专题12.2复数的几何意义（五个重难点突破）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题12.2复数的几何意义 一、复数与复平面内的点 四、复数的轨迹 二、复数的模 五、复数模的最值问题 三、复数与复平面内的向量 知识点1复数的几何意义 1.复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 知识点2复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 重难点一、复数与复平面内的点 【例1】已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【例2】已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 【变式1-2】已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】若实数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 重难点二、复数的模 【例3】若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 【例4】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 【变式2-2】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为 . (1)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离． (2)转化思想：利用模的定义将复数模的问题转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想． 重难点三、复数与复平面内的向量 【例5】在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【变式3-2】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【变式3-3】已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的向量分别为，其中为原点，求. 复数与向量是一一对应关系 重难点四、复数的轨迹 【例7】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【变式4-1】设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．一条直线和一个圆 C．两个圆 D．一个圆 【变式4-3】定义运算，若复数满足的模等于，则复数对应的点的轨迹方程为 ． 重难点五、复数模的最值问题 【例9】若复数满足，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例10】已知复数满足，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知复数满足，则的最大值为 . 【变式5-2】复数z满足，求的取值范围. 【变式5-3】已知复数满足，，则的取值范围是 ． 1．已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 3．已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 4．已知复数，为虚数单位，若，则在复平面内复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（    ） A．5 B． C．2 D． 6．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数z满足，则 C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D．若复数z满足若，且，则的最小值为4 7．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 9．若复数为纯虚数，则 . 10．若复数和复数满足，则 ． 11．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 12．复数，那么的最大值是 13．设复数，其中. (1)若是纯虚数，求的值； (2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.2复数的几何意义 一、复数与复平面内的点 四、复数的轨迹 二、复数的模 五、复数模的最值问题 三、复数与复平面内的向量 知识点1复数的几何意义 1.复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 知识点2复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 重难点一、复数与复平面内的点 【例1】已知，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．实轴上 B．虚轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】因为，所以 所以复数所对应的点坐标为，位于直线上. 故选：C. 【例2】已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：．则有. 故选：A 【变式1-1】如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 【答案】C 【详解】由题意，向量对应的复数是， 则. 故选：C. 【变式1-2】已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设， 因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 所以，， 又， 所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 【变式1-3】若实数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解法一  因为，所以，即， 解得，故，其在复平面内对应的点为，位于第一象限； 解法二  因为，所以，即，解得． 当时，，不合题意， 当时，，符合题意，因而，，其在复平面内对应的点为，位于第一象限， 解法三  ， 则，其在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A． (1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 重难点二、复数的模 【例3】若复数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．96 【答案】C 【详解】因为复数，所以， 故. 故选：C 【例4】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数对应的向量，则， 所以. 故选：A 【变式2-1】已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】 因为， 所以，所以. 故选：C. 【变式2-2】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-3】已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为 . 【答案】 【详解】设，则，即，解得. 故，则的虚部为. 故答案为： (1)复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离． (2)转化思想：利用模的定义将复数模的问题转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化的思想． 重难点三、复数与复平面内的向量 【例5】在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题意得， 则， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C 【例6】在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 【变式3-1】如图，向量对应的复数是z，试作出下列运算结果所对应的向量. (1)；         (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）向量对应的复数是， ，用表示，如下图； （2）向量对应的复数是，， 用表示，如下图； 【变式3-2】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 【变式3-3】已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的向量分别为，其中为原点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为为纯虚数，所以， 解得. （2）由（1）得，又， 所以在复平面内对应点的坐标分别为和， 所以 复数与向量是一一对应关系 重难点四、复数的轨迹 【例7】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆， 所以面积为. 故选：B. 【例8】已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 【变式4-1】设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为， 则其面积为. 故选：A. 【变式4-2】复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．一条直线和一个圆 C．两个圆 D．一个圆 【答案】C 【详解】由，解得或. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 故选：C 【变式4-3】定义运算，若复数满足的模等于，则复数对应的点的轨迹方程为 ． 【答案】． 【详解】由题意知，则它的模为，解得. 故答案为： 重难点五、复数模的最值问题 【例9】若复数满足，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】设，则由得动点在单位圆上， 因为 所以表示单位圆上的动点到点的距离， 所以最大值为. 故选：B 【例10】已知复数满足，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知复数满足， 可得复数在复平面内对应的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式5-1】已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】我们有. 而当时，有，. 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式5-2】复数z满足，求的取值范围. 【答案】 【详解】解：表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 如图，从图中可直观地得到的最小值为， 的最大值为， ∴的取值范围是 【变式5-3】已知复数满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据复数的模的几何意义可知，复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数 对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 则的几何意义为圆上的点到圆上的点的距离， 根据图象可知 故答案为： 1．已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故. 故选：B 2．已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 3．已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】C 【详解】设，则， 由，得，即， 所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆， 因为为z的共轭复数，所以 即， 而可看作该圆上的点到原点的距离的平方， 所以. 故选：C. 4．已知复数，为虚数单位，若，则在复平面内复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】分析：先根据，利用复数的运算求出，再根据复数的表示和几何意义，即可得到结果. 详解：因为， 又由，则， 所以对应的点位于第四象限，故选D. 点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为． 5．在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】复平面内，复数，对应的点分别是， 则有，，， ， . 故选：D 6．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 B．已知复数z满足，则 C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D．若复数z满足若，且，则的最小值为4 【答案】BCD 【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误 对于B：， 所以，B正确. 对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为， 则，解得，C正确. 对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， 则最小值为，D正确； 故选：BCD. 7．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 8．在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 【答案】 【详解】因为复数对应的点为A，对应的点为B， 所以,. 所以. 故答案为： 9．若复数为纯虚数，则 . 【答案】5 【详解】解：由题意：复数为纯虚数，可得 ，解得：，可得，则， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查纯虚数的概念及复数的模，相对简单. 10．若复数和复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 11．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 【答案】 【详解】设， ， ,即， 化简整理可得 ， 复数的对应点的轨迹， 对应的点为点， 点与点之间距离的最小值为， 故答案为： 12．复数，那么的最大值是 【答案】 【详解】设，且，， 所以，令 则 所以最大值为， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用待定系数法结合三角函数求得最值． 13．设复数，其中. (1)若是纯虚数，求的值； (2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）是纯虚数，只需，解得. （2）由题意知， 解得， 故当时，所对应的点在复平面的第四象限内. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$