精品解析：天津市滨海新区大港油田第三中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

油田三中2024—2025学年度第二学期高二年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题） 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合解析式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 【答案】D 【解析】 【分析】根据两本书的各类分类讨论，由分类计数原理和分步计数原理计算． 【详解】由题意不同选法有． 故选：D． 4. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得. 【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法. 故选：C 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得： A中，，所以不正确； B中，，所以不正确； C中，，所以是正确的； D中，，所以不正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 7. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C. 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】观察导函数 的图象，根据函数的单调性与导数之间的关系，判断函数单调性，继而判断函数的极值点，即可得答案. 【详解】观察的图象可知， 当时，导函数的图象先负后正，故函数先递减，后递增，故A错误； 当 时，导函数先正后负，函数先增后减，故B错误 当 时，函数递增，时 ，函数单调减， 故得到函数在处取得极大值，C正确； 当 时，函数递减，时 ，函数单调增， 故得到函数在处取得极大=效值，故D错误 故选：C 8. 直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用导数法研究函数的单调性与极值，结合数形结合方法即可求解 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 由，解得或， 由，解得， 所以在上递增，在递减，在递增， 当时，取得极大值且为， 当时，取得极小值且为， 因为直线与函数的图象有三个不同的交点， 所以实数的取值范围为， 故选：A 9. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可. 【详解】解：，解得， 再根据二次函数性质得在上， 在上，所以函数在单调递增， 在单调递减，所以， ，， 所以. 所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题. 10. 若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，则不同的分法的数量为（ ） A. 540 B. 90 C. 10 D. 450 【答案】A 【解析】 【分析】先将书分成三组，再将学生排列好，将每组的书分别发放给学生. 【详解】根据题意，每位同学至少分一本书， 则分成三组， 若分成三组，有种分组方法， 若分成三组，有种分组方法， 若分成三组，有种分组方法， 从而分组方法有种； 将分好的三组全排列，对应3名学生，有种情况. 根据分步乘法计数原理，故共有种不同的分法. 故选：A. 11. 若函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得在上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A 12. 记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项． 【详解】不妨设，因为，设，则, 所以在单调递增，所以，即，从而． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 计算：______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，由组合数和排列数公式计算可得答案． 【详解】根据题意，4×3＝21﹣12＝9， 故答案为：9 14. 已知函数在处的切线方程为，求_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解． 【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为， 所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上， 所以． . 故答案为：5 15. 若，则实数的值为_____． 【答案】2或6 【解析】 【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解． 【详解】由题意得，或，解得或， 故答案为：2或6． 16. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种 【答案】243 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解； 【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有， 故答案为：243 17. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：1． 18. 用数字0，1，2，3，5组成_____个没有重复数字的五位偶数． 【答案】42 【解析】 【分析】应用分类计数原理，当个位数字为0时五位数共有个，当个位数字为2时五位数共有个，进而得到答案． 【详解】当个位数字为0时，这样的五位数共有：个， 当个位数字为2时，这样的五位数共有：个， 所以组成没有重复数字的五位偶数共有个． 故答案为：42 19. 已知函数在处取得极值，且极值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得或，代入，利用导数求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 函数在处取得极值，且极值为0， 可得，解得或， 当时，，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极值，符合题意． 综上所述，，所以． 故答案为：. 20. 在上的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数求出函数在区间上的最值，即可得. 【详解】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 21. 回答下列问题，写出计算过程，用数字作答 （1）有4名男生、3名女生，全体排成一排，女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （2）在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，甲、乙、丙三人不能参加，有多少种不同的选法？ （3）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 【答案】（1）1440种； （2）126种； （3）18种. 【解析】 【分析】（1）先排男生，再应用插空法排女生，应用排列数求不同的排法数； （2）应用组合数求9人中抽取5个人的选法即可得； （3）从(物理，化学，生物)、(政治，历史，地理)中的一组选两科，另一组选一科，应用组合数求选法数. 【小问1详解】 首先将4个男生排成一排有种，再把3个女生插入其中的5个空中有， 故共有种； 【小问2详解】 由题意，只需从9人中抽取5个人参加市级培训有种； 【小问3详解】 由题意，物理，化学，生物中选两科，政治，历史，地理中选一科，则种， 同理物理，化学，生物中选一科，政治，历史，地理中选两科，也有9种， 所以考生共有18种选考方法. 22. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由联立解方程组可得的值； （2）由（1）可得的表达式，求出的零点，判断在导函数零点左右的正负即可确定的单调区间和极值. 【小问1详解】 对函数求导得，故，解得， 由题意可知，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可知函数，定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 23. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在处的切线方程 （2）当时，，证明： （3）当时，试讨论的单调性； 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数几何意义求切线方程； （2）问题化为证明恒成立，构造函数并利用导数证明恒成立即可； （3）对函数求导，讨论、、研究的单调性. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，故在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 所以，要证，即证恒成立， 令且，则， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 所以，即，故，得证. 【小问3详解】 由题设且， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增， 当，则恒成立，即在上单调递增， 当， 时，，即在上单调递增， 时，，即在上单调递减， 时，，即在上单调递增. 24. 已知函数在处取得极值0． （1）求实数，的值； （2）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； （3）设函数，若，总有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据极值与极值点的定义列方程组即可求解； （2）分离参数，将方程解问题转化为直线与曲线交点问题即可求解； （3）由题意可知，利用导数求最小值即可求解. 【小问1详解】 ， 由题意可知：，解得. 【小问2详解】 ， 由得， 由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点． ， 时，，时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数， ， 又， ∴． 【小问3详解】 由总有成立可知： 在区间上， 由（2）知在区间上，， ∵， 时，，时，， ∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数， ∴，所以， ∴ ． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 油田三中2024—2025学年度第二学期高二年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷（选择题） 一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书4本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ） A. 21种 B. 252种 C. 143种 D. 127种 4. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在 上 是增函数 B. 在 上是减函数 C 当 时，取极大值 D. 当 时，取极大值 8. 直线与函数的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ） A. B. C. D. 10. 若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，则不同的分法的数量为（ ） A. 540 B. 90 C. 10 D. 450 11. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 记定义域为函数的导函数为，且对任意的都有，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 计算：______． 14. 已知函数在处的切线方程为，求_______． 15. 若，则实数的值为_____． 16. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种 17. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 18. 用数字0，1，2，3，5组成_____个没有重复数字的五位偶数． 19. 已知函数在处取得极值，且极值为0，则______． 20. 在上的最小值为，最大值为，则_____. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 21 回答下列问题，写出计算过程，用数字作答 （1）有4名男生、3名女生，全体排成一排，女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （2）在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，甲、乙、丙三人不能参加，有多少种不同的选法？ （3）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 22. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 23. 已知函数，其中常数. （1）当时，求在处的切线方程 （2）当时，，证明： （3）当时，试讨论的单调性； 24. 已知函数在处取得极值0． （1）求实数，的值； （2）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； （3）设函数，若，总有成立，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$