精品解析：河南省鹤壁市高中2024-2025学年高一下学期摸底考试数学试卷

鹤壁高中高一年级摸底考试数学试卷 一、单选题：（本题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 3 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 在三角形中，内角，，满足，则角的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 两个函数，表示的是同一函数 B. 函数的单调递减区间是 C. 若函数定义域为，则函数的定义域为 D. 命题“，”的否定是“，” 12. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 13. 若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 函数在区间上的最小值为，则a的取值为（ ） A. B. C. D. 15. 函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（ ） A -10 B. -8 C. -26 D. 与a有关 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 16. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 17. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 18. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则． C. 将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 19. 已知集合，，则集合中所有的元素之和为___________. 20. 若实数a，b满足，则 的最小值为________． 21. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 22. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 四、解答题：（本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 23. 设全集为，已知集合， （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 24. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 25. 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为． （1）求证：为定值． （2）设函数， （i）判断的单调性，并用定义证明； （ii）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤壁高中高一年级摸底考试数学试卷 一、单选题：（本题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2. 已知，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.，不等式两边同时乘以，得，故A正确； B.，则，所以，故B错误； C.，不等式两边同时除以，得，故C正确； D，当时，，当时，，所以，故D正确. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再由交集运算可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以； 又因为可化为，解得，所以， 所以. 故选：C. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上符号排除不正确选项即得. 【详解】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 5. 莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形面积公式及三角形面积公式求出弓形面积进而求出莱洛三角形的面积即可. 【详解】因为莱洛三角形的长为， 所以，所以， 则的面积 线段AB与围成的弓形面积 所以“莱洛三角形”的面积 故选：B. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：A. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】由于在上单调递增，所以， 由得即， 当时，，，显然成立； 当时，单调递增，且，故， 综上，， 所以a的取值范围是 故选：C 8. 在三角形中，内角，，满足，则角的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角变换公式可得，据此可求角的值. 【详解】因为，故， 故， 故，故， 由题设有，故，而为三角形内角，故， 故选：C. 9. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 10. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次函数单调性和零点存在性定理得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，不满足题意； 当时，是对称轴为的抛物线， 所以函数在区间内为单调函数， 要使得函数在区间内恰有一个零点，需满足， 即，解得或 故选：C 11. 给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 两个函数，表示的是同一函数 B. 函数的单调递减区间是 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】先看定义域，再看解析式判断选项A；根据减函数定义判断选项B；根据抽象函数定义域，判断选项C；根据全称量词命题的否定形式判断选项D. 【详解】，，定义域不同,两函数不是同一函数，故A错误； 函数的单调递减区间是 和，故B错误； 因为函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为，故C正确； 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 故选：C 12. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 13. 若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦的和角公式,将函数化简,结合的取值范围及区间上为增函数,即可求得的取值范围. 【详解】由正弦函数的和角公式,变形化简可得 因为在区间上为增函数 所以满足 解不等式组可得 又因为 所以当时, 即 故选:C 【点睛】本题考查了正弦函数的和角公式在三角函数式化简中的应用,根据函数单调区间求参数的取值范围,属于中档题. 14. 函数在区间上的最小值为，则a的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围. 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. 15. 函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为（ ） A. -10 B. -8 C. -26 D. 与a有关 【答案】C 【解析】 【分析】 先设，利用关系，求在区间上的最大值18，再利用是奇函数，判断在区间上的最小值-18，再利用关系，得到在区间上的最小值即可. 【详解】设，则，即，故在区间上的最大值为， 又易见，即是奇函数，图象关于原点中心对称，故在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为. 故选：C. 【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法： （1）奇函数关于原点中心对称，因此在对称区间上最大值与最小值互为相反数； （2）一个函数有部分是奇函数，可以先令这部分为，有，利用是奇函数，其在对称区间上最值的特征，推出在对称区间上的最值的关系. 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 16. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 17. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 又因为，即，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为，故A正确； 因为， 当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误； 因为，所以， ， 当且仅当且 ，即，时，等号成立， 又实数，，可知等号不成立，故C错误； 因为， 当，时，的最小值为，故D正确. 故选：AD. 18. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则． C. 将图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象求函数解析式，代入法判断对称轴，再由正弦型函数的性质及图象平移写出对应解析式，依次判断各项正误. 【详解】由图知，，则， 且，则，， 所以，，又，则，A错， 所以，则，故不是对称轴，D错， 由及正弦函数的性质，知必有，B对， 将的图象向右平移个单位长度，则， 再把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），，C对. 故选：BC 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 19. 已知集合，，则集合中所有的元素之和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【详解】，，时，，因此； ，，均合题意， ，，均合题意， ，，均合题意， 所以，其中所有元素的和为． 故答案为：． 20. 若实数a，b满足，则 的最小值为________． 【答案】27 【解析】 【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 21. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 22. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：（本题共3小题，共37分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 23. 设全集为，已知集合， （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用指数函数单调性求出B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可； （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 或， 又因为， 则或 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分条件，则， 集合，， 当，即，即，符合题意； 当时，，解得： 综上所述，实数m的取值范围是 24. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的取值范围是. 25. 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为． （1）求证：为定值． （2）设函数， （i）判断的单调性，并用定义证明； （ii）若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）函数在上单调递增，证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据函数定义，应用指数幂运算化简，即可证结论； （2）（i）应用函数单调性定义及指数函数的单调性比较大小判断证明函数的单调性；（ii）奇偶性定义判断的奇偶性，再应用奇偶性、单调性及不等式恒成立得恒成立，应用换元法及三角函数性质求右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设， 所以定值1． 【小问2详解】 ， （i）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ． 因为，所以，即，又， 所以，即，故函数在上单调递增． （ii）函数的定义域为，因为，都有， 且，所以函数为奇函数． 因为，所以， 因为为奇函数，所以． 由（i）知，函数在上单调递增，所以， 因为，所以，所以， 所以， 设，， 则，， 所以， 设，则在上单调递增， ，所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问二小问，利用函数的单调性和奇偶性将问题化为恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$