第八讲 函数方程 讲义-2026届高考数学一轮复习

第八讲·函数方程 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共40分） 1．★（本题5分）（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知m为常数，函数，则“”是“有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．★（本题5分）（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 3．★★（本题5分）（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．★★（本题5分）（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．★★★（本题5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 6．★★★（本题5分）（24-25高三上·山西·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．★★★★（本题5分）（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．★★★★（本题5分）（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 二、多选题（共24分） 9．★★★（本题6分）（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 10．★★★（本题6分）（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 11．★★★（本题6分）（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，函数，，若，则下列成立的是（    ） A．， B． C． D． 12．★★★（本题6分）（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共10分） 13．★★★★（本题5分）（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是 . 14．★★★★★（本题5分）（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 . 四、解答题（共15分） 15．★★★★（本题15分）（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数． (1)求的定义域； (2)求证：当时，是定义域为的偶函数； (3)若有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲·函数方程 【知识导学】 1.函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3.函数零点注意事项 ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实根. ②由函数(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出，如图所示，所以是在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. ③周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【题型聚焦】 【题型一·函数零点判断】 【例题1】★（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】根据零点判断函数值的符号、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大.综上所得，函数的零点所在的大致区间是，故选：A 【例题2】★★（24-25高三上·福建福州·期末）函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用 【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，可以将函数的零点问题转化为方程等于0的根的个数问题，进一步转化为函数图象的交点个数问题.根据题意作出函数和函数的图象，观察图象即可得出结论. 【详解】将函数的零点个数问题转化为函数和函数的图象交点个数问题. 如图，作出函数和函数的图象，由图可得函数和函数的图象有5个交点. ∴函数的零点有5个. 故选：C. 【例题3】★★★（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）为函数的两个零点，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线与函数的图象有两个公共点，结合函数的性质可得，再借助对勾函数性质及基本不等式逐项分析得解. 【详解】函数的定义域为， 由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，其横坐标为， 而当时，递减，当时，递增，于是， 对于A，由，得，即，A正确； 对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确； 对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【题型二·求零点的和】 【例题4】★★★（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求零点的和、正切函数对称性的应用、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求函数的零点 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】由得，即， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点， 故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为． 故选：B． 【例题5】★★★（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求零点的和、判断指数型复合函数的单调性、函数对称性的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 【例题6】★★★（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则此函数的所有零点的和为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】作出函数与图象的图象，它们交点横坐标即为的零点，由图象及对称性可得结论． 【详解】由题意的零点个数，即为函数与图象交点个数， 函数的图象关于直线对称，函数是周期为4的周期函数，且图象也关于直线对称， 作出它们的图象，如图， 函数的最大值是2，，因此由图象可得它们在直线右侧有三个交点，总共6个交点， 所以的所有零点的和为， 故选：D． 【例题7】★★★（24-25高三上·湖南永州）设为方程的解，设为方程的解，则 ． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求零点的和 【分析】整理可得，，可知、与直线的交点关于直线对称，即可得结果. 【详解】由，，可得，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，且直线也关于直线对称， 可知、与直线的交点关于直线对称， 由图象可知：、与直线的交点均存在且唯一， 又因为与的交点为，所以. 故答案为：0. 【题型三·比较零点大小关系】 【例题8】★★（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 【题型四·根据零点求参数范围】 【例题9】★★★（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A．0 B．e C． D．1 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】设零点为，则在直线上，根据的几何意义将问题转化为点到直线的距离问题，利用导数求解可得. 【详解】设零点为，则，在直线上， 的几何意义为点到原点距离的平方， 其最小值为原点到直线的距离的平方，， 设且，， 所以在单调递减，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后利用导数求解即可. 【例题10】★★★（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 【例题11】★★★★（2025·高三上·长郡中学·阶段练习）已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，按分类，结合函数单调性、极值讨论函数的零点是否符合题设要求即可得解. 【详解】显然，否则函数有两个零点，不符合题意， 函数，求导得， 当时，由，得或，函数在上单调递增， ，则函数在上有一个零点，不符合题意； 当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 而，则在上有唯一零点， 因为有且只有一个零点，且，则当且仅当，于是， 所以实数的取值范围是.故选：A 【例题12】★★★★（2024高三·全国·专题练习）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可. 【详解】因为，所以在R上为增函数， 又，所以有唯一零点为1， 令的零点为，依题意知，即， 即函数在上有零点， 令，则在上有解，即在上有解， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以， 故答案为：. 【例题13】★★★★（24-25高三·长沙市雅礼中学·阶段检测）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】当时，，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，由，，进而利用单调性可得，进而可得. 【详解】由题意，可知： ①当时，，故为的1个零点． ②当时，由题意，可得， 即与有4个交点， 当时，， 设，，则，令得， 则函数在单调递增，在上单调递减，又， 如图 则必有，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：由，故时，函数有4个零点，转化为与有4个交点，根据分段函数的特点，分别考虑和与的交点个数，考虑到两个函数的单调性和最值，进而可得. 【例题14】★★★★（23-24高三上·江苏连云港·期末）设为实数，函数和. (1)若函数在区间上存在零点，求的取值范围； (2)设，若存在，使得，则称和“零点贴近”.当时，函数与“零点贴近”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】（1）由得，再令并求值域，进而得到的取值范围； （2）由得，再由得，进而转化为在上有实数根，从而利用二次函数的零点分步情况得到的取值范围. 【详解】（1）令，即，得. 令，易知在上单调递减， ，， 所以，在上的值域为， 所以的取值范围. （2）当时，，易知函数在上单调递增， 令，易知，所以. 由得，，解得，即. 要使函数与“零点贴近”，则函数在上有零点， 对于， ，所以有两个零点， 而，所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 【题型五·嵌套函数零点问题】 【例题15】★★★（2025·贵州毕节·一模）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由，可得或，作出函数的图象，结合图象求解即可． 【详解】令， 则有或， 作出函数的图象，如图所示： 因为直线与的图象有3个交点， 直线与的图象有4个交点， 所以原方程有7个解．故选：C． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【例题16】★★★★（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【详解】由题意可知：为单调函数， 当时，单调递减;故当时，也是单调递减，故 要确保在R上单调递减，则，解得：， 所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为 当时，，又在上单调递减，，所以，即在上的值域为 令，则或3，即或， 要使得有4个不同的实数解，则，解得：综上，实数a的取值范围为：，即故选：C. 【例题17】★★★★★（多选）（2025高三·长沙市一中·阶段检测）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个不相等的实数根 D．若，则有5个不相等的实数根 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】对A：直接计算即可；对B：先求得或，再求值；对CD：先由求得，，再依次求的解． 【详解】对A：，，故A正确； 对B：若，则或， 当时，或，当时，由图可知或，故B错误； 对C：若，由图可知则或， 当时，由知只有一解，当时，由图可知有两解， 故有3个不相等的实数根，故C正确； 对D：若，，由图知或或，当时，只有一根， 当时，只有两根， 当时，只有两根，∴共有5根，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求解个数方法：先得，再进一步由分别求出的个数，所有x的个数总和为方程解个数． 【题型六·分段函数零点与等值线】 【例题18】★★★★（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即 所以．故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 【例题19】★★★★（多选）（2025·高三上·湖北·阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（    ） A． B． C． D．函数有3个零点 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】作出的图象，利用二次函数的性质与对数函数的性质分析的关系，结合零点的定义与图象的特征，从而得解. 【详解】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点， 在平面直角坐标系中，作出与的大致图象，如图， 由图象可知：，故A错误； 当时，令，解得，， 当时，令，解得，， ，，， ，则，所以，故B正确； 关于对称，， 又，， 当且仅当时，等号成立，显然，故等号不成立， 又，则，，故C正确； 令，则由，得， 结合图象可知，或， 当时，结合图象可知，此时没有零点； 当时，结图象可知，此时有3个零点； 综上，有3个零点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲·函数方程 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共40分） 1．★（本题5分）（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知m为常数，函数，则“”是“有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】利用函数零点的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】当时，恒成立，即函数没有零点， 反之，有零点，即有解，因此，则， 所以“”是“有零点”的必要不充分条件. 故：B 2．★（本题5分）（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数、零点存在性定理的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理求解即得. 【详解】函数，都是上的增函数， 则函数是上的增函数， 而，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：C. 3．★★（本题5分）（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用、正切函数图象的应用 【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义，结合函数图象交点个数得解. 【详解】由，得， 在同一坐标系内作出，，的图象， 由图知，两函数的图象的交点有4个， 所以当时，函数的零点个数为4. 故选：A 4．★★（本题5分）（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点存在性定理即可判断，再直接求出即可比较大小. 【详解】因为在上均单调递增， 则在上单调递增，且，， 则，则， 又因为，则，，则， 则. 故选：C. 5．★★★（本题5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、求零点的和、函数对称性的应用、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解. 【详解】，作出和在区间上的图象如图， 可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为． 同时，，， 可得，故的图象关于直线对称， 因此，故所有零点之和为， 故选：B． 6．★★★（本题5分）（24-25高三上·山西·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、判断零点所在的区间、判断指数型复合函数的单调性 【分析】分别根据指数函数，对数函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而得出判断. 【详解】函数在上单调递增， ，，故的零点， 由在上单调递增， 得，， 因此的零点，则. 故选:D. 7．★★★★（本题5分）（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、指数函数图像应用 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】的图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 8．★★★★（本题5分）（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【详解】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到，构造函数并根据单调性得到. 二、多选题（共24分） 9．★★★（本题6分）（21-22高一·全国·单元测试）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、比较零点的大小关系 【分析】分别将三个函数的零点问题转化成图象的交点问题，在同一坐标系中作出图象，数形结合可得答案. 【详解】函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 在同一直角坐标系内作出函数，， 与的图象如图所示： 由图可知：，，，所以，故选BCD 故选：BCD 10．★★★（本题6分）（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、求零点的和、对数的运算性质的应用、比较零点的大小关系 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 11．★★★（本题6分）（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，函数，，若，则下列成立的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、比较零点的大小关系、求零点的和 【分析】根据题意，将问题转化为函数的图像与函数和，的图像交点问题，结合图像，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】    设分别是，的零点，则是方程的解， 是方程的解，所以分别是函数的图像与函数和 ，，的图像交点的横坐标，设交点分别为，， 由可知，，故A正确； 又因为和以及的图像均关于对称，所以两交点一定 关于对称，且关于直线的对称点坐标为，所以， 即，故B正确； 因为，当且仅当时，即时，等号成立，且，所以，故C错误； 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 且，所以，即，故D正确； 故选：ABD 12．★★★（本题6分）（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、比较零点的大小关系 【分析】分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出，利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点， 且这两个交点的横坐标分别为、，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 设，则，由，可得，解得， 由，可得，解得，所以，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，取，则，，D错. 故选：ABC. 三、填空题（共10分） 13．★★★★（本题5分）（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，数形结合求出方程有3个解时的范围，再将目标式用表示并求出范围. 【详解】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点， 则当时，直线与射线有一个交点， 当时，直线与函数有2个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图， 令直线与图象相切的切点为，由求导得：， 则，解得，即直线与图象相切时，， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 由，解得，由，得， 即，因此，函数在上递减， 当时，，所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数求出直线与图象相切的值，结合图形求出方程有3个解的范围是求解的关键. 14．★★★★★（本题5分）（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】 由题可得函数图象， 当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解， 设为，则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，显然， 则此时应满足，即，解得， 有3个解，有3个解，设即， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（共15分） 15．★★★★（本题15分）（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数． (1)求的定义域； (2)求证：当时，是定义域为的偶函数； (3)若有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)． 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，再分类求解得定义域. （2）把代入，利用偶函数的定义推理得证. （3）利用偶函数的性质，将问题转化为在时有且仅有2个零点，再转化为方程在上有2个解求解. 【详解】（1）函数有意义，则， 当，即时，恒成立，函数的定义域是； 当，即或时，由，得或， 函数的定义域是， 所以当时，函数的定义域是； 当或时，函数的定义域是. （2）当时，由（1）知的定义域为，又的定义域为， 则函数的定义域为，而，因此， 所以函数是定义域为的偶函数． （3）对一切，当且仅当，即时取等号， 对函数的定义域内任意，使得在的定义域内， 而，则在的定义域内，在函数的定义域内， 且有，因此函数是偶函数，由有且仅有4个零点， 得在时有且仅有2个零点，又函数在上单调递增， 令函数，由，得，则方程在上有2个解， 即方程在上有2个解，则，解得， 所以实数的取值范围为. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲·函数方程 【知识导学】 1.函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3.函数零点注意事项 ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程的实根. ②由函数(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出，如图所示，所以是在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. ③周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【题型聚焦】 【题型一·函数零点判断】 【例题1】★（24-25高一上·北京顺义·期末）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【例题2】★★（24-25高三上·福建福州·期末）函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题3】★★★（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）为函数的两个零点，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【题型二·求零点的和】 【例题4】★★★（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 【例题5】★★★（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【例题6】★★★（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则此函数的所有零点的和为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【例题7】★★★（24-25高三上·湖南永州）设为方程的解，设为方程的解，则 ． 【题型三·比较零点大小关系】 【例题8】★★（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【题型四·根据零点求参数范围】 【例题9】★★★（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A．0 B．e C． D．1 【例题10】★★★（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题11】★★★★（2025·高三上·长郡中学·阶段练习）已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题12】★★★★（2024高三·全国·专题练习）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 . 【例题13】★★★★（24-25高三·长沙市雅礼中学·阶段检测）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【例题14】★★★★（23-24高三上·江苏连云港·期末）设为实数，函数和. (1)若函数在区间上存在零点，求的取值范围； (2)设，若存在，使得，则称和“零点贴近”.当时，函数与“零点贴近”，求的取值范围. 【题型五·嵌套函数零点问题】 【例题15】★★★（2025·贵州毕节·一模）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题16】★★★★（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题17】★★★★★（多选）（2025高三·长沙市一中·阶段检测）已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有3个不相等的实数根 D．若，则有5个不相等的实数根 【题型六·分段函数零点与等值线】 【例题18】★★★★（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题19】★★★★（多选）（2025·高三上·湖北·阶段练习）函数，若关于x的方程有4个不同的实数解，它们从小到大依次为，，，则（    ） A． B． C． D．函数有3个零点 1 学科网（北京）股份有限公司 $$