学业评价(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

14.解析由比例可知长方体的长，宽，高分别为4cm,1cm 2cm,四棱锥的高为1.6cm, 所以长方体的直观图的长，宽，高应分别为4cm,0.5cm 2 cm. D 0'A'B' 四棱锥的直观图的高为1.6cm. 所以直观图中建筑物的高为2十1.6=3.6(cm) 答案40.53.6 在△CB中易知CA'=3. 15,解析由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱 又在Rt△CD'A'中，CD=2CA'=√6 锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底而的侧棱长为2， 故原平面图形的面积 其直观图如图所示 S=号0B'×2CD'=2×6=26. 11.解析直观图如图所示，则A'=BC'=1, ∠BC'=45,故B到x'轴的距高为吗 B 学业评价（二十一）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 7.110 C LB2A3C4.C5.18d65号 8.解析(1)正棱维的高PO、斜高PE和底面边心距OE组成 答案 R1△POE. 2 图为OE=2(cm),∠OPE=30°， 12.解析 如图所示，正方形OABC的直观图O'A'BC‘的面积为 所以钟高PE=4(cm). 18√2 国此SW=之×BCX PEX4=号×4X4X4 =32(cm). B (2)由1)知高P0=,0E=2 tan 30 =2、√3(cm). 3 0D' 3 所以V=号子0=号××25=2(am SRm=OA'×C'D'.又S玉*指=OCXOA, 9.BD依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台， 所以小校锥与原枚维的底面边长之比为1：3，高之比为1：3， 物 所以小棱维与原棱锥的闲面积之比为1t9,体积之比为1t27, 即小棱雏与棱台的侧面积之比为1：8，体积之比为1：26. 又在R△0DC中0C=ECD,即CD-号aC. 10.C在如图所示的正四棱锥中，设底面边长为2a,根据侧棱 长和侧而与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求 站合平面图与直观图间的关系可知(OA=A',(OC=2OC', 高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误 *"=OX0A=20C -=2√2 如图，在正四棱锥SABCD中，O为正方形ABCD的中心， OC' SH⊥AB, 2 则H为AB的中点，连接SO,OH,AO, 又S=182..S#和=2V2×18V2=72. 则SO⊥平而ABCD,OH⊥AB, 答案72 则∠SHO为侧面与底面所成的锐二面角， 13.解析(1)画出六被锥P-ABCDEF的底而.如图①所示，在 正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴 MN所在的直线为y轴，两轴相交于O. D 0 B BN C 设底面边长为2：.正四授雏的侧面与底面所成的锐二面角 图① 图2 图3③ 为0， (2)画相应的x'轴、y轴和轴，三轴相交于)，使∠x'O'y 这个角接近30°，取0=30°，∴∠SH0=30°， =45°，∠x'0'g'=90°，在图②中，以)为中点，在x'轴上取 A'D=AD,以O为中点，在y轴上取MN=MN,以N .SH=283 剥0H=a,0s=5a 3a. 点为中点画B'C平行于x'轴，并且等于BC:再以M为中点 EF平行于x'轴，并且等于EF:连接A'B',CD',DE',F 在△SH中d+(2。)广=4v团，解得。-12，长度 A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D 而边长为24(m), E'F'. (3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在O:'轴上取，点P',使 正四技维的高为×12=45(m),侧面积为S=4×号 P'O'=PO. (4)成图.连接PA',PB,P'C,PD,PE,PF',并进行整理， 24×25×12=3845(m 3 便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F'.如 体积V=号×24×24X43=7685(m.故选C 图)所示， 3 55 ⑧ 11,解析如图①为枝长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表 而按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面 8解析1)由通意V。=号S动=名矿·h=g 3 积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22， (2)由已知有S:=r·12=x, 其面积为8. S,=π·22=4r 所以V=专5.+5+5·S7h -号x+4+2m)X3=7元 9.B由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求 得答案 设绿诗的底面圆的半径为，其高为h,由已知可得圈盘的半 径h, 图① 图② 由已知可得6πr=2xh,∴.h=3r 答案8 即碌磷的底面圆的半径与其高之比为1：3，故选B 12.解析把长方体含AC,的面作展开图，有三种情形如图所 10.D用一个完全相同的几何体把题中几何体补成 示：利用勾股定理可得AC,的长分别为√90，T4,/80. 一个闻柱，如图，则园柱的体积为开×2×5= D C 20π，故所求几何体的体积为10π 11,解析国台的轴戴面是下底长为12寸，上底长 为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水 (10+10×6+6)×9 80 线直径是20寸，所以降水量为3 π×14日 3(寸). 答案3 图① 图② 图③ 12.解析设国台的上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r 由母线长为10可知10=/(3r)2十(4r)2=5r, 由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为√T .r=2. 答案√74 故图台的上、下底半径和高分别为2,8,8. 13.解析如图，设正三棱锥的底面边长为，斜高为h',过点O 所以圆台的侧面积为π(2十8)×10=100元. 作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则SE⊥AB,SE=h'. 答案100x Sw=2S. 13.解析设圆柱的底面半径为r, 高为'=√3，圈雏的高为h, ∴.a-3h h √4-2 一豆，所以r=1, 'SO⊥OE ∴.SO+OE=SE 所以圆柱的表而积S=2xr2+2xh=2x(1+1×5)= 2(W3+1)元 ∴3+（号×）= 14.解析两圆台的上、下底而积对应相等，则两国台的体积之 比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比 ∴.h'=25,∴.a=3h'=6. 8--×6=9 为4-n--》-6 √9(-r)-(r-n)F84 S=25a=183. 答案6 ∴.S.=Sm+S。=183+93=273. 14.A由题意可知整糯为四个面均是直角三角形的四面体， 15.解析(1)图锥的母线长为√/6十2=2√10(cm), :长方体ABCD-A,B,C,D1的长，宽，高分别为1,1,2 ,.圈维的侧面积S=π×2X2/10=4/10(cm). ∴.CD=1,CC=2.CB=D,C=2+1F=5, (2)画出国锥的轴戴面如图所示： “整瑞的表面和S=S6r,十S凸十S6任，9十S△m 1×21×2+1×5+1X5-=2+5. 2 2 15,解析如图，连接EB,EC.四棱维EABCD的体积 设图柱的底面半径为rcm, 由题意，如吃-6。子 r=6-1 3 圆柱的侧面积S,=2xrx=2(-x2+6x) Vw=号X4X3=16. 3 :AB=2EF,EF∥AB,∴.SaEw=2S△ 2[(x-3)-9]· .当x=3时，國柱的侧面积取得最大值，且最大值为 V三=V三CE=V线E 6x cm. 1 学业评价（二十三）球的表面积和体积 1.B2.C3.C4.D5.86.4t97.√3 ·多面体的体积V=V。形Am十V生性nFE 8.解析圆柱形玻璃容器中水面上升了4cm,则知钢球的体积 =16+4=20. 学业评价（二十二）圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 V=元·3·4=36元，谈锅球的辛径为R,则号R=36R 1D2.A3A4.C5.18元6.217,1+2 =3cm.所以纲球的半径为3cm 2π 9.C由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： 56学业评价（二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 [必备知识·基础巩固] 8.已知正四棱锥P-ABCD的底 面为边长为4cm的正方形， 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为( 高与斜高的夹角为30°，如图 A.48√6 B.64 所示 C.16 D.96 (1)求正四棱锥的侧面积（单 2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面 位：cm2): 积是 (2)求正四棱锥的体积（单位：cm3). A.48(3+√3) B.48(3+2w3) C.24(6+√2) D.144 3.如图，ABCA'B'C'是体积为1的棱柱，则四棱锥 CAA'BB的体积是 ( B …C B B.1 [关键能力·综合提升] c号 9.(多选题)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得 4.如图为一个正六棱柱形状的 到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比 瓷器笔筒，高为18.7cm,底 为1：2，则关于上、下两几何体的说法正确的是 面边长为7cm(数据为笔筒 () 的外观数据)，用一层绒布将 A.侧面积之比为1：4 B.侧面积之比为1：8 其侧面包裹住，忽略绒布的 C.体积之比为1：27 D.体积之比为1：26 厚度，则至少需要绒布的面 10.中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太 积为 和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶 A.120 cm B.162.7cm 为单檐四角攒(cuán)尖顶，体现天圆地方的理 C.785.4cm D.1570.8cm 念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱 5.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正 锥.已知此正四棱锥的侧棱长为4√21m,侧面 方体，则所有小正方体的表面积为 与底面所成的锐二面角为0，这个角接近30°，若 6.已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则 取0=30°，则下列结论正确的是 它的表面积是 ,体积是 7.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4 的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的 体积为60，则该几何体的表面积为 中和殿 A.正四棱锥的底面边长为48m B.正四棱锥的高为4m C.正四棱锥的体积为768√5m D.正四棱锥的侧面积为96√5m2 35 O数学·必修第二册（配RJA版） 11.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼： 品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面 [学科素养·探索创新] 积是 : 14.中国古代数学著作《九章算术注》中记载：“斜解 12.长方体ABCD-A,B1CD1中，宽，长，高分别为 立方（即长方体）得二堑堵，斜解堑堵，其一为阳 3,4,5,现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行 马，其一为鳖需”.如图所示，自左向右依次为立 到C来获取食物，则其路程的最小值为 方、堑堵、阳马、鳖糯，若AB=BC=1,AA1=2, 13.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积： 则鳖臑的表面积为 的2倍，正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的 表面积 B 立方 堑堵 阳马 整隔 A.2+5 B.2+√3 C.1+ 2 D.1+3 15.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是 边长为4的正方形，EF∥AB,EF=2,EF上任 意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体 的体积 一 36