精品解析：辽宁省沈阳市民办联考2023-2024学年九年级下学期中考一模数学试题

2025年辽宁省初中学业水平考试数学模拟试卷（一） （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由五个相同小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 我省部分城市年第一个工作日的最低气温如表： 城市 阜新 抚顺 沈阳 大连 最低气温/ 其中最低气温最小的城市是（ ） A. 阜新 B. 抚顺 C. 沈阳 D. 大连 3. 2024年11月14日，随着十余家车企的整车下线，中国新能源汽车迎来了年产1000万辆的历史时刻．将10000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，点在上，当是等腰直角三角形时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（ ） A. 游戏公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法判断 7. 下列古今中外的建筑与其反映的设计理念相符的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线，交于点O，过点O作交于点E，交于点F．过点D作交延长线于点G．若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在x轴负半轴上，顶点C在直线上，若顶点E的坐标是，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移______个单位长度． 13. 如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____． 15. 如图，点在直线外，在直线上任取两点，，分别以和为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，作直线，连接．则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． （1）求甲种树苗每棵多少元？ （2）若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 18 某市统计局月份公布了如下信息： 信息一：月全市新建商品住宅网上签约销售套，销售面积为万平方米，成交金额为万元． 信息二： （1）计算该市月新建商品住宅网上签约销售均价，并补全折线统计图和扇形统计图； （2）该市月新建商品住宅网上签约销售的每套平均面积是多少平方米？某人的平均工资为元/月，若他购买这样的一套新建商品住宅，则至月总房款的最大价格差相当于他多少个月的工资？（精确到个位） （3）若月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以上区间的以元/平方米计，至元/平方米区间的以元/平方米计，则月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以下区间的应以多少元/平方米计？ 19. 随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 20. 如图，有人为了图一时省事抄近路踩踏草坪．在四边形的园区绿地中，行人抄近路走，且，分别交和于点和．已知，，． （1）求抄近路走比走折线“”近了多少？（精确到） （2）“堵不如疏”，物业为此准备将行人踩踏草坪形成的“土路”修建成甬路．若，求剩余绿地的面积（精确到）．（参考数据：，） 21. 如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． （1）求证：是的切线； （2）若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 22. 如图，点是射线上一点，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，平分，点是上一点，分别连接和． （1）如图，求证：； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ①如图，当时，猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图，当时，问①中与位置关系是否仍然成立？请说明理由； ③在值变化过程中，当点落在射线上时，若，且，求的面积． 23. 【问题初探】 （1）如图，在平面直角坐标系中，已知点和直线． ①若点到直线的距离与的长度相等，求m的值； ②若点到直线的距离与的长度相等，求n的值． 【类比分析】 （2）已知点，若点P到直线的距离与的长度相等，求x与y之间对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并绘制出函数图象． 霖霖从几何法入手进行了求解：在直线上任取一点并作垂直于直线，则点P一定在直线上．连接，作③ ，与直线的交点就是点P，……； 萍萍从代数法入手进行了求解：直接用代数式分别表示点P到直线的距离d和的长度l，则d和l一定满足的数量关系是④ …… 请你写出③和④对应的内容，并任选霖霖或萍萍的思路完成求解过程（其他思路也可）． 【学以致用】 （3）在问（2）函数关系中，因变量的取值范围是怎样的？因变量随着自变量的增大有怎样的相应变化？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省初中学业水平考试数学模拟试卷（一） （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有1个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 我省部分城市年第一个工作日的最低气温如表： 城市 阜新 抚顺 沈阳 大连 最低气温/ 其中最低气温最小的城市是（ ） A. 阜新 B. 抚顺 C. 沈阳 D. 大连 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的实际应用，根据负数比较大小，绝对值大的反而小得出所给数据的大小，进而即可可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最低气温最小城市是抚顺， 故选：． 3. 2024年11月14日，随着十余家车企的整车下线，中国新能源汽车迎来了年产1000万辆的历史时刻．将10000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 4. 如图，在矩形中，点在上，当是等腰直角三角形时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．由矩形得到，继而得到，而是等腰直角三角形，因此得到． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及单项式乘以多项式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 6. 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（ ） A. 游戏公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 7. 下列古今中外的建筑与其反映的设计理念相符的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握以上定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 8. 我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，的对角线，交于点O，过点O作交于点E，交于点F．过点D作交延长线于点G．若的周长为20，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等；由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 的周长为20， ， 在和中 ， （）， ， ； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在x轴负半轴上，顶点C在直线上，若顶点E的坐标是，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，将此代入直线解析式，求出的坐标，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， 轴， ， 顶点E的坐标是， ， ， 解得：， ， ， ； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．先去分母，化分式方程为整式方程，直接求解即可． 【详解】解：， 去分母，两边同乘以得：， 移项合并同类项得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移______个单位长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，根据平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移个单位长度， 故答案为： 13. 如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，即得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解． 【详解】解：∵与x轴交于点和点， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，点在直线外，在直线上任取两点，，分别以和为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，作直线，连接．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，根据题意可得，则垂直平分，进而可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式混合运算； （1）先进行乘方、除法、化简二次根式、去绝对值运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先对分子进行因式分解，进行乘法运算，再进行加减运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解； 能熟练进行实数混合运算及分式混合运算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． （1）求甲种树苗每棵多少元？ （2）若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 【答案】（1）元 （2）棵 【解析】 【分析】（）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元， 由题意得，， 解得， 答：甲种树苗每棵元； 小问2详解】 解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得，， 解得， 答：至少要购买甲种树苗棵． 18. 某市统计局月份公布了如下信息： 信息一：月全市新建商品住宅网上签约销售套，销售面积为万平方米，成交金额为万元． 信息二： （1）计算该市月新建商品住宅网上签约销售均价，并补全折线统计图和扇形统计图； （2）该市月新建商品住宅网上签约销售的每套平均面积是多少平方米？某人的平均工资为元/月，若他购买这样的一套新建商品住宅，则至月总房款的最大价格差相当于他多少个月的工资？（精确到个位） （3）若月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以上区间的以元/平方米计，至元/平方米区间的以元/平方米计，则月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以下区间的应以多少元/平方米计？ 【答案】（1）销售均价为元/平方米，补图见解析 （2）每套平均面积为平方米，相当于他个月的工资 （3）元/平方米 【解析】 【分析】（）用成交金额除以销售面积可求出销售均价，进而可补全图形； （）用销售面积除以销售套数可求出每套平均面积，再根据折线统计图找出至月最低均价和最高均价，求出总房款的最大价格差，进而除以即可求解； （）设月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以下区间的应以元/平方米计，利用加权平均数公式计算即可求解； 本题考查了扇形统计图和线统计图，加权平均数，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：月新建商品住宅网上签约销售均价为元/平方米， 补全折线统计图和扇形统计图如下： 【小问2详解】 解：该市月新建商品住宅网上签约销售的每套平均面积为平方米， 由折叠统计图可知，至月最低均价为元，最高均价为元， ∴至月总房款的最大价格差为元， ∵， ∴相当于他个月的工资； 【小问3详解】 解：设月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以下区间的以元/平方米计， 由题意得，， 解得， 答：月新建商品住宅网上签约均价在元/平方米以下区间的应以元/平方米计． 19. 随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（）由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元，据此即可列出函数关系式； （）由题意可得， 再根据方程解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元， ∴， 即； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无解， ∴甲产品的日销售额不能达到元． 20. 如图，有人为了图一时省事抄近路踩踏草坪．在四边形的园区绿地中，行人抄近路走，且，分别交和于点和．已知，，． （1）求抄近路走比走折线“”近了多少？（精确到） （2）“堵不如疏”，物业为此准备将行人踩踏草坪形成的“土路”修建成甬路．若，求剩余绿地的面积（精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1）抄近路走比走折线“”近了 （2）剩余绿地的面积 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，含角直角三角形，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，求出，求得； （2）作交的延长线于点，得到四边形是矩形，继而得到，，，求出，求得，分别求出的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 抄近路走比走折线“”近了； 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ，，， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 剩余绿地的面积． 21. 如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． （1）求证：是的切线； （2）若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 【答案】（1）见解析 （2）该硬币（）的直径为 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证； （2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是内接正九边形的一条边， ∴中心角， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴该硬币（）的直径为． 22. 如图，点是射线上一点，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，平分，点是上一点，分别连接和． （1）如图，求证：； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． ①如图，当时，猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图，当时，问①中与的位置关系是否仍然成立？请说明理由； ③在值变化过程中，当点落在射线上时，若，且，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，证明见解析；②仍然成立，理由见解析；③ 【解析】 【分析】（）利用即可求证； （）①连接，可得点三点共圆，圆心为点，即得，又由等腰直角三角形的性质得，即得，即可求证；②同理①求证即可； （）由（）可知，利用勾股定理求出即可求解； 【小问1详解】 证明：由旋转得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ①，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴点三点共圆，圆心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点三点共圆，圆心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③如图，由（）可知， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）如图，在平面直角坐标系中，已知点和直线． ①若点到直线的距离与的长度相等，求m的值； ②若点到直线的距离与的长度相等，求n的值． 【类比分析】 （2）已知点，若点P到直线的距离与的长度相等，求x与y之间对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并绘制出函数图象． 霖霖从几何法入手进行了求解：在直线上任取一点并作垂直于直线，则点P一定在直线上．连接，作③ ，与直线的交点就是点P，……； 萍萍从代数法入手进行了求解：直接用代数式分别表示点P到直线的距离d和的长度l，则d和l一定满足的数量关系是④ …… 请你写出③和④对应的内容，并任选霖霖或萍萍的思路完成求解过程（其他思路也可）． 【学以致用】 （3）在问（2）的函数关系中，因变量的取值范围是怎样的？因变量随着自变量的增大有怎样的相应变化？请说明理由． 【答案】（1）①，②或；（2）作的垂直平分线，，过程见解析；（3）是任意实数，当时，因变量随自变量增大而增大，当时，因变量随自变量增大而减小，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查点到直线的距离，两点间距离公式，新定义函数，解题的关键是正确理解和应用相关知识． （1）①点到直线的距离为，的长度为，根据题意得到，绝对值方程分类讨论后即可得到答案；②点到直线的距离为，的长度，根据题意得到，求解即可； （2）几何法，根据题意点P到直线的距离与的长度相等，说明点在垂直平分线上，则可知③作的垂直平分线；代数法，根据题意可知④，直接用代数式表示，求解即可得到，找点画出函数图像即可． （3）根据函数的图象进行判断即可． 【详解】（1）解：①点到直线的距离为， 的长度为， 根据题意，得， 当时，原方程变为，无解； 当时，方程变为，解得； 当时，方程变为，无解； ∴； ②到直线的距离为， 的长度为， 根据题意，得， 平方后，得：， 解得：或； （2）③作的垂直平分线， ④ 选代数法： 点到直线的距离为， 的长度为， 根据题意需，得： 则， 平方变形后，得： ， ∴函数关系式是， 当， 当，或， 根据坐标，用描点法画出函数图象如下： （3）∵， ∴函数图像为开口向右的抛物线，顶点，对称轴为 根据函数图象，当，任意实数 当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$