第九讲 函数模型应用 讲义-2026届高考数学一轮复习

第九讲·函数模型应用 【知识导学】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【题型聚焦】 【题型一·利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 【例题1】★（2025高一上·湖北武汉·期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断. 【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B． 故选：B． 【题型二·根据函数实际应用求参数值】 【例题2】★★（24-25高一上·江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】根据指数函数模型计算即可. 【详解】由题意，第10代得到的种子数为 故第10代得到的种子数约为 故选：C. 【例题3】★★（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（1） 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 【例题4】★★（24-25高三上·四川成都·阶段练习）把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ） (取: ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】的物体经过后的温度为， 的物体经过后的温度为， 由题可得，， 即，解得， 所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过， 故选：B. 【例题5】★★★（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 【例题6】★★★（多选）（2025高三·雅礼中学·专题练习）（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：，，，，以下说法正确的是（    ） A．当x>1时，乙走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】取特值验证命题A；对数型函数的变化是先快后慢，当时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体判断C；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题D正确． 【详解】， 相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型． 当时，∴A不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢， 当时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合， 从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，B正确； 指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长， 最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D正确； 结合对数型和指数型函数的图象变化情况， 可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确． 故选: BCD 【例题7】★★★（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、指数函数模型的应用（2） 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确.故选：CD 【题型三·根据函数函数模型解决实际问题】 【例题8】★★（24-25高一上·重庆·阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【答案】(1)比较合适， (2)元 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可. 【详解】（1）由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把，，代入， 得，所以，所以， 显然，也满足函数的解析式， 所以； （2）， 当，时， ， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为， 当，时， ， 此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为， 综上所述：函数的最小值为元. 【例题9】★★（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析(2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，；（ii）年 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【详解】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得，所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲·函数模型应用 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★★（本题5分）（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．35h B．30h C．25h D．20h 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意，由求解. 【详解】由， 得．故选：D 2．★★（本题5分）（24-25高一下·河南·开学考试）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：kg）的次方成反比．若为两个睡眠中的恒温动物，的体重为2kg，脉搏率为210次．若的脉搏率是140次，则的体重为（   ） A．6kg B． C．8kg D．9kg 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意得到关系式，将已知数据代入得到的值，即可求出结果. 【详解】根据题意设， 当，则， 当时，则，所以， 故选：B． 3．★★（本题5分）（24-25高三下·北京·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得，即， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：C． 4．★★（本题5分）（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（   ）（精确到0.1，参考数据：） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2） 【分析】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果. 【详解】根据题意可知这次地震的震级为： ； 因此可知这次地震的震级为级. 故选：A 5．★★★（本题5分）（24-25高一上·北京丰台·期末）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（   ）（参考数据：） A．305 B．483 C．717 D．879 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意列出方程，再应用指对数转换计算求解. 【详解】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为， 所以当臭氧含量为初始含量的时，得， 计算得，化简得， 所以. 故选：C. 6．★★★（本题5分）（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 二、多选题（共24分） 7．★★★（本题6分）（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（   ）（参考数据：，，） A． B． C．3周后室内甲醛浓度为 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2）、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意列式求解得，，即可求出，即可判断选项ABC，令，利用指对互化解不等式即可判断选项D. 【详解】由题意可得， 解得，， 所以A正确，B错误； 所以， ，故C正确； 令，得， 两边取对数得， 即， 所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准， 至少需要放置的时间为6周，故D正确. 故选：ACD 8．★★★（本题6分）（24-25高一上·广东佛山·期末）某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（    ）参考数据：. A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D．预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】求出的值判断A；求出的值判断B；结合，求出判断C；结合，求出判断D. 【详解】对于A，， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD. 9．★★★（本题6分）（2025高三下·全国·专题练习）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】分式型函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当10时，，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当时， ， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以有最小值， 所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确. 故选：. 10．★★★（本题6分）（24-25高一上·广东揭阳·期末）某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据常见函数的增长规律判定即可. 【详解】，单调递增，故A， C错误；，单调递减，满足题意. 故选：AC. 三、填空题（共10分） 11．★★★（本题5分）（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式型函数模型的应用 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．★★★（本题5分）（2025高三·北京·专题练习）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出两个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟，的函数模型：①；②．根据所给的数据，为更好地反映该杯茶的温度，应选择函数模型 ，该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待 分钟. （参考数据：） 【答案】 ① 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】将分别代入两个函数模型，求出的值，看哪个值更符合原始数据即可；由题意可知，求解不等式即可. 【详解】将代入，得； 将代入，得． 故应选择函数模型①． 由，可得， 故该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟． 故答案为：①   2.5． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲·函数模型应用 【知识导学】 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【题型聚焦】 【题型一·利用函数图象刻画实际问题的变化过程】 【例题1】★（2025高一上·湖北武汉·期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【题型二·根据函数实际应用求参数值】 【例题2】★★（24-25高一上·江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（    ）参考数据：， A． B． C． D． 【例题3】★★（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【例题4】★★（24-25高三上·四川成都·阶段练习）把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ） (取: ) A． B． C． D． 【例题5】★★★（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题6】★★★（多选）（2025高三·雅礼中学·专题练习）（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：，，，，以下说法正确的是（    ） A．当x>1时，乙走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【例题7】★★★（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【题型三·根据函数函数模型解决实际问题】 【例题8】★★（24-25高一上·重庆·阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克的销售价格（单位:元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位:千克）关于第天的部分数据如下表所示: 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 (1)给出以下四种函数模型:①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式: (2)设该工艺品的日销售收入为函数（单位:元）:求函数的最小值. 【例题9】★★（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲·函数模型应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．★★（本题5分）（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）近年来，新能源汽车产销量的快速增长推动了动力电池产业的发展．已知蓄电池的容量C(单位：)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间满足的关系式为．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．35h B．30h C．25h D．20h 2．★★（本题5分）（24-25高一下·河南·开学考试）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：kg）的次方成反比．若为两个睡眠中的恒温动物，的体重为2kg，脉搏率为210次．若的脉搏率是140次，则的体重为（   ） A．6kg B． C．8kg D．9kg 3．★★（本题5分）（24-25高三下·北京·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 4．★★（本题5分）（2025·贵州六盘水·一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（   ）（精确到0.1，参考数据：） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 5．★★★（本题5分）（24-25高一上·北京丰台·期末）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（   ）（参考数据：） A．305 B．483 C．717 D．879 6．★★★（本题5分）（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 二、多选题（共24分） 7．★★★（本题6分）（2025高三·全国·专题练习）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑，二类建筑，二类建筑室内甲醛浓度小于等于为安全范围.已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为，4周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则（   ）（参考数据：，，） A． B． C．3周后室内甲醛浓度为 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 8．★★★（本题6分）（24-25高一上·广东佛山·期末）某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（    ）参考数据：. A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D．预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 9．★★★（本题6分）（2025高三下·全国·专题练习）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 10．（本题6分）（24-25高一上·广东揭阳·期末）某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（共10分） 11．★★★（本题5分）（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 12．★★★（本题5分）（2025高三·北京·专题练习）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出两个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟，的函数模型：①；②．根据所给的数据，为更好地反映该杯茶的温度，应选择函数模型 ，该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待 分钟. （参考数据：） 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$