精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 七年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，错误的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①对顶角相等； ②两直线平行，同旁内角相等； ③平行于同一条直线的两直线平行； ④若正数a，b满足，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，中，，，，，为直线上一点，连接，则线段的值不可能是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 4 D. 5 5. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 7. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） ①等边三角形是锐角三角形；②全等三角形的对应角相等；③平行四边形的对角线相互平分；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． A. ③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③ 8. 如图，已知直线，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（ ） A. ①②③④⑤⑥ B. ①②③④⑤ C. ①②③④⑥ D. ①②③⑤⑥ 10. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，∠B的同位角是______． 12. 若m，n为实数，且，则的平方根是________． 13. 如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=40°，则∠2=__________． 14. 等腰三角形一个外角为，则此等腰三角形顶角是________度． 15. 如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 16. 如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 如图所示，与是哪两条直线被另一条直线所截，构成的是什么角的关系？与呢？ 18. （1）如图1，分别把两个边长为1dm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，可以拼成一个大正方形，由此可知，小正方形的对角线长为______dm． （2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，则圆的周长，正方形的周长的大小关系是：______（填“＝”或“＜”或“＞”号） （3）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 19. 如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，与是否平行？请说明理由． 20. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余． （1）试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由； （2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由． 21. 如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） （1）分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） （2）连接，那么与的位置关系是_______； （3）画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 22. 如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，． （1）求证： （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若， ①如图2，当时，则的度数是_____； ②在整个运动中，当时，求的度数． 23. 如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． （1）如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； （3）如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． （4）当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 七年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，错误的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据平行线的判定、直线的性质、垂线的性质、三角形外角的性质判断即可得解． 【详解】A.同位角相等，两直线平行，故原命题为真命题，不符合题意； B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，符合题意； C.两点确定一条直线，故原命题为真命题，不符合题意； D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故原命题为真命题，不符合题意； 故选：B 2. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①对顶角相等； ②两直线平行，同旁内角相等； ③平行于同一条直线的两直线平行； ④若正数a，b满足，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角相等，平行线的判定与性质及开方运算，对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①根据对顶角的性质，对顶角相等，所以①是真命题． ②两直线平行，同旁内角互补，所以②是假命题． ③平行于同一条直线的两直线平行，所以③是真命题． ④因为a，b是正数，且满足，两边开方，得到所以④是真命题．综上所述，真命题有①③④共3个． 故选C． 3. 有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线， 所以属于平行线的有3个， 故选C． 4. 如图，中，，，，，为直线上一点，连接，则线段的值不可能是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知，当时PC取最小值，利用等面积法求出PC的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10， ∵当PC⊥AB时，PC的值最小， Rt△ABC中，由等面积法可得：AC×BC=AB×PC， 代入数据：6×8=10×PC， ∴ PC=4.8， ∵C选项中， ∴ 线段的值不可能是4． 故选C． 【点睛】本题考查垂线段的性质和三角形中的等面积法，解题的关键是学会由面积法求高． 5. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 6. 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ） A. 甲，乙，丙都正确 B. 只有甲不正确 C. 甲，乙，丙都不正确 D. 只有乙正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 7. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） ①等边三角形是锐角三角形；②全等三角形的对应角相等；③平行四边形的对角线相互平分；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． A. ③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据逆命题的写法，首先写出每个命题的逆命题，根据等边三角形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，即可一一判定． 【详解】解：①等边三角形是锐角三角形； 逆命题为：锐角三角形是等边三角形，故逆命题是假命题； ②全等三角形的对应角相等； 逆命题：对应角相等的两个三角形全等，故逆命题是假命题； ③平行四边形的对角线相互平分； 逆命题：对角线相互平分的四边形是平行四边形，故逆命题是真命题； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 逆命题：平行四边形的两组对角分别相等，故逆命题是真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了逆命题，命题真假判定，解题的关键是能够掌握全等三角形的判定、等边三角形的判定、平行四边形的判定与性质． 8. 如图，已知直线，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 作，得到，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ， ， 故选：D． 9. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（ ） A. ①②③④⑤⑥ B. ①②③④⑤ C. ①②③④⑥ D. ①②③⑤⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的内角和定理以及外角的性质等知识点． 证明可判断①、⑤；证明可判断②、③、⑥；利用三角形边角关系判断④即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故②、③、⑥正确； ∵，， ∴， 故⑤正确； ∵，， ∴， 又， ∴， 故④错误， 故正确的有①②③⑤⑥， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，∠B的同位角是______． 【答案】∠ACD 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：∠B与∠ACD是AB和AC被BD所截而成的同位角， 故答案为：∠ACD． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 12. 若m，n为实数，且，则的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的平方根是． 故答案为：． 13. 如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=40°，则∠2=__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由可得，由可得． 【详解】解：如图：， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键． 14. 等腰三角形一个外角为，则此等腰三角形顶角是________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角为， ∴该等腰三角形的顶角是130度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，是基础题，等腰三角形的钝角只能是顶角． 15. 如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M． ， ， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ， 的最小值为20． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 16. 如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】作直径AC，连接CP，得到△APC∽△PBA，得到，得到，所以，得到当时，有最大值是1． 【详解】解：如图，作直径AC，连接CP， ∵AC为直径， ∴∠CPA=90°， ∵AB为切线， ∴CA⊥AB， 又∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴△APC∽△PBA， ∴， ∵PA=x，PB=y，r=2， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 如图所示，与是哪两条直线被另一条直线所截，构成的是什么角的关系？与呢？ 【答案】与是与被直线所截形成的内错角；与是与被直线所截形成的同旁内角 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角，同旁内角．根据同位角是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角是：两个角都在截线的两侧旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角；同旁内角是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角可得答案． 【详解】解：与是与被直线所截形成的内错角； 与是与被直线所截形成的同旁内角． 18. （1）如图1，分别把两个边长为1dm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，可以拼成一个大正方形，由此可知，小正方形的对角线长为______dm． （2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，则圆的周长，正方形的周长的大小关系是：______（填“＝”或“＜”或“＞”号） （3）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【答案】（1）；（2）＜； （3）不能裁出， 理由：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm， 令3x•2x=12， 解得：x=±， ∵x＞0， ∴x=， ∴长方形的长为3cm， ∵=4， ∴正方形的边长为4cm， ∵3＞4， ∴不能裁出这样的长方形纸片． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设圆的半径为r cm，正方形的边长为a cm，求得C圆=2π=cm，C正=4=cm，于是得到结论； （3）设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，令3x•2x=12，得到x=，求得长方形的长为3cm，正方形的边长为4cm，由于3＞4，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵小正方形的边长为1dm， ∴小正方形的对角线长为= (dm) ， 故答案为：； （2）设圆的半径为r cm，正方形的边长为a cm， ∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2π cm2， ∴r=，a=， ∴C圆=2π=cm，C正=4=cm， ∵8π2＜32π， ∴C圆＜C正， 故答案为：＜； （3）略 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，圆的面积公式，正确地理解题意是解题的关键． 19. 如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，与是否平行？请说明理由． 【答案】（1）， 理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）， 理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余． （1）试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由； （2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） BE//DF， 理由：∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线， ∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠ADF=∠CDF=∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠ADF=90°， ∵∠ADF与∠AFD互余， ∴∠ADF+∠AFD=90°， ∴∠ABE=∠AFD， ∴BE//DF； （2） ∠FBH=∠GBH， 理由：由（1）知BE//DF， ∴BE//DG， ∴∠EBH+∠DHB=180°， ∵BH⊥FG， ∴∠DHB=90°， ∴∠EBH=180°﹣∠DHB=90°． ∴∠CBE+∠GBH=180°﹣∠EBH=90°， ∵∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠ABH=∠GBH， 即∠FBH=∠GBH． 【解析】 【分析】（1）由BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠ADF=∠CDF=∠ADC，由于∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABE+∠ADF=90°，又因∠ADF+∠AFD=90°，根据同角的余角相等可得∠ABE=∠AFD，再由平行线的性质即可得BE∥DF； （2）由（1）知BE∥DF，得到BE∥DG，根据平行线的性质得到∠EBH+∠DHB=180°，由于BH⊥FG，得到∠EBH=90°,又因∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°，∠CBE+∠GBH=180°﹣∠EBH=90°，∠ABE=∠CBE，根据同角的余角相等即可得∠FBH=∠GBH． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键． 21. 如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） （1）分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） （2）连接，那么与的位置关系是_______； （3）画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】（1） 如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）平行 （3）如图，即为要求作的三角形； 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 22. 如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，． （1）求证： （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若， ①如图2，当时，则的度数是_____； ②在整个运动中，当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）①②或． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用等量代换得到，即可证出． （2）①如图3，过点D作，则，根据平行线的性质即可得到答案． ②两种情况，运用类比的方法，如图4，当点P在线段AD上时，过点D作交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；如图5，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作交AB于点，根据平行线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图3，过点D作 则， ∴，， ∴， 而， ∴， 故答案为：． ②如图4，当点P在线段AD上时， 过点D作交AB于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图5，当点P在线段DA的延长线上时， 过点D作交AB于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识并正确作出辅助线． 23. 如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． （1）如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； （3）如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． （4）当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到，，解一元一次方程即可得出答案； （2）过点作轴于点，易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可得，因此，，于是可推出，进而可求出，于是，，据此即可求出点的坐标；取点，连接，连接交于点，易证得，于是有，，进而可证得垂直平分，连接交于点，连接，则，此时最小，，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时与之间的数量关系； （4）当点在轴上运动时，点在直线上运动，根据垂线段最短可知：当时，最短，过点作于点，过点作于点，进而可求得点的坐标，设，若是等腰三角形，则分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列方程求解，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： 由（2）、（3）可得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最短， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 设，若是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 则有：， 即：， 解得：， ； 当时， 则有：， 即：， 解得：，， 或； 当时， 则有：， 即：， 解得：（此时点与点重合，故舍去），， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质（及），已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，等式的性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，角平分线的性质，三角形的面积公式，垂线段最短，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接开平方法解一元二次方程等知识点，正确作出辅助线并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $