精品解析：辽宁省鞍山市高新区2024～2025学年九年级下学期3月中考模拟数学试题

九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. “抖空竹”是典型的基础性节律性运动项目，深受广大人民的喜爱．图1是“抖空竹”时的一个瞬间，小莉把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 6. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝12，则k的值为（ ） A. ﹣12 B. ﹣ C. ﹣16 D. ﹣12 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 12. 已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为_________． 13. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，五个点均在格点上，，，则与的面积比为______． 14. 2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为______． 15. 如图，在平行四边形中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交于点P．则__________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 18. 某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）． 请根据统计图，回答下列问题： （1）这次抽样调查的总人数为 人． （2）在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ． （3）活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率． 19. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 22. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方以及完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数． 【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以． 故选B． 【点睛】本题考查中位数的意义．理解题意，掌握中位数的意义是解题关键． 4. “抖空竹”是典型的基础性节律性运动项目，深受广大人民的喜爱．图1是“抖空竹”时的一个瞬间，小莉把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质及平行线的性质，如图，延长，交于，根据外角性质得出，根据平行线的性质即可得答案．熟练掌握三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键． 【详解】解：如图，延长，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 6. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断． 【详解】解：A、正方形是中心对称图形，又是轴对称图形不符合题意； B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、直角三角形不是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴，点B坐标为，则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据对称轴为，即，判断①；时，，判断②；开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断③；根据函数图象可以判断④，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性． 【详解】解：根据对称轴为，即，，故①正确； 根据图象可得，当时，， 即，故②正确； 开口向下，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故③正确； 由图象可的点， 或中，，故④不正确． 故正确的个数为3个， 故选：C． 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，利用周长为16，求出菱形的边长，然后利用三角形中位线性质求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形 ∵四边形的周长是16， ∴ ∵点M，N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的定义，矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的定义、矩形的性质定理、菱形的判定与性质定理，三角形中位线的性质定理是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝12，则k的值为（ ） A. ﹣12 B. ﹣ C. ﹣16 D. ﹣12 【答案】C 【解析】 【分析】设BD=5a，CD=4a，OC=b(a>0，b>0)，由，求得，证明△OEF△OBA，得到E(，)，即可求出k的值． 【详解】解：∵， ∴设BD=5a，CD=4a，OC=b(a>0，b>0)， ∴D(-4a，b)，B(-9a，b)， 过E作EF⊥轴于F， ∵OA•EF=， ∴， ∴EF∥AB， ∴△OEF△OBA， ∴得：OF=， ∴E(，)， ∵点D，点E在反比例函数y＝的图象上， ∴，即， 解得：或(舍去)， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 【答案】x≥且x≠1 【解析】 【详解】式子有意义， 则： 解得：且 故答案为且 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 12. 已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，可以得到，点的坐标为， 点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 13. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，五个点均在格点上，，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得到，，则可判断，然后根据相似三角形的性质解决问题．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，， ， 与的面积比． 故答案为：． 14. 2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据59.14亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交于点P．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义等知识点，正确的做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 由题意可知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到、，可以得到，进而得出是等边三角形，得到，再证明，由相似三角形的性质求得，过A点作交的延长线于G，根据勾股定理得到的长即可解答． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过A点作交的延长线于G， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算乘法，后算加减； （2）先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）人物传记至多买33本． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【小问1详解】 解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． 【小问2详解】 解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 18. 某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）． 请根据统计图，回答下列问题： （1）这次抽样调查的总人数为 人． （2）在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ． （3）活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率． 【答案】（1）120 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）利用演讲的人数和所占的百分比求解即可； （2）用360乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）． ∴这次抽样调查的总人数为120人． 故答案为：120； 【小问2详解】 解：， ∴“书法”所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种． ∴选取的两人恰为一男一女的概率． 19. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【解析】 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． （1）求点A位于最高点时到地面的距离； （2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米 （2）此时水桶B上升的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【小问1详解】 解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 22. 按要求解答下列问题： （1）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． （3）【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【小问1详解】 解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； 【小问3详解】 解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1）2 （2）7 （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案； ②先画出图象，观察图象可得取值范围． 【小问1详解】 解：点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得； 当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去． 所以b的值是7； 【小问3详解】 ①当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即； 当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，， 当时，； ， 当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数图象上的点，一次函数图象上的点，求二次函数关系式，二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $