精品解析：2025年山东省泰安市东平县九年级中考一模数学试题

二〇二五年初中学生学业模拟考试（一） 九年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（ ）． A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 9. 已知抛物线（m为常数），当 时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或6 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 13. 如图，一次函数 的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 14. 如图，在中，， ．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 17. 如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交y轴正半轴于点M，交x轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点P，作射线．点A在上， 轴于点B，D是的中点，连接，点C在 上，连接交交于点E， ． （1）求点B的坐标． （2）求证：． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标． 19. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船准时顺利点火发射成功．为弘扬载人航天精神，某校组织开展了“光耀星空”航天知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为四个等级，分别是A． ，B．，C．，D． ． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级等级C的学生成绩：87，81，86，83，88，82，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 59.66 八年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________， __________， __________． （2）统计图中，B等级所对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 20. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座 上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座 的距离； （2）使用过程中，当点 落在底座 上时，如图3，测得，求压杆端点到底座 的高度． （参考数据：，，结果精确到） 21. 如图所示，在矩形中， 为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 22. 如图，内接于，是的直径，点 在上，点是的中点， ，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段 的长． 23. 已知二次函数． （1）若顶点坐标为，求b和c的值． （2）若． ①求证：函数图象上必存在一点，使得． ②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学生学业模拟考试（一） 九年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及的值． 【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为， 故选：C． 4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 8. 如图，是内接正八边形的一条边，经过点B的直线l为的一条切线，则（ ）． A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 如图：连接，则，根据正多边形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵是内接正八边形的一条边， ∴， ∵， ∴， ∵过点B的直线l为的一条切线， ∴， ∴． 故选B． 9. 已知抛物线（m为常数），当 时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得： 或（舍）； ②若，当 时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当 时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上， 的值为或6， 故选：D． 10. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：x+6+20=22+z+y， 整理得：x-y=-4+z， x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m， 整理得：x=-2+z，y=2z-22， ∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z， 解得：z=12， ∴x+y =3z-24 =12 故选：D． 【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 12. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为 ，， ∴， ∴ 故答案为：6． 13. 如图，一次函数 的图象经过两点，交轴于点，则的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入 ，得：， 解得：， ∴直线的解析式为 ． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 14. 如图，在中，， ．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度． 【详解】解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处， ∵是由ABC旋转得到，∴，而， 根据勾股定理：， 又∵，且，∴为等边三角形， ∴旋转角， ∴，且，故也是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到 ，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到 ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先去绝对值，进行开方和乘方运算，再进行乘法运算，最后算加减即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 17. 如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交y轴正半轴于点M，交x轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点P，作射线 ．点A在 上， 轴于点B，D是的中点，连接，点C在 上，连接交交于点E，． （1）求点B的坐标． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如下图，过点D作 ，交于点F， 则 ， ， D是的中点， ， 是的中位线， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，相似三角形的判断与性质，点的坐标，三角形的中位线，解题的关键证明 ． （1）根据尺规作图，理解 是 的平分线，证出 ，即可得答案； （2）过点D作 ，交于点F，先证 ，再根据中位线的性质得 ，最后根据化简即可． 【小问1详解】 解：（1）由图中的画图步骤可知， 是 的平分线， 则 ， 轴， ， ， ， ， ， 点B的坐标为； 【小问2详解】 略 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时，x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数的图象于点Q，若面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将A点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围； （3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得 ， 点B坐标为， 一次函数解析式，经过，， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ，即反比例函数值小于一次函数值， 由图象可得； 【小问3详解】 解：由题意，设且， ， ， ， 解得，， 或． 19. 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船准时顺利点火发射成功．为弘扬载人航天精神，某校组织开展了“光耀星空”航天知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为四个等级，分别是A． ，B．，C．，D． ． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级等级C的学生成绩：87，81，86，83，88，82，89． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 59.66 八年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： __________， __________， __________． （2）统计图中，B等级所对应的扇形圆心角的度数是多少？ （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）87.5，88，35 （2） （3）八年级的成绩更好， 理由如下： 七年级和八年级成绩的平均数相同，但是八年级的中位数和众数都比七年级的大，故八年级的成绩更好． 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，利用方差作决策： （1）利用中位数和众数的确定方法求出 ，八年级等级C的学生人数除以总人数，求出 ； （2）360度乘以 等级的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解：八年级中等级的人数为：， 等级的人数为， 故八年级的数据中位于中间的两个数据为87,88， ∴， 七年级的数据中出现次数最多的数据为88， ∴， ； ∴ ； 故答案为：87.5，88，35； 【小问2详解】 【小问3详解】 略 20. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座 上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座 的距离； （2）使用过程中，当点 落在底座 上时，如图3，测得，求压杆端点到底座 的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座 的距离为 （2）即压杆端点到底座 的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点 ，延长交于点 ，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点 ，过点作于点 ，根据矩形的性质可得 ， ，可推出，然后求出 ，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点 ，延长交于点 ， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座 的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点 ，过点作于点 ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座 的高度为． 21. 如图所示，在矩形中， 为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1） 证明：在矩形中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2） 证明：连接交 于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在 和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到 ，， ，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 22. 如图，内接于，是的直径，点 在上，点是的中点， ，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若， ，求线段 的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则 ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由 ，，推出，得到，由 ，得到，即得； （2）由直径性质可得 ，推出，根据含的直角三角形性质得到 ，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 已知二次函数． （1）若顶点坐标为，求b和c的值． （2）若． ①求证：函数图象上必存在一点，使得． ②若函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1，求b的取值范围． 【答案】（1）， （2）①证明：∵，∴ ∴， ∴顶点坐标为． 由， ∴函数图象上必存在一点，使得 ②且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将二次函数化为顶点式等知识，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）由对称轴，求出b的值，再将把点代入， 即可得出c的值． （2）①由已知条件可得出，然后代入二次函数，然后将二次函数化为顶点式，则可得出． ②令，求出，．然后利用已知条件得出不等式，化简即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得：， 把点代入， 得，解得． 【小问2详解】 ①略 ②解：令，则， ∴，． 又∵函数图象与x轴的两个交点间的距离小于1， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $