精品解析：四川省巴中中学2025届高三下学期3月半月考数学试题

2025届高三年级三月半月考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. -1 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 3. 已知向量满足，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为7.5 C. 平均数不变 D. 方差变小 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正三棱台的体积为，其上､下底面的边长分别为2，4，则该正三棱台的侧面上的高为（ ） A. B. C. D. 2 7. 函数与函数公切线的纵截距为（ ） A. 1或0 B. -1或0 C. 1或 D. -1或 8. 类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当且仅当时，取得最大值 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的图象关于原点对称 C. 若有三个不同零点，则实数m的范围是 D. 在上单调递减 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则此双曲线的离心率为__________.. 13. 已知函数的部分图像如图所示，其中，则__________. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求边. 16. 如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. （1）求及的值： （2）求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面，. （1）为上一点，平面，求的值： （2）平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形的面积的最大值； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由. 19. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级三月半月考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数z满足，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由可得， 所以虚部为， 故选：D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 3. 已知向量满足，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，求得，再对两边同时平方求出， 【详解】由得=，由，得 又所以 故选：D 4. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为7.5 C. 平均数不变 D. 方差变小 【答案】B 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误； 由于，故,,,,, 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角关系可得，即可由正切的差角公式求解. 【详解】由可得，又，所以， 故， ，故 故选：D 6. 已知正三棱台的体积为，其上､下底面的边长分别为2，4，则该正三棱台的侧面上的高为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先计算出正三棱台的高,在根据勾股定理求出该正三棱台的侧面上的高即可. 【详解】设正三棱台的高为，上、下底面的中心分别为， 则，分别为的中点，连接， 则,做，则点在上， 则底面，底面，所以， 由，平面，得平面， 因为平面，所以，即为侧面的高， 上､下底面的面积分别为，， 所以正三棱台的体积为， 解得， ， 所以该正三棱台的侧面上的高为. 故选：A. 7. 函数与函数公切线的纵截距为（ ） A. 1或0 B. -1或0 C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为，, 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以公切线的纵截距为或. 故选：B. 【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 8. 类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列.已知向量列满足，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造得，再利用等比数列定义和通项公式即可. 【详解】， 则，其中， 则是以为首项，2为公比的等比数列， 则，则. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当且仅当时，取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用求出可判断ABC；对配方可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 对于A，，所以是递减数列，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当，得，所以当时，，故C正确； 对于D，，因为， 所以当且仅当，或时，取得最大值，故D错误. 故选：AC. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的图象关于原点对称 C. 若有三个不同零点，则实数m的范围是 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程判断A；由对称的性质，取值计算判断B；求出函数的极值，结合图象，由零点的意义判断C；确定单调性判断D即可得解. 【详解】函数，得， 对于A，，而，则切线方程为，即，故A正确； 对于B，，则的图象关于原点不对称，故B错误； 对于C，当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又当时, ，当时, ， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 作出函数的大致图象如下： 则当直线与函数图象有3个交点时，，故C正确； 对于D，由对C分析知在上单调递减，故D正确． 故选：ACD. 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则此双曲线的离心率为__________.. 【答案】## 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程为，可得，利用离心率公式，计算即可得到结果. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由直线是双曲线的一条渐近线，可得：， ，所以离心率为 故答案为： 13. 已知函数的部分图像如图所示，其中，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】观察图象确定函数的周期，由此求，根据求，再求即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 观察图象可得，所以，又， 所以， 又， 所以， 所以，，又， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 【答案】1250 【解析】 【分析】由题意知，可求出，由得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么， ， 由得，即， 由切比雪夫不等式可得 可知 为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则 ，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为内角的对边，且. （1）求角A； （2）若，求边. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化角，然后化简即可； （2）运用余弦定理求解边长即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为,所以， 所以， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 在中，， 所以由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去），或 16. 如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. （1）求及的值： （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）按着三种路线分别求概率即可， （2）由棋子移动的方向分别按逆时针与顺时针共有，，三种情况，故可得，，由数列的递推公式，求得的通项公式，再求,即可由求和公式求解. 【小问1详解】 如图：设起始位置为， 移动2次回到起始位置，则；； 所以， 若移动3次回到起始位置， ；； 所以， 【小问2详解】 每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的， 设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，， 所以． 掷骰子次时，共有，，三种情况，故． ，即，， 又， 时，， 又，可得， 由， 可得数列是首项为公比为的等比数列， ，即， 又． 所以的前项和为 17. 如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面，. （1）为上一点，平面，求的值： （2）平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设为上一点，且满足，利用线面平行的性质，结合三角形中位线性质推理即得. （2）延长，相交于点，取的中点，利用面面垂直的性质证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 设为上一点，且满足，连接，. 由平面，且平面平面，得，即四边形为平行四边形， 在等腰梯形中，，则， 所以为的中点，，即. 【小问2详解】 延长，相交于点，设为中点， 则平面与平面的交线为直线，连接，， 由，得，且， 又平面平面，平面平面， 则平面，在中，，于是，且， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面法向量，则，取，得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形的面积的最大值； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由. 【答案】（1）； （2）①；②是，0 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）①求出，设直线的方程为，设点，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由是椭圆C上位于直线PQ两侧，求出的范围，然后表示出四边形的面积，化简可求出其最大值；②表示出直线的斜率和直线的斜率，然后结合前面的式子化简可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的方程为. 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当时，，解得， 所以点的坐标为，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：，由，可得. 由韦达定理知：， 又是椭圆C上位于直线PQ两侧，则 ，解得 四边形的面积 故当时，； ②由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . . 所以的值为常数0. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问解题的关键是设出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 19. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）； （2），证明： 依题意，四边形为梯形或矩形，又，则， ，下证， 而，只需证， 令，只需证， ，设，则， 在上单调递增，则在上单调递增， 因此，所以. （3），理由： ，因为为的零点，则， 设，则有，即，于是， 由（2）知，则有，因此， ，则，即，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，令，直接代入计算即得. （2）利用矩形或梯形面积公式计算，再利用分析法推理构造函数，利用导数证明不等式即得. （3）利用函数零点的意义，结合（2）的结论及不等式性质推理即得. 【小问1详解】 设，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $