球的辛径为R,则号R=36R 1D2.A3A4.C5.18元6.217,1+2 =3cm.所以纲球的半径为3cm 2π 9.C由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： 56 6400 学业评价（二十四）平面 2xr2(1-c0sa)_1-c0sa_-6400+36000≈0.42 L.A2.B3.B4.ABC5.①A∈a.B∈a②aCa③D∈ 4πr 2 2 b,C∈a6.①②③7.(1)AB,(2)AC 42%.故选C. 8.证明延长AA,,BB1, 10.C因为这个三棱锥的三条侧棱两两 设AA,∩BB1=P, 互相垂直，所以此三枚锥可税为一个 又BB,C平面BC, 长方体的一个角（如图所示），而且此长 .PE平面BC, 方体的外接球就是三枚锥的外接球】 AAC平而AC1, 设三棱锥的外接球半径为r,则有(2r) .P∈平面AC1, =3十4十5=50，即4r2=50,它的外接球的表面积是S ∴P为平面BC,和平面AC,的公共点。 4xr2=50元. 又，平面BC∩平而AC=CC, 11.解析长方体的对角线即为球的直径， PECC,即AA,BB,CC延长后交于 ∴2R=4,∴R=2,.该球的体积V= 3×2232 4 点P 元. 9.ACD因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体的 答案32x 中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平 而，选项B正确.故选A,C,D. 12.解析设球的半径为R,则 10.B由题意知GHC平面ADC.因为GH,EF交于一，点P,所 Vaa=R·2R=2R,Vw=号R·2R=号 ,V= 以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平 而ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上. 3πR, 11,解析作图并观察可知既与AB共面，又与CC,共面的棱有 CD,BC,BB,AA,.CD,共5条 故VanVa-2R:号R:青R-3t1:2 答案5 12.解析 可以想象四赖维的5个顶，点，它们惑共确定7个 答案3：1：2 平面， 13.解析在底面正六边形ABCDEF中，连 答案7 接BE、AD交于(O,连接BE,则BE= 13.证明：AB∩a=P,CDna=P 2OE=2DE=√6， .AB∩CD=P. AB,CD可确定一个平面，设为A 在Rt△BEE中，BE,=√BE+E,E ,A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD, =23, ∴.A∈3，C∈3.B∈3.D∈A. 所以2R=2√3，则R=√3， ∴.ACC3,BDC3,平面a,3相交。 所以球的体积V=号R=43x, ,'AB∩a=P,AC∩a=Q.BD∩a=R, ,P,Q,R三点是平而a与平而3的公共点 球的表面积S=4πR2=12元 .P,Q,R都在a与B的交绕上，故P,Q,R三点共线. 14,解析①当圆雏顶点与底而在球心两侧时， 14.ABC在题图中，连接AC,AC(图略)， 如图所示， 则AC∩BD=O, 设球半径为，则球心到该圆锥底而的距离 文AC∩平面CBD=M. 三点C,M,O在平面C,BD与平面ACC,A,的交线上，即 是乞·于是圆维的底面丰径为？-（5)》 C,M,O三点共线， ,.A,B,C均正确，D不正确. 高为 V3r 15.证明设BB,与CC,C℃，与AA1,AA,与BB分别确定平 面aB.Y,AA与BB,的交点为P,因为P∈AA1,P∈BB1, 该锥的体积为××()×= AA,C3,BB,Ca,所以P∈a,P∈3，即P∈a门3. 2 2 文a∩3=CC1,所以P∈CC1 球的体积为号， 所以三条直线AA,BB,CC交于一点 学业评价（二十五）空间点、直线、平面之间的位置关系 1.D2.B3.D4.BD5.相交6.相交7.8 ,该圆维的体积和此球体积的比值为8 9 8.解析(1)c∥a.因为a∥a,所以a与B没有公共点，又cC3,所 32 以c与a无公共点，则c∥a. (2)a∥b.因为a3,所以a与3没有公共，点.又y∩a=a,Y∩3 ②同理，当圆锥项点与底面在球心同侧时，该圆维的体积和 =b.则aCa.bC3.且a.bCY.a.b没有公共，点，图此a∥b. 此球体权的比位为品 9.ABC由于直线a不平行于平而a,则a在a内或a与a相交， 故A错误：当aCa时，在平面a内存在与a平行的直线，故B 答案品或品 错误；因为a内的直线也可能与4平行成异面，故C错误：由 线面平行的定义知D正确. 15.解析如图所示， 10.C由图①可知，A,B错误：由图②可知，D错误. 过C作CO⊥AB于O 在半圓中可得∠BCA=90°，∠BAC=30°， AB=2R. ∴.AC=√3R,BC=R, c0-号r ① .S4=4πR 11.解析如图所示，与平面ABB,A平行的直线有6条：DE1, S=xX号RXR=是R. EE.ED,DD ,D E.DE. 2R, S元行生长=S来十Sg标，，新十Sg像m,创 -4R+受R+号R-R 答案6 故旋转所得几何体的表面积为山5R. 12.解析对于①，a与b可能异而，故①错误： 2 对于②，易判斯是正确的： 57