精品解析：2025年山东省枣庄市山亭区学业水平模拟考试九年级数学试卷.

2025年初中学业水平模拟考试 数学（A卷） 2025.03 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号，考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四种液体的沸点如下表： 液体 液态氧 液态氮 酒精 水 沸点 78 100 其中沸点最低的液体为（ ） A. 液态氧 B. 液态氮 C. 酒精 D. 水 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？ A. 12 B. 6 C. 5 D. 2 4. 机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 10. 有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：________． 12. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____． 13. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 14. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则＝______． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分，解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 18. 已知，求代数式的值． 19. 3月5日是学雷锋纪念日，某校为弘扬雷锋精神，举办了“讲雷锋的故事”比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀、下面是八年级一班、二班学生成绩分布折线统计图和成绩统计分析表： 学生成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 合格率 优秀率 一班 二班 （1）求出学生成绩统计表中的值； （2）小丽同学说：“这次比赛我得了7分，在我们班里排名属于中游略上！”请你判断小丽是哪个班级的同学，并说明理由； （3）上面两个班级，你认为哪个班级的成绩好一些？并指明你的依据． 20. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空： ， ； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，） 21. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 22. 如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试 数学（A卷） 2025.03 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号，考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四种液体的沸点如下表： 液体 液态氧 液态氮 酒精 水 沸点 78 100 其中沸点最低的液体为（ ） A. 液态氧 B. 液态氮 C. 酒精 D. 水 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义进行比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴沸点最低的液体为液态氮， 故选：B． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看，得出结论即可． 【详解】解：该几何体的左视图是一个矩形． 故选：D． 3. 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（ ）种不同的可能？ A. 12 B. 6 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可求解． 【详解】解：∵第一道门有A，B，C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有D、E两个出口， ∴出第二道门有两种选择， ∴松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为：、、、、、． 故选：B． 4. 机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则． 分母相同，分母不变，分子相加减，再约分即可． 【详解】解：． 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，解题的关键是熟练这些法则． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 8. 如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 10. 有下列四个命题：①若，则；②若，则；③命题“若，则”的逆命题；④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和．其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，利用直接开平方法求解；对于②，解分式方程中，最后需要检验增根；对于③，先写出逆命题，再判断；对于④，根据一元二次方程方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：①若，则，故①错误，是假命题，不符合题意； ②， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解， 故②错误，是假命题，不符合题意； ③命题“若，则”的逆命题为“若，则”这是错误的，由于时，不成立，故③错误，是假命题，不符合题意； ④若一元二次方程的两根是1和2，则，， ∴ ∴方程化为， 即 ， ∴， ∴④若一元二次方程的两根是1和2，则方程的两根是和正确，是真命题，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，真假命题和逆命题，解分式方程，不等式的性质，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．根据3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和等于大的矩形面积即可求解． 【详解】解： 图中3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和为： ， 大矩形的面积为：， 根据面积相等有：． 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，利用垂直平分线的性质得出的值，OB＝OD，由矩形的性质、勾股定理得出，的值，进而得出，的值，根据全等三角形的判定（角边角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：如图，连接BM． 由作图可知MN垂直平分线段BD， ∴BM＝DM＝5． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD∥AB． ∴BC＝＝＝4． ∴BD＝＝＝． ∴OB＝OD＝． ∵∠MOD＝90°， ∴OM＝＝＝． ∵CD∥AB， ∴∠MDO＝∠NBO． 在△MDO和△NBO中， ∴△MDO≌△BNO（ASA）． ∴OM＝ON＝． ∴MN＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，作图—基本作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等的理解与运用能力．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两三角形全等；两全等三角形的对应边相等，对应角相等．在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键． 13. 如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则___________． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 14. 如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D； ∵四边形是正方形， ∴． ∵与x轴负半轴的夹角为， ∴ ∵正方形的边长为6， ∴； 中，，， 则； 故， 代入抛物线的解析式中，得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 16. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意，依次得出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知 ， ， ， ， …， 所以． 当时，． 当时，， 所以． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分，解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，熟练掌握各种计算公式，准确求不等式组的解集是解题的关键． （1）利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数整数幂，绝对值的意义计算即可； （2）准确求解每一个不等式的解集后，确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把变形后整体代入即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 19. 3月5日是学雷锋纪念日，某校为弘扬雷锋精神，举办了“讲雷锋的故事”比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀、下面是八年级一班、二班学生成绩分布折线统计图和成绩统计分析表： 学生成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 合格率 优秀率 一班 二班 （1）求出学生成绩统计表中的值； （2）小丽同学说：“这次比赛我得了7分，在我们班里排名属于中游略上！”请你判断小丽是哪个班级的同学，并说明理由； （3）上面两个班级，你认为哪个班级的成绩好一些？并指明你的依据． 【答案】（1），； （2） 解：小丽得7分，高于一班成绩的中位数6分，低于二班成绩的中位数7.5分， 又因为小丽的成绩在班里排名属于中游略上，所以可以判断小丽是八年一班的学生． （3） 解：答案不唯一： ①二班的平均分和中位数高于一班，即二班的成绩好一些； ②一班的合格率和优秀率高于二班，即一班的成绩比二班的成绩成绩好一些， ∴一班的成绩比二班的成绩成绩好一些，是因为一班的合格率和优秀率高于二班， 二班的成绩比一班的成绩成绩好一些，是因为二班的平均分和中位数高于一班， 故答案不唯一． 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数，熟练掌握加权平均数、中位数的定义是解题的关键． （1）由折线图中数据，根据中位数和加权平均数的定义求解可得； （2）根据中位数的意义求解可得； （3）从平均数、中位数、合格率以及优秀率四个方面进行分析，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将一班学生成绩从小到大排列如下：．排在第5位和第6位的数字都是6，所以（分） （分） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处（点G、A、C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内． （1）填空： ， ； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，） 【答案】（1）30，61 （2）3米 （3）米 【解析】 【分析】（1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过D向作垂线，利用锐角三角函数进行求解； （3）设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 解：如图所示，作、 故答案为：30，61； 【小问2详解】 在中，， ， 答：点D到AG的距离为3米． 故答案为：3米； 【小问3详解】 由图可知，四边形是矩形， 设，则， 在中，， ； 在中， ； 在中，， ， 解得 答：大树的高度约为米． 故答案为：米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． 21. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】（1）①1； ②图象如下图所示，即为所求． （2）增大 （3） 不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【小问1详解】 解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②略 【小问2详解】 解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． 【小问3详解】 略 22. 如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 从而， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用平角定义求出，即可解答； （2）连接，根据已知可得，从而可得，然后证明是等边三角形，可得，根据，可得，从而可得，即可得是等边三角形，最后利用的面积减去扇形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知：， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∵，E是的中点， ∴， ∴． ∴． 由得是等边三角形，从而． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $