精品解析：2025年甘肃省酒泉市九年级中考一模数学试卷

2025年中考第一次适应性检测数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会，下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 7. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 15. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 16. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为________． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 21. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为． （1）求点到的距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）： ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）： ②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 25. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B． （1）求证：； （2）若，求的直径． 26. 【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． （1）求抛物线的表达式； （2）为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第一次适应性检测数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会，下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算以及单项式乘以单项式的运算，掌握运算法则和计算公式是解题的关键． 分别利用合并同类项法则，同底数幂的除法、幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式的运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义等知识点，掌握它们的概念和特点是解题的关键． 利用众数、中位数的定义、随机事件的概念、调查方式的选择、方差的意义逐项判定即可． 【详解】解：A．一组数据2，3，3，4，5，6的众数是3，中位数是，故该选项错误，不符合题意； B．“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，故该选项错误，不符合题意； C．了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用抽样调查，故该选项错误，不符合题意； D．由，所以乙组数据比甲组数据稳定，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，解分式方程、一元二次方程、以及一元一次方程，理解“和美点”的定义是解题关键．根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，再求出个选项中的“和美点”即可． 【详解】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中， A、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； B、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； C、，则，此时无解，即函数不存在“和美点”，符合题意； D、，解得：，，即点和点为函数的“和美点”，不符合题意； 故选：C． 9. 古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：． 10. 如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动 由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm ∴cm 由菱形性质得：c m，⊥ 同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm ∴cm ∴cm 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】根据题意得：αβ=﹣1． 故答案为﹣1 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程得定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的面积是； 故答案为：． 15. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 16. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查已知弧长求圆心角的度数，设点转过的度数为，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设点转过的度数为，由题意，得：， ∴； ∴点转过的度数为， 故答案为：90． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．先计算二次根式的乘法、负整数指数幂、绝对值，再加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是， 整数解为，0，1． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2） 解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术．它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题．现有四场网络直播，这四场直播分别以A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解． （1）晓玲选择机器人技术的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可． （2）不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 解：共4种等可能结果，其中1种符合题意， ∴晓玲选择机器人技术的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可得，共有12种等可能的结果，其中晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的结果有6种， （晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理）． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为． （1）求点到的距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）： ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）： ②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；②建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数测高方法是解决问题的关键． （1）根据题意得到，利用含的直角三角形性质计算即可得到答案； （2）①根据题意，在和解直角三角形，数形结合，由代值求解即可得到答案；②过点作，垂足为，如图所示，利用矩形判定与性质，在中，解直角三角形求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知， 在，，， ∴，即的长为； 【小问2详解】 解：①在中，， ∴， 在中，由，，，得， ∴，即的长为； ②过点作，垂足为，如图所示： 根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴，，可得， 在中，，， ∴，即， ∴， 答：建筑物的高度约为． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明或演算步骤） 23. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2） （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图； （2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解； （3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解． 此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意． 【小问1详解】 这次随机抽取的学生总人数：（人）， “电视观看”的人数：（人）， 【小问2详解】 B“手机观看”所占圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人）， 答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点，连接，点是反比例函数图象上第一象限内的一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标投资，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得的面积，进一步求得的面积，利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入反比例函数的解析式即可求得横坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴，即反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点，则点的坐标分别为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， （负值已舍去）， 把代入得，， ． 25. 中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵水平地面切于点B， ∴，即， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等： （1）如图所示，连接，根据等边对等角结合三角形外角的性质证明，由切线的性质得到，则由三角形内角和定理可得； （2）设的半径为，则，，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的直径为． 26. 【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图2，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）正方形边长为15 （3）解：， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可． （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15． （3）略 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． （1）求抛物线的表达式； （2）为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $