精品解析：2025年4月山东省济南实验初级中学中考一模数学试卷

九年级数学模拟试卷 2025年4月1日 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 《哪吒之魔童闹海》于2025年初春上映，迅速在国内和全球范围内引发观影热潮，截至2月21日00:00:00，累计258000000人观影．数据258000000可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．任何多边形的外角和是，内角和等于外角和的2倍则内角和是．n边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 故选：D． 5. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键． 作辅助线，延长交于点，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则以及合并同类项法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式不能合并，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则以及合并同类项法则的运用，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7. 春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率，用树状图法表示出所有情况及需要情况求解即可得到答案． 【详解】解：把四部影片分别记作A，B，C，D，画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小华和小明选择的影片相同的结果有种， ∴小华和小明选择的影片相同的概率为， 故选C． 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象结合已知条件判断即可． 【详解】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点， ∴，，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上， 当时，， 则在第四象限， ∴过点和点的直线一定不经过第一象限． 故选：A． 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 10. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【详解】解：如图，是抛物线的型点， ， ， ， ，， 通过的直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即， ， 当时，是抛物线的型点， 故选：C． 【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，两函数解析式组成方程组，有交点就是方程组有解． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将因式分解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先提公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知m，n是方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系．熟练掌握两根之和为，两根之积为，是解题的关键． 13. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，连接，先求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接． 由题意，， 又该量角器所在半圆的直径为， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 14. 如图，中，，，，点O为斜边AB上一点，以O为圆心，OB长为半径作圆，交AC于点C，若点D是AC的中点，连接BD，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=4，再由OB=OC，可得∠OBC=∠OCB，从而得到OC=OA，再由点D是AC的中点，可得OD∥BC，从而得到，进而得到阴影部分面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接OD， 在中，，，， ∴AB=2BC=4，∠OBC+∠A=90°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵∠OCB+∠ACO=90°， ∴∠A=∠ACO， ∴OC=OA， ∴AB为以O为圆心，OB长为半径的圆的直径，即O为AB的中点， ∴∠BOC=2∠A=60°，OB=2， ∵点D是AC的中点， ∴OD∥BC， ∴， ∴阴影部分面积等于． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，求扇形面积，圆周角定理，三角形中位线定理，根据题意得到阴影部分面积等于是解题的关键． 15. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）化简分式：，并求值（请从小字和小丽的对话中确定，的值）． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后算乘法，最后算加减法即可； （2）先化简，然后计算加法，再根据图可知，，最后将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由图可得，，， ∴原式． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，，0，1． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为． ∴该不等式组的整数解为：，0，1． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】详见解析． 【解析】 【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用． 19. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）该运动员能挂上篮网，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 【答案】（1）79；80；26.4； （2）乙班的竞赛成绩更加整齐，理由见解析； （3）43人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可； （2）根据方差越小成绩越整齐进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 将甲班成绩从低到高排列：69，72，72，78，79，79，85，86，89，91， 处在第5名和第6名的成绩分别为79，79， ∴甲班的中位数， 乙班的平均数， 乙班的方差， 故答案为：79；80；26.4； 【小问2详解】 乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下： ∵甲班的方差为51.8，乙班的方差为26.4，， ∴乙班的竞赛成绩更加整齐； 【小问3详解】 （人）， ∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为43人． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键． 22. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 【答案】任务一：种图书标价27元，种图书标价18元；任务二：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 任务一：设种图书标价元，则种图书标价元，根据题意列方程并求解即可； 任务二：设购进种图书本，则购进种图书本，求出的范围，设获得的总利润为元，根据“总利润（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量+（种图书的售价种图书的进价）种图书的数量”写出关于的关系式，根据该函数的增减性和的取值范围，确定当时的值最大，再求出此时的值即可． 【详解】解：任务一：设种图书标价元，则种图书标价元． 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 所以种图书标价27元，种图书标价18元， 答：种图书标价27元，种图书标价18元； 任务二：设购进种图书本，则购进种图书本． 依题意得，， ∴， 又∵， ∴，且为整数， 设获得总利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∵，且为整数， ∴当时，取最大值，此时购进种图书（本）， 答：购进种图书70本、种图书30本才能获得最大利润． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求的值及点的坐标； （2）若为等腰直角三角形，，求点的坐标； （3）过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】（1），点 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】`（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）分两种情形证明，则，即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入，则，即点， 将点的坐标代入得，，则， 则直线的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点； 【小问2详解】 解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， 则，， 则点； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或； 【小问3详解】 解：设点，点与点关于点对称，则点， 则，，， ∵，， ∴， 则， 即， 解得：（负值已舍去），即点， ∵，则为的中点， 由中点坐标公式得：点， 则． 如图，当点在第三象限时． 同理可得：， 即， 解得， 可得， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，一次函数的性质，中点坐标公式的运用等，综合性强，难度适中． 24. 如图（1），二次函数的图象经过点．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P． （1）①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段有交点，点B，C到直线l的距离分别为，求的最大值，并说明理由； （2）如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作于M，与相似，求点Q的坐标． （3）直线l与的夹角为（为锐角），若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）①；②，见解析 （2）Q （3）点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题； ②如图1中，作直线l于M，直线l于N．则，可得，推出，即可解决问题； （2）如图2中，延长交x轴于N．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出m的值，再求出直线的解析式，构建方程组确定点P坐标即可； （3）如图3中，设直线交y轴与D，作于E．设．首先求出直线的解析式，利用方程组确定解得P坐标，再根据对称性，求出直线关于直线的对称的直线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可； 【小问1详解】 ①∵二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：，解得：， ∴． ②如图1中， 作直线l于M，直线l于N． 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问2详解】 如图2中，延长交x轴于N． ∵， ∴． ∵与相似， 观察图象可知，只有， ∴，设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得或， ∴Q． 【小问3详解】 如图3中，设直线交y轴与D，作于E．设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（2）法可得直线的解析式为， 由，解得或， ∴． 作点D关于直线的对称点，过点作轴， ∵， ∴，， ∴， ∴E， ∵， ∴， 同法可得：直线的解析式为， 由解得或， ∴， 综上所述，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、垂线段最短、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标解决问题，属于中考压轴题． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形边长． 【答案】（1）见解析； （2）18； （3）． 【解析】 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【小问1详解】 证明：∵， 【小问2详解】 解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， 【小问3详解】 解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学模拟试卷 2025年4月1日 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 2. 《哪吒之魔童闹海》于2025年初春上映，迅速在国内和全球范围内引发观影热潮，截至2月21日00:00:00，累计258000000人观影．数据258000000可以用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将因式分解为______________． 12. 已知m，n是方程的两个根，则_____． 13. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______． 14. 如图，中，，，，点O为斜边AB上一点，以O为圆心，OB长为半径作圆，交AC于点C，若点D是AC的中点，连接BD，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三．解答题（共10小题，共90分） 16 （1）计算：； （2）化简分式：，并求值（请从小字和小丽的对话中确定，的值）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 19. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 21. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 72和79 51.8 乙班 80 80 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品总人数． 22. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材一 某书店决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材二 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材三 书店准备用不超过1680元购进，两种图书共100本，且种图书不少于70本，经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价． 任务二 如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求的值及点的坐标； （2）若为等腰直角三角形，，求点的坐标； （3）过点，直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 24. 如图（1），二次函数的图象经过点．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P． （1）①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段有交点，点B，C到直线l的距离分别为，求的最大值，并说明理由； （2）如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作于M，与相似，求点Q的坐标． （3）直线l与的夹角为（为锐角），若，直接写出点P的坐标． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$