精品解析：四川省成都市郫都区第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

郫都四中2024——2025学年高一下学期3月月考 数学试卷 （总分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，先将答题卡中的相关信息填写清楚. 2.答案填写在答题卡的指定位置上.考试结束后，请将答题卡上交，试卷自行保存. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若、是单位向量，则 C. D. 若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 2. （    ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角的终边过点，则=（ ） A B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只要把图象上的所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 在中，已知，那么一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为是（ ） A. B. C. D. 10. 下图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. 是的一个对称中心 D. 的单调递增区间为（） 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 化简：___________． 13. 若函数（）的图象关于y轴对称函数，则的值为___________. 14. 已知定义在上函数，则不等式的解集是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知． （1）求的值； （2）求值． 17. 已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数单调递减区间； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，取的中点M，记. （1）用角表示线段与； （2）写出矩形的面积S与角的函数关系式； （3）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 19. 已知数（）的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若，，求的值； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，试求与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郫都四中2024——2025学年高一下学期3月月考 数学试卷 （总分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，先将答题卡中的相关信息填写清楚. 2.答案填写在答题卡的指定位置上.考试结束后，请将答题卡上交，试卷自行保存. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若、是单位向量，则 C. D. 若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项. 【详解】A.向量不能比较大小，故A错误； B. 若、是单位向量，则，故B错误； C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误. 故选：C 2. （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案. 【详解】. 故选：D 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角的终边过点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求，再代入二倍角正切公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则. 故选：A 4. 为了得到函数的图象，只要把图象上的所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象之间的变换，结合题意，即可容易判断. 【详解】为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个单位长度. 故选：B 5. 在中，已知，那么一定（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式化简，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 又为三角形的内角，所以，即是等腰三角形. 故选：A 6. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简、、，结合正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】， ， ， 因为函数在上为增函数，且， 故，即. 故选：C. 8. 设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可. 【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点， 所有当时，有4个零点，令，即，解得， 由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间， 即，解得 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可. 【详解】对于A选项，原式，故A选项错误； 对于B选项，原式，故B选项正确； 对于C选项，原式，故C选项正确； 对于D选项，原式，故D选项错误. 故选：BC. 10. 下图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. 是的一个对称中心 D. 的单调递增区间为（） 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D. 【详解】根据图像象得，故A错误； 时，，，， 故，故B正确； 因为，所以是的一个对称中心，C正确； 令，解得，．故D正确． 故选：BCD. 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则，易得在上单调递减，且， 当时，，则，易得在上单调递增，且，即， 当时，，则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，结合选项A中分析可得，所以，则，故B正确； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，故C正确； 对于D，当时，，令，得，所以， 又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断有以下方法， （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：． 13. 若函数（）的图象关于y轴对称函数，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由函数对称性性质得方程， 【详解】若函数（）的图象关于y轴对称， 则，所以 又，所以. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】令，函数定义域为，关于原点对称， 又，则函数是奇函数， 又函数和在上都单调递增，则函数在上单调递增， 不等式， 因此，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，其中. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式，可求得； （2）先用诱导公式，然后用平方关系变形，再用弦化切计算可得答案. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 . 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. （2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，又， 则，， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知，而，则， 因此， 又，所以. 17. 已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，（） （3） 【解析】 【分析】（1）首先化简函数解析式，再根据最值求； （2）结合三角函数性质，利用代入法求函数的单调区间； （3）利用代入法求函数在区间的最小值，即可求解的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，（） 解得，（）， 所以函数的单调递减区间为，（）； 【小问3详解】 当时，有 当，即时， 所以，. 18. 在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，取的中点M，记. （1）用角表示线段与； （2）写出矩形的面积S与角的函数关系式； （3）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 【答案】（1），，； （2），； （3）当时，矩形的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）由三角函数几何定义即可依次求出，，接着由和即可求出得解； （2）由（1）得，将和代入面积公式化简计算即可； （3）由结合三角函数性质即可得解. 【小问1详解】 由题可知，在中，，， ∴，在中，， ∴，，，. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 ∵，∴， ∴当，即时，， 故当时，矩形的面积最大，最大值为. 19. 已知数（）的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若，，求的值； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，…，，若，试求与的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的解析式，再根据函数的周期求参数； （2）首先根据三角函数图象变换求得函数的解析式，再利用三角函数恒等变换，即可求解； （3）首先根据（2）的结果，利用代入法求的范围，再结合三角函数的图象和性质找到的根的关系，相加即可求解. 【小问1详解】 ∵ ∴ 又∵，∴ ∴ 【小问2详解】 向右平移个单位，得; 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得 因为，所以 因为，则，所以 故， 【小问3详解】 由方程，即，即, 因为，可得, 设，其中，即， 结合正弦函数的图象， 可得方程在区间有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 解得，，，， 所以 综上，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$