精品解析：2025年浙江省衢州市衢江区中考一模数学试卷

2025学年第二学期九年级学生学习情况检测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写． 3．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 参考公式： 二次函数（，，是常数，）图象的顶点坐标是． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：； 故最大的数是1； 故选A． 2. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，利用邻补角求度数，根据平行线的性质，得到，再根据邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 3. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 4. 下列式子的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出 的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得 为 的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴ 为 的中位线， ∴； 故选：C． 7. 如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为，，，现以原点 为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求位似图形的对应点的坐标，根据关于原点 为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系，进行求解即可． 【详解】解：∵以原点 为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为的位似图形，， ∴点坐标为，即：； 故选C． 8. （我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹 两，牛价为每头 两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据马四匹，牛六头，共价四十八两，马三匹，牛五头，共价三十八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ； 故选D． 9. 若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解． 【详解】解：将，两点分别代入和 得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，连接对角线 ，点 为 中点，且，点 是射线 上一点，连接，作，交延长线于点 ．令，，则 关于 的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，设交于点，过点 作，得到，勾股定理，求出的长，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：设交于点，过点 作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点 为 中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 15. 如图，在 中，，点 是边上的一点，满足．若，则的度数为________°．（请用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．设，由等边对等角求得，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得， 即， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在 中，将沿弦 翻折，连结并延长交翻折后的弧于点 ，连结，若，，则 的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长 交 于点D，过点B作于点H，连接 ，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，证明，推出，在中，利用勾股定理得到，即，据此计算即得答案． 【详解】解：延长 交 于点D，过点B作于点H，连接 ， ∵和是圆周角所对的弧， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， 在，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键． 三、解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分，请务必写出解答过程） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先利用零指数幂的法则，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 当时，， ∴是原方程的解． 19. 小明研究一道尺规作图题：作 一边上的高线．他的作法如下：如图，在 中，，以 为圆心，以 为半径作弧交于点 ，再分别以 、 为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点 ，连接 交于点 ，则为边上的高线． （1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． （2）若，，，求 的面积． 【答案】（1） 同意，证明如下： 连接， 由作图可知：， ∴ 垂直平分 ， ∴，即：为边上的高线． （2）9 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，中垂线的判定，勾股定理： （1）根据作图可知：，进而得到 垂直平分 ，即可得证； （2）勾股定理求出，再利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ 的面积． 20. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次随机抽取多少名学生进行调查？并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中C对应圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；图见解析 （2） （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （2）再用360度乘以最喜欢“C排球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 最喜欢“B足球”的学生人数为人， 补全条形统计图，如图： ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 21. 如图， 中． ，点 为 边上一点，以点 为圆心，为半径作圆与 相切于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∵以点 为圆心，为半径作圆与 相切于点 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，求弧长： （1）连接，证明，得到，平分，进而得到垂直平分 ，根据同角的余角相等，得到，即可得证； （2）求出，进而求出，三角函数求出的长，利用弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ，，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴的长为：． 22. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 （米）与无人机飞行的时间 （秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）求联合表演时长； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 【答案】（1） （2） （3）两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可； （2）求出甲无人机的速度，结合 点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：乙无人机的速度为：， ∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：， ∴联合表演时长； 答：联合表演时长为； 【小问2详解】 由（1）可知：， 联合表演前：甲无人机的速度为：， 设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：； ∴； 【小问3详解】 ①当甲无人机单独表演之前：，解得： ； 由（2）知：直线的解析式为：， 当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演， ②当甲无人机单独表演时：时，； ③当甲无人机单独表演之后，时，； 综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米． 23. 已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②在①的条件下，当时，函数的最小值为 ，求 的最大值． （2）若当时， 取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可； ②根据解析式得到当时， 有最小值为 ，根据当时，函数的最小值为 ，得到，进行求解即可； （2）根据时， 取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可． 【小问1详解】 解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时， 有最小值为： ， ∵时，函数的最小值为 ， ∴， 解得：， ∴ 的最大值为 ； 【小问2详解】 解：∵当时， 取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 24. 在矩形中，点 ， 分别是 ，边上的动点，连接 ，交于点． （1）如图（1），当点 ， 分别是 ，的中点时，求证：； （2）若，点 是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 【答案】（1） 证明：连接 交 于点 ， 矩形， ，，， ， 点 ， 分别是 ，的中点， ，则， ， ， ； （2）的长为2； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）连接 交 于点 ，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可； 设，则，连接 ，，作于点 ，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 交 于点 ，连接， 由（1）知， ， ， ， ， ，即， 点是的中点，点 是 的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即的长为2； 设，则，连接 ，，作于点 ， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， 点是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级学生学习情况检测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写． 3．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上．本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑． 参考公式： 二次函数（，，是常数，）图象的顶点坐标是． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 6. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出 的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为，，，现以原点 为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为的位似图形，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. （我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹 两，牛价为每头两，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，连接对角线 ，点 为 中点，且，点 是射线 上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于 的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 因式分解： =__________． 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 15. 如图，在 中，，点 是边上的一点，满足．若，则的度数为________°．（请用含的代数式表示） 16. 如图，在 中，将沿弦 翻折，连结并延长交翻折后的弧于点 ，连结，若，，则 的长为________． 三、解答题（17-21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分，请务必写出解答过程） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 小明研究一道尺规作图题：作 一边上的高线．他的作法如下：如图，在 中，，以 为圆心，以 为半径作弧交于点 ，再分别以 、 为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点 ，连接 交于点，则为边上的高线． （1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由． （2）若，，，求 的面积． 20. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次随机抽取多少名学生进行调查？并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中C对应圆心角的度数； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 21. 如图， 中． ，点 为 边上一点，以点 为圆心，为半径作圆与 相切于点 ，连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间 （秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）求联合表演时长； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 23. 已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②在①的条件下，当时，函数的最小值为 ，求 的最大值． （2）若当时， 取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 24. 在矩形中，点 ，分别是 ，边上的动点，连接 ，交于点． （1）如图（1），当点 ，分别是 ，的中点时，求证：； （2）若，点 是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $