精品解析：浙江省金华市永康市第三中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试卷

2024学年第二学期八年级第一次独立作业数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 4. 在学校举行“健康阳光少年，做更好的自己”的演讲比赛中，六位评委给小钟的评分分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 7. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ） A 120（1－x）2=100 B. 100（1－x）2=120 C 100（1＋x）2=120 D. 120（1＋x）2=100 9. 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 一元二次方程的根是__________． 12. 已知是关于x的一元二次方程，则a等于______． 13. 一个小组共有名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了个，这个学生这次测试成绩的方差为______． 14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是___________． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为__________． 16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 20. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭8月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图． （1）小明所调查家庭8月份用水量的众数是___________，中位数是___________； （2）求所调查家庭8月份用水量平均数； （3）若该小区有600户居民，请你估计这个小区8月份的用水量． 21. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）设提价元，则该水果每千克利润是__________元，每天可以卖出水果__________千克．（用含的代数式表示） （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ （3）该水果店每天销售这种水果所获得的利润能否达到510元？若不能，请说明理由． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； （3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值． 23 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 24. 阅读材料： 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 灵活运用】 （1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是4和12，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级第一次独立作业数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x+3≥0，即x≥-3． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式是解答本题的关键． 2. 下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式根式的判定，掌握最简二次根式的两个条件是否同时满足（①被开方数不含有分母，②被开方数不含有能开得尽方的因数或因式）成为接听人的关键． 根据最简二次根式根式的条件逐项判断即可． 【详解】解：A． 被开方数含有分母，故A不符合题意； B． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．被开方数还能再开方，故C不符合题意； D． 被开方数是小数，故D不符合题意； 故选B． 3. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解. 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 4. 在学校举行“健康阳光少年，做更好的自己”的演讲比赛中，六位评委给小钟的评分分别为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可． 【详解】解：∵这组数据排序后为，，，，，， ∴这组数据的众数为87，,中位数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数：如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 6. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，把代入一元二次方程得，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】解：把代入一元二次方程得， 解得， 而， 所以． 故选：A． 7. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 7 7 8 1 1.1 1 1.6 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于明确进行决策需要考虑的因素．根据平均数和方差综合决定即可求解． 【详解】解：由表格可知，甲和丁的平均数一样，且最高，而甲的方差小，则稳定， ∴选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选甲， 故选：A． 8. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ） A. 120（1－x）2=100 B. 100（1－x）2=120 C. 100（1＋x）2=120 D. 120（1＋x）2=100 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为 ∴由题意列方程为： 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确的列方程． 9. 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、勾股定理，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据根与系数关系求得，，利用完全平方公式求得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直角三角的两条直角边，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 10. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③；由题意可得即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④正确； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 一元二次方程的根是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，灵活运用因式分解法成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 所以、． 故答案为：，． 12. 已知是关于x的一元二次方程，则a等于______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据定义得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴ 解得 故答案为： 13. 一个小组共有名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了个，这个学生这次测试成绩的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了方差，先求出数据的平均数，再利用方差公式计算即可求解，掌握方差公式是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴方差， 故答案为：． 14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，然后判断出，，的正负情况，再根据二次根式的性质去掉根号，进行计算即可得解． 【详解】解：根据图形可得，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据图形判断出a、b的取值范围，是解题的关键． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 又∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， 当时，， ∴符合条件的m的值为． 故答案为：． 16. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 【答案】2019 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， 解得， ， 则代数式能取的最小值是2019． 故答案为：2019 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加法运算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法和因式分解法解一元二次方程成为解题关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可解答； （2）直接运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴该方程有两个不等的实数根， ∴，即，． 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题， （1）根据勾股定理画出，，的格点三角形； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，，，， 【小问2详解】 ∵，即 ∴是直角三角形，且斜边为， ∴边上的高为 20. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭8月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图． （1）小明所调查家庭8月份用水量的众数是___________，中位数是___________； （2）求所调查家庭8月份用水量平均数； （3）若该小区有600户居民，请你估计这个小区8月份的用水量． 【答案】（1）4；4 （2）吨 （3）估计这个小区8月份的用水量为2700吨． 【解析】 【分析】（1）根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出答案；条形图上户数之和即为调查的家庭户数，根据中位数的定义：一组数据从小到大（或从大到小）的顺序排列之后，第10和第11位数据的平均数即为中位数，即可得出； （2）根据平均数的计算公式直接计算即可； （3）利用样本估计总体的方法，用600×所调查的20户家庭的平均用水量即可． 【小问1详解】 解：每月用水4吨的户数最多，有6户， 故众数为4； ， ∴一共调查了20户家庭； 第10和第11位数据分别是4，4， ∴中位数是 故答案为：4，4； 【小问2详解】 解：所调查家庭8月份用水量平均数为： （吨） 【小问3详解】 解：根据题意得： （吨）， 答：估计这个小区8月份的用水量为2700吨． 【点睛】此题主要考查了条形统计图，中位数，众数，平均数，以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）设提价元，则该水果每千克利润是__________元，每天可以卖出水果__________千克．（用含的代数式表示） （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ （3）该水果店每天销售这种水果所获得的利润能否达到510元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）单价应定为8元 （3）不能，最大利润为500元，理由见解析 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据利润＝售价进价和“水果的单价每提高1元／千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （1）根据利润=售价一进价列出方程并解答； （3）通过建立利润关于提价的二次函数，根据二次函数性质判断利润能否达到指定值。 【小问1详解】 解：每千克水果的利润元及每天的销售量千克． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， 化简得：， 解得， 因为让利于顾客， 所以符合题意， 答：单价应定为8元． 【小问3详解】 解：设总利润为元，由总利润=每千克利润销售量，可得： ， 对于二次函数，这里， 根据二次函数顶点坐标公式，可得， 把代入函数得（元）， ，二次函数图象开口向下， 所以函数有最大值500元，即利润不能达到510元， 答：不能，最大利润为500元． 22. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）； （3）如果此方程根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值． 【答案】(1)见解析;(2);(3)k=3. 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根需要满足的条件可证明 （2）由求根公式可求出 （3）刚好是一个等边三角形的边长，说明两个实数根相等． 【详解】解：（1）依题意，得 .∵， ∴此方程总有两个实数根. （2）由求根公式，得 ∴ （3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长， ∴k-1=2. ∴k=3. 【点睛】熟练掌握一元二次方程的求根公式及满足一元二次方程有两个实数根的条件是解决本题的关键 23. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：；目标2：（1）；（2）不能，计算见解析 【解析】 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 24. 阅读材料： 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形的对角线，相交于点，和的面积分别是4和12，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），；（2）；（3）米；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键. （1）参考例题得求解过程即可；（2）根据，求出得最小值即可求解；（3）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解；（4）作，可得；根据四边形面积即可求解； 【详解】解：（1）令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2） 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． ∴代数式的最小值为 （3）设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故：所用的围栏至少为米 （4）作，如图所示： 由题意得： ∵ ∴四边形面积 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． ∴四边形面积的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $