精品解析：山东省高密市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学春学竞赛试题 2025.3 一．选择题（共8小题） 1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据规律，利用观察法求出通项即可. 【详解】因为的前4项依次为， 所以的一个通项公式为． 故选：． 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，为等差数列，再根据等差中项的性质即可得到答案. 【详解】因为是等差数列，所以，，为等差数列， 即成等差数列， 所以，解得. 故选：B 3. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质可求出的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式可判断C选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可得，可得，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 4. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关， 又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：A 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得，该人从第二天起每天所走路程构成以为公比的等比数列， 设该数列为，其前项和为， 则有，解得， 故选：B. 6. 某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为， 因此，即， 所以. 故选：A 7. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】∵, ∴， ∴, 故选：B． 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【详解】由题意可知，，，，，， ，，，，，……， 可知数列从开始，是以3为周期的数列， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 二．多选题（共3小题） 9. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ） A. 与正相关的充要条件是 B. 直线过点 C. 与之间的相关系数为 D. 当增大一个单位时，增大个单位 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线方程的意义一一判断即可. 【详解】依题意与正相关的充要条件是，故A正确； 根据回归直线的性质可知直线必过点，故B正确； 因为与之间的相关系数， 而，故C错误； 因为，所以当增大一个单位时，增大个单位，故D正确. 故选：ABD 10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，分，讨论，判断各选项. 【详解】因为数列为等差数列， 由，所以. 所以，故B正确； 当时，由，所以，，所以，故C正确； 当时，由，所以，，所以，即，故D错误； 当时，时，取最小值；当时，时，取最大值.故A错误. 故选：BC 11. 已知数列的通项公式为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得是以，的等差数列，则，（），然后分n为偶数和n为奇数，逐个分析判断. 【详解】由，可知是以，的等差数列， 所以，， 所以（），即，A正确； 当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以，B正确； 当n为偶数时， ， 当n为奇数时， 所以，C错误 因为，，（）， 所以 ，D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：此题考查等差数的求和，考查分组并项求和法，解题的关键是对分奇偶数讨论求出，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 三．填空题（共3小题） 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴为， 所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为______. 【答案】6或7 【解析】 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 14. 杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设第次传球后球在甲手中的概率为，根据题意建立数列的递推关系式，并构造等比数列，即可求解. 【详解】设第次传球后球在甲手中的概率为，则， 得，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为： 四．解答题（共5小题） 15. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合等比数列的通项公式代入即可求解； （2）利用分组求和法结合等差等比的前项公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列公比为q， 因为， 所以，， 因为，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 16. 某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名，二级运动员4名，三级运动员2名．现举办奥运选拔赛，一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25． （1）从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，求一级运动员人数最多的概率； （2）从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式即可求解； （2）利用全概率公式求解． 【小问1详解】 设事件表示“所选4人中一、二、三级运动员都有入选”，事件表示“一级运动员人数最多”， 则，， 所以， 即已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，一级运动员人数最多的概率为； 【小问2详解】 设事件表示“这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛能够晋级”， 则． 17. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中个红球，个黄球． （1）若，现采用有放回摸球次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量，若，，求和的值； （2）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量，求的分布列以及数学期望． 【答案】（1）; （2） 2 3 4 . 【解析】 【分析】(1)由题,利用二项分布的期望与方差公式列方程组求解即可; (2) 判断的所有可能取值,并逐一求解概率值,最后利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知,每次摸到红球的概率是,所以, 所以, 解得:; 【小问2详解】 由题意得:的所有可能取值为, 则, 所以的分布列为 2 3 4 所以数学期望. 18. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 【答案】（1）， （2）模型②拟合效果更好，11.94万件 【解析】 【分析】（1）求出变量的均值后，根据经验回归方程中的公式计算即可求出系数，得到回归方程； （2）根据残差平方和选择模型，利用模型的回归方程预测时的销售量即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以，， 所以模型①的经验回归方程为， 由，两边取自然对数可得，即， 所以，， 所以模型②的经验回归方程为 【小问2详解】 因为，即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好. 所以当时，， 即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 19. 在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列. （1）求的值; （2）求数列的通项公式: （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由成等比数列求得； （2）利用累加法可求数列的通项公式； （3）由（2）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求得． 【小问1详解】 ，，， 因为成公比不为1的等比数列， 所以，解得或. 当时，，不符合题意舍去， 故. 【小问2详解】 当时， 由于， 所以， 又，故. 当时，满足上式， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， ， 两式相减得 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学春学竞赛试题 2025.3 一．选择题（共8小题） 1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 54 B. 63 C. 72 D. 135 3. 已知的分布列为 则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ） A. 228里 B. 192里 C. 126里 D. 63里 6. 某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（ ） A. B. C. D. 7. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．多选题（共3小题） 9. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ） A. 与正相关的充要条件是 B. 直线过点 C. 与之间的相关系数为 D. 当增大一个单位时，增大个单位 10. 设分别为等差数列的公差和前项和，若，则下列论断中正确的（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知数列的通项公式为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三．填空题（共3小题） 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为______. 14. 杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为__________. 四．解答题（共5小题） 15. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 16. 某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名，二级运动员4名，三级运动员2名．现举办奥运选拔赛，一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25． （1）从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，求一级运动员人数最多的概率； （2）从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率． 17. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中个红球，个黄球． （1）若，现采用有放回摸球次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量，若，，求和的值； （2）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量，求的分布列以及数学期望． 18. 某小微企业对其产品研发的年投入金额（单位：万元）与其年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： 1 5 7 8 9 2 3 6 8 11 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 （1）公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程； （2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和3.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：，，． 19. 在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列. （1）求的值; （2）求数列的通项公式: （3）求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $