精品解析：2025年江苏省宿迁市宿豫区九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度初三一模试卷 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 与8和为0的数是（ ） A. 8 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. 15 B. C. 2 D. 5. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（ ） A. B. C D. 7. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使根式有意义的x的取值范围是___． 10. 电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节档热播，反映了中国在动画电影上的突出表现．百度显示，截至2月25日上午11时20分，《哪吒之魔童闹海》的票房已突破138亿元，数据138亿用科学记数法表示为__________． 11. 方程的解为_____． 12. 点、都在一次函数的图象上，则___ (填“＞”“＝”或“＜”）． 13. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，则__________． 14. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．若，，，则的半径为__________． 15. 若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是__________． 16. 如图，已知菱形的对角线，，则__________． 17. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为__________． 18. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段最小值为__________． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算：． 20. 求不等式组的整数解． 21. 已知，求的值． 22. 如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． 23. 某校在周三下午开设了五个社团活动，分别是：（篮球）、（足球）、（打印）、（口才）、（书法）． （1）小明同学从中随机任选一个社团参加活动，选中（篮球）社团的概率是_____； （2）由于（口才）和（书法）两个社团报名人数已满，小明和小刚想从剩余三个社团中任选一个报名，则两人刚好报名同一社团的概率是多少？ 24. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． （1）求，的值； （2）根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； （3）若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 25. 如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 26. 某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 27. 在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； （2）已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 28. 已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且， （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值； （3）若抛物线与轴交于点、，当为何值时面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度初三一模试卷 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 与8和为0的数是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．找出的相反数即为所求． 【详解】解：∵8与是互为相反数， ∴与的和为0的数是． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、同底数幂相除，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，平分．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 若，则的值是（ ） A. 15 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将代数式因式分解，然后将已知式子的值整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 5. 如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取格点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 根据题意可得等量关系：人数人数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设有人共同买鸡，根据题意得： 故选A． 7. 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由得到，代入到关于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】解：， ， 代入到关于的方程得，， 整理得：， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 8. 如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 10. 电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节档热播，反映了中国在动画电影上突出表现．百度显示，截至2月25日上午11时20分，《哪吒之魔童闹海》的票房已突破138亿元，数据138亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：138亿元元元， 故答案为：． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题的关键．根据分式方程的解法，首先去分母，进而得到整式方程，解方程并检验得出答案． 【详解】解： ∴ 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 点、都在一次函数的图象上，则___ (填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解决此题的关键．由时，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：根据一次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，则__________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得出，，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．若，，，则的半径为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，先根据勾股定理求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴半径为， 故答案为：． 15. 若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得不等式的解集为，然后根据最小整数解为2可进行求解． 【详解】解：由不等式可知：， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 故答案为：． 16. 如图，已知菱形的对角线，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题菱形的性质，正弦的定义，过D作于E，根据菱形的性质和勾股定理可求出，根据等面积法可求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵菱形的对角线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵， ∴， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的个数有4个， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理等知识，连接，取中点O，连接，判断点F 在以为直径的圆上运动，则当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为，然后在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，取中点O，连接， ∵以为直径作圆与交于点， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上运动， ∴当O、F、B三点共线，且F在线段上时，最小，最小值为， 在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含特殊角锐角三角函数值的实数混合运算，先计算立方根，乘方，绝对值，再代入特殊三角函数，即可解题． 【详解】解：原式 ． 20. 求不等式组的整数解． 【答案】不等式组的整数解为 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求出公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为． 21. 已知，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 22. 如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 四边形是矩形， 理由如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，灵活应用相关性质、判定定理是解答本题的关键．根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得到，由，易证四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】略 23. 某校在周三下午开设了五个社团活动，分别是：（篮球）、（足球）、（打印）、（口才）、（书法）． （1）小明同学从中随机任选一个社团参加活动，选中（篮球）社团的概率是_____； （2）由于（口才）和（书法）两个社团报名人数已满，小明和小刚想从剩余的三个社团中任选一个报名，则两人刚好报名同一社团的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到两人报名同一社团的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：小明同学从中随机任选一个社团参加活动，选中（篮球）社团的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好报名同一社团的结果为3种， ∴两人恰好选中同一社团的概率为． 24. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． （1）求，的值； （2）根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； （3）若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴ 代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：由（1）知：， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或． 25. 如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定与性质，过点作交于点，过点作于点，则四边形为平行四边形，分别求出、，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作于点， 由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴窗户顶端到地面的距离为． 26. 某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答． 【小问1详解】 解：设函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得，， 由（1）得，， ， 当时，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 27. 在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； （2）已知． ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于．求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长． 【答案】（1） 证明：连接并延长交的延长线于P， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接并延长交的延长线于P，证明，得出，结合已知可得出，，证明，得出，则可证明，即可证明； （2）①连接并延长交的延长线于P，证明，求出，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，求出，即可求解； ②设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F，证明，得出，由角平分线定义得出，结合平行线的性质可求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接并延长交的延长线于P， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，过O作于F， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 28. 已知抛物线过点和点，且，直线过定点，交线段于点，记的面积为，的面积为，且， （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值； （3）若抛物线与轴交于点、，当为何值时面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式． 【答案】（1）直线 （2）1 （3）的面积最小值为，此时抛物线的解析式为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积问题、二次函数与一元二次方程、待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式即可求解； （2）根据抛物线过点，，得到，设点的坐标为，其中，再利用三角形的面积公式得出，，由整理得到，得出，最后代入和到，利用待定系数法即可求解； （3）令，用含的代数式表示出，再利用三角形的面积公式得出，再结合二次函数的性质求出的面积最小值和此时的值，即可得出抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：抛物线， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：抛物线过点，， 点和点关于抛物线对称轴对称，且直线为， ，即， 点在线段上， 设点的坐标为，其中， ， 点到直线的距离为， ，， ， ， 整理得：， 点的坐标为， 代入和到，得， 解得：， 的值为1． 【小问3详解】 解：令，则， 解得：，， ， ， 点到轴的距离为2，即点到的距离为2， ， 当时，有最小值3，此时有最小值， 此时抛物线的解析式为， 综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $