2025年上海市中考数学一轮复习 专题24 ：圆

专题24 ：圆 一、选择题： 1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线 3.下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.下列各组图形中，与成中心对称的是(    ) A. B. C. D. 5.关于原点，下列说法中正确的是(    ) A. 原点在轴上，但不在轴上 B. 原点在轴上，但不在轴上 C. 原点既在轴上，又在轴上 D. 原点既不在轴上，也不在轴上 6.在中，，，，点在内，分别以为圆心画圆，圆半径为，圆半径为，圆半径为，圆与圆内切，圆与圆的关系是(    ) A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 7.在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是如果以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点中有一点在圆内，另一点在圆外，那么的值可以取(    ) A. B. C. D. 8.点，以点为圆心，为半径画圆交轴负半轴的坐标是(    ) A. B. C. D. 9.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦的长是(    ) A. B. C. D. 10.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是(    ) A. B. C. D. 与关于点成中心对称 12.下列命题正确的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 13.如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是(    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 14.如图，足球运动员在球门前横向带球准备射门，下列说法正确的是(    ) A. 在处射门进球的可能性大 B. 在处射门进球的可能性大 C. 在，两处射门进球的可能性一样大 D. 无法判断，两处哪处进球的可能性大 15.如图，在矩形中，，，点在对角线上，以点为圆心，为半径长作，以点为圆心作，如果点在内而点在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 16.如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是          度． 17.如图，已知与相交于、两点，延长连心线交于点，联结、，若，，那么的半径等于______． 18.在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为          ． 19.在中，，，，为边上一动点，将绕点旋转，使点落在边上的点处，过点作交边于点，联结，当是等腰三角形时，线段的长为________． 20.已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系是          ． 21.如图，的外接的半径为，，点为的中点，以点为圆心作，若与相切，则的半径为______． 22.如图，已知是的弦，是弧的中点，联结、，如果，那么的度数是________． 23.如图，四边形是内接四边形，若，，则的度数为          ． 24.如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为          ． 25.如图，中，，截的三条边所截得弦长相等，则          ． 26.如图，已知一张正方形纸片的边长为厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是          厘米． 27.如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长为          ． 28.如图，有一个高为的圆柱体，现将它的底面圆周在数轴上滚动在滚动前，圆柱底面圆周上有一点和数轴上表示的重合，当圆柱滚动一周时，点恰好落在了表示的点的位置，则这个圆柱的侧面积是          ． 29.如图，半径为且相外切的两个等圆都内切于半径为的圆，那么图中阴影部分的周长为          ． 30.已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面展开图扇形的弧长为______用含的代数式表示，圆心角为______度 31.如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则          ． 32.在中，，，，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是          ． 三、解答题： 33.利用图形运动有关的对称性可设计出美丽图案，现把一个四边形通过对称变换完成图案设计，如图，在方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形，完成下列问题： 图案设计：先画出四边形关于直线成轴对称的图形，再将所得的图形和原四边形绕点按顺时针旋转，所得的新图形与原图形组成了一个美丽的图案； 完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于          ． 34.如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点． 证明：； 连接、、，若，证明：四边形为矩形． 35.在半径为的圆形广场中央点上空安装了一个照明光源，射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面的顶角为如图所示，求光源离地面的垂直高度精确到，，，以上数据供参考 36.如图，已知三角形，按下列要求画出图形不用写画法，保留作图痕迹，书写结论； 在图中画出三角形关于点成中心对称的三角形； 在图中画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 37.如图，是格点三角形各顶点是网格线的交点，    每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形． 将向右平移个单位长度，画出平移后的． 将平移后的绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 将沿直线翻折，画出翻折后的． 试问能否经过一次旋转后与重合，若能，请在图中用字母表示旋转中心并写出旋转角的大小；若不能，请说明理由． 38.如图，已知，，，，以为圆心、为半径画圆，与边交于另一点． 求的长； 联结，求的正弦值． 39.如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度弧所对的弦的长为米，拱高弧的中点到弦的距离为米． 求桥拱所在圆的半径长； 如果水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，且，求水面上升的高度． 40.如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点，点为弧的中点． 求的半径； 连接，求的值． 41.如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点求证：与半圆相切； 连接若，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 2.【答案】  【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：． 直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 3.【答案】  【解析】解：、选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是关键． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系及其相关概念， 根据平面直角坐标系的特征进行判断即可得出结论． 【解答】 解：原点既在轴上，又在轴上 故选C． 6.【答案】  【解析】解：圆半径为，圆半径为，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：． 根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案． 本题考查圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，涉及勾股定理，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质． 先根据两点间的距离公式分别计算出、的长，再由点、中有一点在圆内，另一点在圆外求出的范围，进而求解即可． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ，， 以点为圆心，为半径的圆与直线相交，且点、中有一点在圆内，另一点在圆外， ， 符合要求． 故选D． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是点的坐标确定有关知识，首先根据点，以为圆心，为半径画圆，可得出圆与负轴的交点，即可得出答案． 【解答】 解：点，以为圆心，为半径画圆交轴负半轴， 为圆心，为半径画圆交负半轴的长度是， 故坐标为， 故选B． 9.【答案】  【解析】解：，为的切线， ， ， 为等边三角形， ． 故选C． 先利用切线长定理得到，再利用可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解． 本题考查切线长定理，以及等边三角形的判定和性质． 10.【答案】  11.【答案】  【解析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，，，故 A不符合要求；符合要求； ，，， ，故 C不符合题意； 与关于点成中心对称，故 D不符合要求； 故选：． 12.【答案】  【解析】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意； C、等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、平分弦不是直径的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意． 故选：． 利用确定圆的条件、圆的对称性、圆周角定理及垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小． 13.【答案】  【解析】设圆交于点，则，设，可得，，再由可得，，然后根据，可得，，从而得到的半径为，即可求解． 【详解】解：如图，设圆交于点，则， 设， ． ，， ． ， ， ， ，． ，， ， ， ， 经过点，且与外切， 的半径为， ，即， 与直线相切． 故选： 14.【答案】  【解析】 点拨：因为点距离球门的中心比较近，所以大于，所以在处射门进球的可能性大． 15.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，过点作，解题关键是求出、的长，再确定的半径的取值范围即可． 【详解】解：矩形中，，，则，， 由勾股定理可得：， 过点作，则，， 即，， ，， 令与交于点，设，则，，， ，， ， 点在内而点在外，并且与外切， ，即 即的半径的取值范围为：， 故，四个选项中，只有在该范围内， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题主要考查旋转图形，熟练掌握旋转图形的旋转角是解题的关键．根据正三角形的内角是以及旋转角即可得到答案． 【详解】解：正三角形的内角是， 如果把正三角形旋转一个角度后，与初始图形重合，那么这个旋转角最小是． 故答案为：． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接交于，根据相交两圆的性质得到，，得到，根据直角三角形的性质得到，连接，解直角三角形即可得到结论． 【解答】 解：连接交于， 则，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的半径等于． 18.【答案】  【解析】本题考查了垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．令大圆的弦与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点，连接，由圆的切线的性质和垂径定理可得，设大圆的半径为，小圆的半径为，根据勾股定理，得到，再利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，令大圆的弦与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点，连接， 与小圆相切于点， ， ， ， 设大圆的半径为，小圆的半径为， 由勾股定理得：， ， 圆环面积为， 故答案为：． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质及解直角三角形，根据题意画出示意图并通过作垂线构造出全等三角形是解题的关键． 先根据题意画出示意图，再分别过点和点作边的垂线，构造出全等三角形，利用全等三角形的性质结合的正切值即可解决问题． 【解答】 解：分别过点和点作边的垂线，垂足分别为和， ， 当是等腰三角形时，只有这一种情况， ，，， ，， ． 在和中， ， ，． 在中， ， 设，，则． ． 在中， ， 又， ， ，， ． 又， ． 在中，． ， 解得， 经检验，是原方程的解． ． 故答案为：． 20.【答案】点在内  【解析】解：为线段的中点，， ， ， 点在内， 先求得的长，再判断与圆的半径大小关系，从而得出答案． 本题考查了点与圆的位置关系，线段中点的定义，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 21.【答案】或  【解析】解：连接，，， ，， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 当在内部时，两圆相切于，如图， ， 此时的半径为， 当在外部时，两圆相切于，如图， ， 此时的半径为， 的半径为或． 故答案为：或． 分两种情况，由相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解． 本题考查相切两圆的性质，三角形的外接圆与外心，解答本题的关键是掌握相切两圆的性质，并分两种情况讨论． 22.【答案】  【解析】解：连接交于． 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 23.【答案】  【解析】解：， ． ， ． 四边形是内接四边形， ． 故答案为：． 先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 24.【答案】  25.【答案】  【解析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而，，，进一步求出的度数． 【详解】 中，截的三条边所得的弦长相等， 到三角形三条边的距离相等，即是的内心， ，， ； ． 故答案为． 26.【答案】    【解析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键． 设正八边形的边长为，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可． 【详解】解：如图 设正八边形的边长为，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为， 正方形的边长为， ， 解得， 故答案为：． 27.【答案】  【解析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是度，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】解：如图， 设正六边形的中心是，其一边是， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ，且， ， ， ． 故答案为：． 28.【答案】  【解析】依题意可知底面圆的周长为，而圆柱体的高为，根据侧面积底面周长高求解． 【详解】， 圆柱体的周长为，高， 圆柱体的侧面积底面周长高． 故答案为． 29.【答案】  【解析】连接，，，则过，过，得出等边三角形，求出、、的度数，根据弧长公式求出三段弧的长，相加即可． 【详解】如图所示：设三个圆的圆心为，，，连接，，， 则过，过 且，即三角形是等边三角形，， ， 两个小弧长是：， 弧长是 阴影部分的周长是： 故答案为： 30.【答案】；  【解析】解：设底面圆的半径为， 由勾股定理得：， ， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为． 故答案为：，． 根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式求解． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 31.【答案】  【解析】【分析】  如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【解答】  解：如图， 根据题意可得：，， 是的角平分线， ， ，， ， 则在中，， ， 解得： 故答案为 32.【答案】  【解析】【分析】 先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得． 本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键． 【解答】 解：由题意画出图形如下：连接， 过点，且， 的半径为， 过点，它的半径为，且， ， ，， ，， 在边上，点在延长线上， ，即 ， 与有公共点， ，即 不等式可化为， 解方程得：或， 画出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 同理可得：不等式的解集为或， 则不等式组的解集为， 又， 半径的取值范围是， 故答案为：． 33.【答案】【小题】 解：作图如图所示； 【小题】   【解析】  此题主要考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，图形的旋转以及三角形面积求法，熟练掌握轴对称作图和旋转作图是解题关键． 利用作关键点关于直线的对称点，再连接即可作出关于直线的轴对称图形；先作出关键点绕点按顺时针旋转的对应点，再连接即可得原四边形绕点按顺时针旋转的新图形；   原图是由八个完全相同的三角形构成的，三角形的底为，高为，计算即可． 解：整个图案的面积， 故答案为：． 34.【答案】证明：连接，，，，，． ，，， ，，， ， ， ≌， ， ，， ≌， ， ， ． 证明：连接，设交于． ，，， ，， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形．  【解析】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 利用全等三角形的性质证明，，可得结论． 连接，设交于，想办法证明，可得结论． 35.【答案】解：在中，， 是的中点．且． 在直角中，． ． 答：光源离地面的垂直高度为．  【解析】本题考查了直角三角形的应用，三角函数的性质．属于常规题．圆锥的高，底面上的半径，母线正好构成直角三角形，根据三角函数就可以求出． 36.【答案】【小题】 解：如图，三角形为所作； 【小题】 解：如图，三角形为所作．   【解析】  本题考查了作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解决问题的关键．也考查了轴对称变换． 延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取，然后、、，从而得到；   过点直线于点，再在的延长线上截取，同样方法作出点、，从而得到． 37.【答案】【小题】 如图，为所作； 【小题】 如图，为所作； 【小题】 如图，为所作； 【小题】 能经过一次旋转后与重合． 如图，点为所作，旋转角为．   【解析】  利用网格特点和平移的性质画出点，，的对应点分别是点，，即可；   利用网格特点和旋转的性质画出点，的对应点分别是点，即可；   利用网格特点和轴对称的性质点的对应点即可；   作、的垂直平分线得到点，则为旋转角． 38.【答案】解：如图连接，作于． ，，，， ， ， ， ， ，， ， ； 作于． ， ， ， ．  【解析】本题考查勾股定理，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 如图连接，作于利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可解决问题； 作于利用面积法求出即可解决问题； 39.【答案】【小题】 解：点是中点，， ，经过圆心， 设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为， ， ， 联结，设半径，， ， ， 在中，， ， 解之得． 答：桥拱所在圆的半径长为米． 【小题】 设与相交于点，联结， ，， ， ， 在中，  ， ， 设水面上升的高度为米，即，则， ， 在中，， ， 化简得，解得   舍去，， 答：水面上升的高度为米．   【解析】  根据点是中点，知为中点，联结，设半径，，在中，由勾股定理求出半径．   设与相交于点，联结，由，，得到，进而找出，设水面上升的高度为米，即，则，在中根据勾股定理求出即可． 40.【答案】【小题】 解：连接交于点， 点为弧的中点，即平分， 且， ，，， ， ， ，， ，， 即， ， 的半径为． 【小题】 解：连接、， ，，， ， ， ， ， ， ．   【解析】  连接交于点，由垂径定理、含的直角三角形特征推得且，再结合含的直角三角形特征、勾股定理得到，求解即可得到半径；   连接、，由圆周角定理推得，解直角三角形求出，由即可得解． 41.【答案】证明：连接，，作于，如图， 为等腰三角形，是底边的中点， ，平分， 与相切于点， ， 而， ， 是的切线； 由知， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，， ．  【解析】连接，连接，，作于，如图，利用等腰三角形的性质得，平分，再根据切线的性质得，然后利用角平分线的性质得到，从而根据切线的判定定理得到结论； 在中，根据勾股定理求得，，进而得到，在中，由，即可求出． 本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$