精品解析：贵州省黔南州长顺县民族高级中学(智华中学)2024-2025学年高一下学期第一次月考（4月）数学试卷

长顺县民族高级中学2024-2025学年第二学期高一年级 第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，其中，是实数，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，的图象形状大致是（ ）． A B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量满足，则与夹角是 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______． 13. 已知，那么函数的最小值是_________. 14. 若函数在上有四个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算：（1） （2）． 16. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）求角最大值． 19. 已知函数满足. （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长顺县民族高级中学2024-2025学年第二学期高一年级 第一次月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用交集的定义计算得出答案． 【详解】∵，∴， 又，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2. 设，其中，是实数，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解. 【详解】因为，即，又，是实数， 依据复数相等的条件得，即，故. 故选：D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 4. 下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面， 由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A. 【点睛】本题主要考查几何体的直观图的识别，熟记几何体直观图的画法及一般要求即可，属于常考题型. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的性质比较大小关系，即可得答案. 【详解】由，即. 故选：C 6. 函数，的图象形状大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除AC，再结合特殊点的函数值排除B. 【详解】定义域，且，所以为奇函数，排除AC；又，排除B选项. 故选：D 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，进而结合角的范围可确定，即可利用同角关系求解. 详解】由可得， 由于，则，结合，所以， 故，由于，所以， 因此， 故选：A 8. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【详解】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式性质可判断A；由对数函数的性质可判断BD；由幂函数性质可判断C. 【详解】对于A，因为，结合不等式性质可知，A正确； 对于B，由于，故，B正确； 对于C，，则幂函数在上单调递减， 故，C错误； 对于D，由于，故，D错误； 故选：AB 10. 下列说法中错误的有（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 已知向量，向量在向量上的投影向量是 D. 若非零向量满足，则与的夹角是 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量共线的性质即可求解A，根据共线以及基底的定义即可求解B，根据投影向量的计算公式即可求解C，根据模长以及夹角公式即可求解的D. 【详解】对于A, 两个非零向量，若，则与共线且反向,正确， 对于B，由于，故， 则与共线，故不能作为基底，B正确， 对于C, 在向量上的投影向量是，故C错误， 对于D, 非零向量满足： ， 故， 故与的夹角是，D错误， 故选：CD 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得函数与有4个不同的交点，根据图象可求得，，进而计算可判断每个选项的正误. 【详解】若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根， 则函数与有4个不同的交点， 在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示： 当或，，又时， 则由图象可知函数与有4个不同的交点时，可得，故A正确； 且， 当时，是方程的两个实数根， 所以是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，故B正确； 当时，是方程的两根， 所以，所以， 所以，， 所以，故C错误； 因为， 所以， ，当且仅当，即时，等号成立， 所认有最小值，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于利用，得到，进而结合基本不等式求得最小值. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 又因为，所以. 故答案为: 13. 已知，那么函数最小值是_________. 【答案】6 【解析】 【分析】由基本不等式即可求. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 14. 若函数在上有四个零点，则实数取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，将问题转化为在上有且仅有四个不同实数解，根据的范围，结合方程解的个数可构造不等式组求得结果. 【详解】； 若在上有四个零点，则在上有且仅有四个不同实数解， 当时，， ，解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 计算：（1） （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】结合指数与对数的运算法则和换底公式即可. 【详解】(1)原式， (2)原式． 16. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，即可利用整体法 求解； （2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得， 故的单调递增区间为： 【小问2详解】 当时，，， 即 又恒成立，，解得， 实数的取值范围为：. 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求证：； （2）求角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件进行化简，再通过正弦定理将边转化为角来证明等式； （2）在（1）的基础上，结合余弦定理和基本不等式求出角的最大值. 小问1详解】 因为，又， 所以整理得， 由正弦定理可得：，得证. 【小问2详解】 由，，可得：， 又（当且仅当时取等号）， 所以， 因为，且在上单调递减，故， 当时，角取得最大值． 19. 已知函数满足. （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）当，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，得， 解得. （2）当时，， ， ∴在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， ， 即 整理得对任意恒成立， ∵，∴函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， ∴时，有最小值. 由，得， 故取值范围为. 【点睛】本题考查了对数函数的运算法则、单调性、不等式的解法，考查恒成立问题，转化为求二次函数最值，考查了推理能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$