精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求二次根式的值，二次根式的除法，二次根式的性质，二次根式的加法运算法则，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A. ，故该选项运算错误； B. ，故该选项运算正确； C. ，故该选项运算错误； D. ，故该选项运算错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查求二次根式的值，二次根式的除法，二次根式的性质，二次根式的加法运算法则，熟练掌握上述性质和运算法则，是解题的关键． 2. 若代数式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，要求被开方数非负，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，无意义，不是二次根式； B．，一定是二次根式； C．当时，无意义，不是二次根式； D．当时，无意义，不是二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式定义；熟练掌握二次根式对被开方数的要求是解题的关键． 4. 如下是小明的作业，他判断正确的个数是（ ） （√） （√） （×） （√） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：，原判断错误， ，原判断正确， ，原判断正确， ，原判断正确， 小明判断正确3个， 故选：C． 5. 如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵圆柱的底面半径为6， ∴侧面展开后， ∴， 又高为4， ∴ ∴最少要用到的胶带长度为． 故选：D． 6. 下列选项中，化简正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、乘方等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质与化简以及乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 7. 实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 【详解】解：根据题意，则， ∴，， ∴ = = =； 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点E在x轴上，满足，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件易得，，，轴，轴，因为，所以是角平分线，在根据可知是等腰直角三角形，则当点和点重合时，此时，当点E不与A重合时，连接过D作于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可得：，，，轴，轴， 如图，连接， ∵，，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当点E与点A重合时有，此时点E的坐标为， 当点当点E不与A重合时，如图，连接，过D作于H， ∵，， ∴， 在Rt和Rt中， ∴RtRt(HL)， ∴， ∵，， ∴， ∴, 设，则，， 根据勾股定理可得：即， 解得：， ∴点E的坐标为， 综上所述：点E的坐标为或， 故选：D 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理等，掌握相关知识点是解题的关键． 9. 如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作，使，连接，，证明，进而得出，，再得出是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 10. 如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质可得，通过角的计算即可得到，根据两直角三角形中斜边和其中一条直角边相等，即可由勾股定理得出另一条直角边也相等，从而得到，故①正确；再根据各角的计算可得出，故②正确；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，从而推出，故③正确；由条件可推理得四边形是矩形，，再由全等性质可得，故，则④正确． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ，， ，故②正确， 平分，，， ， ，， ， ， ，故③正确， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，灵活应用相关知识并采用等量代换的方法是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使代数式有意义，则x应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义条件和分式有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 可得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义与分式有意义的条件是解题的关键． 12. 比较大小：__________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据二次根式性质得出，，，可得，即可得出答案． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：． 13. 观察下列分母有理化运算，寻找规律． ， ， 利用上面的规律计算：______． 【答案】2021 【解析】 【分析】利用已知规律先计算括号里面，再套用平方差公式求值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行二次根式的分母有理化，理解和掌握二次根式分母有理化的规律是解决本题的关键． 14. 如图，，，，，当时，的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】如图，作，，而，证明，可得，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：如图，作，，而， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）． 故答案为：2 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 已知如图，点、、，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少． 【答案】 【解析】 【分析】根据时间的表达式，利用，点坐标特点构造等腰直角三角形，找到和之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与关系，为垂线的时候最短，即可找到点坐标． 【详解】解：在整个过程共用时： 如图分别作轴，轴，使、交于， 的坐标为，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， 如图过点作于点，连接， 也是等腰直角三角形， ， ， 当时，取得最小值，即， ， 此时，与交于点， 的横坐标等于点的横坐标， ， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得， 解得， ∴解析式为， 将代入，得， ∴当的坐标为，点M在整个运动过程中用时最少， 故答案为． 【点睛】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下F点的坐标是解答本题的关键． 16. 边长为2的等边中，是上中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，首先证明点E在射线上运动，，作点A关于直线的对称点M，连接交于，连接，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，即可得出答案. 详解】如图，连接， ∵，是等边三角形， ∴，，, ∴， ∴， ∴． ∵是上中线， ∴，， ∴ ∴点E在射线上运动（）． 作点A关于直线的对称点M，连接交于，连接， 即有：， ∴， 当F、E、M三点共线时，有最小值，最小为， 根据图形可知：当点E与点重合时，满足要求， 此时的值最小，最小为, 则有最小， 即周长的最小值，最小值为：， 根据对称性可知， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 周长的最小值为：， 故答案为：﹒ 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强．确定点E在射线上运动（），是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和利用平方根解方程．掌握实数的混合运算法则和利用平方根解方程的方法是解题关键． （1）先简二根式再合并同类二次根即可； （2）先简二根式再合并同类二次根，再根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长加宽乘以2即可求解； （2）将大矩形面积减去阴影面积即可求解． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为：； 【小问2详解】 种植青菜部分的面积为： ． 答：种植青菜部分的面积是． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式． 19. 先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 原式 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图1，是的角平分线，、分别是边、上的点，满足，连结交于点，且，连结、． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，若，，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由含角的直角三角形的性质得，设，则，进而得，然后求出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：，平分， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ， 即菱形的边长为． 21. 梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足． （1）直接写出___________； （2）求点，的坐标； （3）若在第二象限有一点，连接，，已知的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为，点的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）由，则，然后由勾股定理求出，即，从而求解； （）根据的面积是面积的一半，得到，然后解出即可； 本题考查了坐标与图形，算术平方根，勾股定理，三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，的面积是面积的一半， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 22. 综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴． ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 中，由勾股定理得． ∵，， ． （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；135 （2）；理由见解析 （3）或；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． 【小问2详解】 解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示： 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A B. C. D. 4. 如下是小明的作业，他判断正确的个数是（ ） （√） （√） （×） （√） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（ ） A B. C. D. 6. 下列选项中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点E在x轴上，满足，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，已知为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 要使代数式有意义，则x应满足的条件是________． 12. 比较大小：__________（填“”“”或“”）． 13. 观察下列分母有理化运算，寻找规律． ， ， 利用上面的规律计算：______． 14. 如图，，，，，当时，的长为______． 15. 已知如图，点、、，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是____时，点在整个运动过程中用时最少． 16. 边长为2等边中，是上中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 19. 先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 20. 如图1，是的角平分线，、分别是边、上的点，满足，连结交于点，且，连结、． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，若，，，求菱形的边长． 21. 梯形在平面直角坐标系中的位置如图，已知，点，，，其中满足． （1）直接写出___________； （2）求点，的坐标； （3）若在第二象限有一点，连接，，已知面积是面积的一半，求点的坐标． 22. 综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 23. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$