考点03 复数的几何意义（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点03 复数的几何意义 考点一：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 考点二：复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 题型一：复数与复平面内的点的关系 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 常混淆实轴、虚轴对应坐标，错把虚部当作纵坐标以外的量；误将虚轴上的点写成含实部的形式，或把纯虚数标在实轴上；判断对应点所在象限时，忽略实部、虚部的正负符号. 1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 5．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二：复数与复平面内的向量的关系 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 混淆复数、点、向量三者对应关系，错认为复数等于向量长度；把向量坐标顺序写反，误将虚部作横坐标；忽略向量平移后仍表示同一复数，判断时受起点位置干扰；求对应复数时只算模长，忽略方向与符号；混用向量模长与复数实部、虚部，导致坐标计算错误。 1．设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 3．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 5．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：复数加减法的几何意义 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 错把复数加减直接等同于坐标数值加减，忽略平行四边形法则与三角形法则；作向量相加时，误将向量首尾相接当作相减；判断向量方向时常搞反减数与被减数，导致方向出错；忽略几何意义中模长与夹角的变化，只死记代数运算；平移、合成向量时漏看正负，造成象限判断错误。 1．已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 2．如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 3．已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 4．在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 5．已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 题型四：复数的模及其应用 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 错把复数模长当成实部加虚部 1．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 5．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 题型五：复数模的几何意义 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 常错把模的几何意义只理解为长度，忽略其表示复平面内点到原点的距离 1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 题型六：复数的轨迹与最值问题 利用几何意义进行转化． 不会把复数条件转化为复平面内的几何轨迹，直接硬算代数方程；混淆圆、线段、直线等轨迹模型，错判图形形状与范围；求最值时误用三角不等式，忽略等号成立条件；参数范围考虑不全，漏端点或象限情况；计算模长最值时，错把圆心到原点距离直接加减半径，忽略图形位置导致错误。 1．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 5．若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 1．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 3．（多选题）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 4．（多选题）若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 5．（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 6．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 7．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 8．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是___________． 9．定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 10．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 11．已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 12．已知，若对应的点在第二象限，求a的取值范围． 13．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 14．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 15．设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？ 16．已知为复数，为实数，，且，求． 17．从①，且的虚部是2；②；③，z为的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线上作出解答． 已知i为虚数单位，复数z满足_____________，设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求的面积． 18．已知复数，，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，求实数a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 复数的几何意义 考点一：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 考点二：复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 题型一：复数与复平面内的点的关系 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 常混淆实轴、虚轴对应坐标，错把虚部当作纵坐标以外的量；误将虚轴上的点写成含实部的形式，或把纯虚数标在实轴上；判断对应点所在象限时，忽略实部、虚部的正负符号. 1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 2．复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A 3．在复平面内，复数对应的点不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】设， 对于A：若复数位于第一象限，则须满足，解得且，此时无解，即复数不可能位于第一象限，故A正确； 对于B：若复数位于第二象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第二象限，故B错误； 对于C：若复数位于第三象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第三象限，故C错误； 对于D：若复数位于第四象限，则须满足，解得且， 即，即复数可能位于第四象限，故D错误. 故选：A. 4．设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【解析】因为，则， 则，解得：或， 所以或，其在复平面内对应的点位于第一、三象限． 故选：C 5．设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 对应的点位于第四象限. 故选：D. 题型二：复数与复平面内的向量的关系 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 混淆复数、点、向量三者对应关系，错认为复数等于向量长度；把向量坐标顺序写反，误将虚部作横坐标；忽略向量平移后仍表示同一复数，判断时受起点位置干扰；求对应复数时只算模长，忽略方向与符号；混用向量模长与复数实部、虚部，导致坐标计算错误。 1．设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解析】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 2．已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 3．在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 4．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数对应的点为, 所以， 对应复数为. 故选：A 5．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意得， 则， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C 题型三：复数加减法的几何意义 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 错把复数加减直接等同于坐标数值加减，忽略平行四边形法则与三角形法则；作向量相加时，误将向量首尾相接当作相减；判断向量方向时常搞反减数与被减数，导致方向出错；忽略几何意义中模长与夹角的变化，只死记代数运算；平移、合成向量时漏看正负，造成象限判断错误。 1．已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【解析】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 2．如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 【解析】， 对应的两个复数相加的运算过程： 3．已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【解析】（1）复数． 如图，． （2）． 4．在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模． 【解析】三个复数对应的向量，，，如图所示． ， ， ． 5．已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【解析】设第四个顶点对应的复数为，如图. 则， . ， ，解得，故点对应的复数为. 题型四：复数的模及其应用 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 错把复数模长当成实部加虚部 1．已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 2．若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，所以． 故选：C. 3．若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则， 所以，且， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 4．若复数，则（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】，. 故选：A. 5．设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故选：A. 题型五：复数模的几何意义 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 常错把模的几何意义只理解为长度，忽略其表示复平面内点到原点的距离 1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2．已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 3．已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】设，则， 所以，故， 所以复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆， 则复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 5．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 题型六：复数的轨迹与最值问题 利用几何意义进行转化． 不会把复数条件转化为复平面内的几何轨迹，直接硬算代数方程；混淆圆、线段、直线等轨迹模型，错判图形形状与范围；求最值时误用三角不等式，忽略等号成立条件；参数范围考虑不全，漏端点或象限情况；计算模长最值时，错把圆心到原点距离直接加减半径，忽略图形位置导致错误。 1．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 2．已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 3．若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 4．已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 5．若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 1．（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 2．（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【解析】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； ，令， 则， ，与不一定相等，B错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，C正确； 设， 则， =，D正确． 故选：CD 3．（多选题）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【答案】ABD 【解析】设，则 ，故A正确； 因为，，，， 这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上，故B正确； 因为为定值，最大、最小值相等，都是1，故C错误； 根据复平面的定义，轴是复平面的实轴，轴是虚轴，故D正确． 故选：ABD． 4．（多选题）若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 5．（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【解析】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 6．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【解析】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 7．在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________． 【答案】5 【解析】由已知，得，，， 所以． 由，可得，解得， 故． 故答案为：5 8．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】，由题意知，即． 故答案为： 9．定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【解析】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为： 10．在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【解析】记为复平面的原点，由题意得，，． 设，则，． 由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为． 故答案为：. 11．已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【解析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 12．已知，若对应的点在第二象限，求a的取值范围． 【解析】由条件可知，，即， ， ， 由题意，得，解得：， 所以a的取值范围为． 13．在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【解析】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 14．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【解析】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 15．设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点组成的集合是什么图形？ 【解析】设， 因为，所以，所以． 由得， 即，所以． 因为， 所以． 因为等价于，且， 所以，即， 即，即， 所以复数在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心，1为半径的圆． 16．已知为复数，为实数，，且，求． 【解析】设， ， ，． ， ，，， ， 当时，，当时，． 17．从①，且的虚部是2；②；③，z为的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线上作出解答． 已知i为虚数单位，复数z满足_____________，设z，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求的面积． 【解析】选①，设，则， 由题意得，解得或. 或， 当时，，， ，，， 直线的方程为，所以点到直线的距离为. ，所以的面积为. 当时，，， ，，， 直线的方程为，所以点到直线的距离为. ，所以的面积为. 因此选①时的面积为1． 选②，， ，， ，，． 同选①可知， 选③， ， ，， 同选①，． 18．已知复数，，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，求实数a的取值范围． 【解析】. 所以复数z对应的点为. 若复数z对应的点在复平面内位于第四象限， 则解得． 所以实数a的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $