精品解析：2025年山东省济南市东南片区中考一模数学试题

2025年3月九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ） A B. C. D. 6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 9. 如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接，再以点为圆心，以的长为半径作弧交射线于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点等和点在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为； ③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点： ④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 12. 化简的结果为_______． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 15. 如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 18. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 20. 如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 21. 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 乙试验田穗长的频数分布直方图 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 008 14 0.28 11 0.22 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4 ．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 5.8 5.8 0.454 乙 5924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为___________，的值为___________； （2）表2中的值为___________； （3）在此次考查中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是___________；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是___________； （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？ 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； （3）如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 25. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月九年级质量检测 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， 在这四个数中，最小数是， 故选：C． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：A． 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图． 根据俯视图的定义即可得到答案． 【详解】解：俯视图是： ， 故选：D． 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，补角的定义，由，则，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： 5. 有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴可得：，且，进而由有理数的加减运算法则可对各选项进行判断． 【详解】由数轴知：，，则，， 、B、D选项正确，C选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较、有理数的加减运算法则，根据有理数加减法则确定出算式的符号是解题的关键． 6. 2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图得到所有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别为， 画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种， 两位同学选择同一个展厅的概率为， 故选：B． 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，在中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接，再以点为圆心，以的长为半径作弧交射线于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】证明出，求出，再由三线合一求出，即可求解． 【详解】解：由题意得，直线垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为； ③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点： ④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题． 根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可． 【详解】解：①设点， ， 故①正确； ②设， ， ， ， ， 故②正确； ③设， ， ， 点等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， 点的等和点一定不在直线上， 故③错误； ④设， ， ， 代入得， 即， 对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点； 故④正确；  故选：B ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成， 击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 12. 化简的结果为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为：． 14. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，延长与的延长线交于点，证明，，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 17. 解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 先解每一个不等式，再确定不等式组的解集，得到不等式组的所有整数解，计算即可． 【详解】解：， 解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 所有整数解得和为． 18. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，先由菱形的性质得，结合于点E，于点F，证明，故，即可作答． 【详解】证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， 即． 19. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 20. 如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21. 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 乙试验田穗长的频数分布直方图 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 0.08 14 0.28 11 0.22 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4 ．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5924 5.8 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为___________，的值为___________； （2）表2中的值为___________； （3）在此次考查中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是___________；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是___________； （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？ 【答案】（1）10，0.18 （2）6.15 （3）甲，甲 （4）3 【解析】 【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值； （2）根据方差的意义进行计算； （3）根据方差的意义进行判断稳即可； （4）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 ∵这一组对应的频率为， ∴， ∵这一组的频数为， ∴频率为， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数， 故中位数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲， 因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲． 故答案为：甲，甲； 【小问4详解】 甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个）， 答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为3万个． 【点睛】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键． 22. 某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． （1）求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】（1）品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 【小问2详解】 解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离； （3）如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式； （2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求； （3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标． 【小问1详解】 解：点在一次函数上， ， 一次函数的表达式为； 点在直线上， ， ． ， 把代入得， 解得：， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：法1：作轴交直线于点， ， ， ， ， ． 法2：设直线平移前后与轴分别交于两点， 连接， 与同底等高， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于， 由旋转的性质可知：， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 点， 为等腰直角三角形． 设，则， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解． 24. 抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； （3）如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴，垂足为，交于点，证明，得到，求出，进而求出点的坐标，进而求出的长即可； （3）求出直线的解析式，设，平行求出直线的解析式，进而得到点的坐标，中点坐标公式求出点坐标，代入直线的解析式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线过 解得： 抛物线解析式为： 【小问2详解】 抛物线与轴交于， 令，则：， ， ∵， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把代入得：， 解析式为：， 如图，过点作轴，垂足为，交于点， ， ∴， ∵， ， 又 ， ， 又， ， 设，则 解得： ； 【小问3详解】 同（2）法可得：直线解析式为： 由（2）知解析式为： 设 设解析式为：，把代入，得：， 解析式为： 中点为 将代入 得： 解得：（舍）， ． 25. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$