精品解析：甘肃省武威市凉州区长城中学、吴家井中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件得到， 再根据二次函数的性质化简即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 3. 若与的积是一个有理数，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，依次计算，即可求解， 本题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：A、，积不是有理数，不符合题意， B、，积不是有理数，不符合题意， C、，积不是有理数，不符合题意， D、，积是有理数，符合题意， 故选：D． 4. 下列计算错误的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A选项：，故A选项正确； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：C ． 5. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 6. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A、不能与合并，故本选项不符合题意； B、不能与合并，故本选项不符合题意； C、，不能与合并，故本选项不符合题意； D、，所以能与合并，故本选项符合题意， 故选：D． 7. 已知，则实数的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，以直角三角形的斜边为边构造正方形，则该正方形的对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质及勾股定理的应用，掌握勾股定理求解直角三角形的边长是解题的关键．先由勾股定理求解直角三角形的斜边长为，再根据勾股定理求正方形的对角线长即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得，直角三角形的斜边长为， 正方形的边长为， 正方形的对角线长为， 故选：C． 9. 是直角三角形，，若，则这个直角三角形的周长为（ ） A. 22 B. 60 C. 36 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，设，，根据勾股定理可知，即，解出x，进一步即可得出答案． 【详解】解：设，， 根据勾股定理可知：， 即， 解得∶（负值舍去）， 则，， 则这个直角三角形的周长为：， 故选：C 10. 在中，下列命题是假命题的有（ ） ①若，则是直角三角形；②若是直角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若，则是直角三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断真假命题和直角三角形的性质及判定，根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可． 【详解】①在中，若，则，故是直角三角形，命题是真命题； ②在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，若是直角三角形，只有当为斜边时， 成立，命题是假命题； ③在中，若，则，，，是锐角三角形，命题是假命题； ④在中，若，则，故是直角三角形，命题是真命题； 综上所述：假命题有②③，共两个， 故选：B． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 已知实数，满足，求的平方根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键； 先根据平方、算术平方根的非负性求出和的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ； 的平方根是, 故答案为： 13. 已知三角形的面积为．一条边长为，则这条边长上的高为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 根据三角形的面积列式，结合二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解：已知三角形的面积为．一条边长为， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在直角中，是斜边上的高，，．那么高的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算及二次根式的运算，熟练掌握用面积法求线段长是解题的关键．根据面积法求出的值即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 15. 计算的结果为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘法逆运算法则变形为，再利用平方差公式计算括号内的式子，最后利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，过点作交的延长线于点，在延长线上截取，证明得出，进而得出，则设，则，中，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，在延长线上截取， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 延长至，使得 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴中， ∴ 在中， 故答案为：． 17. 在中，，，为上一动点，则线段的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，运用勾股定理是解题的关键． 根据垂线段最短可知时，最小，由勾股定理求得，再由面积法即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短可知时，最小， ∵，，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线分别交边，于点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交于点，即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质得到，，从而得，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：如图，即为边的垂直平分线， 【小问2详解】 解： 如图， 为边的垂直平分线，，， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 20. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘法进行运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可； （2）先化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再计算加减即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知，．求： （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，熟练掌握分母有理化和估算无理数大小是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再进行变形代入计算即可； （2）估算出b的值，再直接代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、零指数幂和二次根式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算乘法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 23. 如图，已知相交于点O，，求与的面积相差多少． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，准确识图，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键； 先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据代入数值得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 所以与的面积差为． 24. 若的三边、、满足，求的面积． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且斜边长为13，然后利用直角三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵，，，， ∴， 解得， ∵， ∴是直角三角形，且斜边长为13， ∴的面积为． 25. 在中，，是的角平分线． （1）如图①，过点D作交于点G，求证：是等腰三角形． （2）如图②，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）先根据是的角平分线得出，再由得出，据此得出结论； （2）先根据勾股定理求出的长，过点D作于点E，由角平分线的性质得出，故可得出，再次运用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 过点D作于点E， ∵是的角平分线． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的定义，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 26. 如图，四边形中，点在上，连接、，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据角的和与差得，然后利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得，，然后利用勾股定理求得，然后利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， 中， ． 27. 已知：在中，于点，． （1）如图，求证：； （2）如图，点在的延长线上，连接，，求的度数； （3）如图，在（）的条件下，点在线段上，连接，交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角度和差，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则，所以，，又，则有，从而得证； （）设，，则，由（）得：，，再通过角度和差即可求解； （）过作交延长线于点，过作交延长线于点，证明，设，，则，则，由，求出，，再通过勾股定理得，再由，求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则， 由（）得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 【小问3详解】 解：如图，过作交延长线于点，过作交延长线于点， ∵， ∴， ∴， 设， 由（）得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ） A. B. C. D. 3. 若与的积是一个有理数，则的值可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 10 4. 下列计算错误的是：（ ） A. B. C. D. 5. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数的范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，以直角三角形的斜边为边构造正方形，则该正方形的对角线长为（ ） A. B. C. D. 9. 是直角三角形，，若，则这个直角三角形的周长为（ ） A. 22 B. 60 C. 36 D. 54 10. 在中，下列命题是假命题的有（ ） ①若，则是直角三角形；②若是直角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若，则是直角三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 化简：__________． 12. 已知实数，满足，求的平方根______． 13. 已知三角形的面积为．一条边长为，则这条边长上的高为___________． 14. 如图，在直角中，是斜边上的高，，．那么高的长为___________． 15. 计算的结果为________． 16. 如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为______． 17. 在中，，，为上一动点，则线段的最小值是________． 18. 如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线分别交边，于点，，求的长． 20. 计算： （1）． （2）． 21. 已知，．求： （1）求的值； （2）若y的小数部分为b，求的值． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，已知相交于点O，，求与的面积相差多少． 24. 若的三边、、满足，求的面积． 25. 在中，，是的角平分线． （1）如图①，过点D作交于点G，求证：是等腰三角形． （2）如图②，若，求的长． 26. 如图，四边形中，点在上，连接、，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 27. 已知：在中，于点，． （1）如图，求证：； （2）如图，点在的延长线上，连接，，求的度数； （3）如图，在（）的条件下，点在线段上，连接，交于点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $