9.2 轴对称 计算专练 2024—2025学年苏科版数学七年级下册（江苏适用）

( 栏 ) ( 正 ) ( 订 )9.2 轴对称 第一课时：垂直平分线性质求周长 1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AC=AD，EF为线段BD的垂直平分线， 若AB=9，AC=7，则△ADE的周长为 ． 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点，其中 CF=5，DF=4，则△ABE的周长为 ． 3.如图，在△ABC中，BC=36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分 别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为 ． 第3题图 第4题图 4.如图，已知AC=5cm,AD=9cm,BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为 ． 5.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数． 6.如图，△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：垂直平分线性质求线段长 1.如图，在△ABC中，ED垂直平分BC，CD=5，△BCE的周长为22，则BE= ． 第1题图 第2题图 2.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=9，AD=4，则BD= ． 3.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21， AB=8，则AC= ． 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分 别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．若△AEG的周长为10，则线段BC的长 ． 5.如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D， 且BD=DE，连接AE． （1）求证：AB=EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC=8cm，则DC的长为多少？ ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：垂直平分线性质求角度 1.如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=48°，则∠BDC的度数为 ． 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB， 若∠A=48°，则∠B的度数为 ． 3.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，连接CD． 若∠A=70°，∠ABC=60°，则∠ACD的度数为 ． 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，BC的垂直平分线，若∠ABC=100°， 则∠DBF的度数是 ． 5.如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线， E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）若△DAF的周长为20，求BC的长． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：折叠问题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动 点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE的度数为 ． 第1题图 第2题图 2.如图，将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，若∠1=20°， 则∠DEF的度数为 ． 3.如图，把△ABC的∠A翻折，使顶点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF， 若∠A=70°，则∠BED+∠DFC= ． 第3题图 第4题图 4.如图，点M、N分别在长方形ABCD的边AB、CD上，B'C'分别与AM、AD的交于点 E、F，C'N与AD的交于点G，且四边形MNCB沿直线MN翻折后能与四边形MNC'B'重合， ∠FGC'=53°．若∠NME+∠MEF+∠EFG=m°，则m= ． 5.折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中 可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A=60°，请根据题意，探索不同情境中 ∠1+∠2（或∠1-∠2）与∠A的数量关系． （1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2= °． （2）如图②，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C的度数． （3）如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1=80°，∠2=28°， 则∠A的度数为 °． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第五课时：台球桌上的轴对称 1.如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角 上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以 经过多次反射），那么该球最后将落入 号球袋． 第1题图 第2题图 2.数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示， ∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球 时，必须保证∠1为 °． 3.如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点 B，再次反弹经过点C，其中∠PAD=∠BAE，∠ABE=∠CBF． （1）若∠PAD=32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠BAE+∠ABE=90°，求证：BC∥PA． 4.一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边AB，碰到AB上的点 P后反弹而滚向桌边CD，碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R．如果AB∥CD，OP，PQ， QR都是直线，且∠OPQ的平分线PM垂直于AB，∠PQR的平分线QN垂直于CD． （1）判断并直接写出PM和QN的位置关系． （2）猜想QR是否平行于OP？说明理由． （3）若∠RQD=α，求∠OPQ的度数（用含α的代数式表示）． 第一课时：垂直平分线性质求周长 参考答案 1.解：∵D为BC边上的一点，EF为线段BD的垂直平分线，AB=9，AC=7， ∴ED=BE， ∴AE+BE=AE+DE=9， ∵AC=AD， ∴AD=7， ∴△ADE的周长为AD+DE+AE=7+9=16 故答案为：16． 2.解：由条件可知CE=BE，BD=CD，AB=2DF=8，AC=2CF=10， ∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=18． 故答案为：18． 3.解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F， ∴EA=EB，FA=FC， ∵BC=36， ∴△AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+FC=BC=36 故答案为：36． 4.解：∵BE是线段CD的垂直平分线，AC=5cm,AD=9cm, ∴BC=BD ∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=AC+AB+BD=AC+AD=14（cm） 故答案为：14． 5.解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC=BD，CE=EB， 又∵EC=4， ∴BE=4， 又∵△BDC的周长=18， ∴BD+DC=10， ∴BD=5； （2）∵∠ADM=60°， ∴∠CDN=60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC=90°， ∴∠C=30°， 又∵∠C=∠DBC=30°，∠ABD=20°， ∴∠ABC=50°， ∴∠A=180°-∠C-∠ABC=100°． 6.解：（1）设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z, ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP=PB，AQ=CQ， ∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y, ∵∠BAC=80°， ∴∠B+∠C=100°， 即x+y+z=80°，x+z+x+y=100°， ∴x=20°， ∴∠PAQ=20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP=12， ∵AQ=CQ，AP=PB， ∴CQ+PQ+PB=12， 即CQ+BQ+2PQ=12，BC+2PQ=12， ∵BC=8， ∴PQ=2． 第二课时：垂直平分线性质求线段长 参考答案 1.解：由条件可知BC=2CD=10，CE=BE， ∵△BCE的周长为22， ∴BC+BE+CE=BC+2BE=22， 即10+2BE=22， ∴BE=6， 故答案为：6． 2.解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵BC=9，AD=4， ∴BD=BC-CD=BC-AD=9-4=5， 故答案为：5． 3.解：由条件可知BD=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC， ∵已知△ABD的周长为21，AB=8， ∴AC=21-8=13， 故答案为：13． 4.解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴GA=GC， ∵△AEG的周长为10， ∴EA+EG+GA=EB+EG+GC=10， 即BC=10， 故答案为：10． 5.（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE=EC， ∵AD⊥BC，BD=DE， ∴AB=AE， ∴AB=EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm, ∴AB+BC+AC=20cm, ∵AC=8cm, ∴AB+BC=12cm, ∵AB=EC，BD=DE， ∴AB+BD=DE+EC=DC， ∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=12cm, ∴DC=6cm，DC的长为6cm. 第三课时：垂直平分线性质求角度 参考答案 1.解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=48°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=96° 故答案为：96． 2.解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC=DA， ∴∠DCA=∠A=48°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB=∠DCA=48°， ∴∠B=180°-48°-48°-48°=36° 故答案为：36． 3.解：∵∠A=70°，∠ABC=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-60°=50°， ∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC=60°， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵点D在BC的垂直平分线上， ∴DB=DC， ∴∠DCB=∠DBC=30°， ∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=20° 故答案为：20． 4.解：∵∠ABC=100°， ∴∠A+∠C=180°-∠BAC=80°， ∵DE、FG分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴AD=BD，CF=BF， ∴∠ABD=∠A，∠CBF=∠C， ∴∠ABD+∠CBF=∠A+∠C=80°， ∵∠BAC=100°， ∴∠DBF=∠ABC-（∠ABD+∠CBF）=100°-80°=20° 故答案为：20． 解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-30°-50°=100°； ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠ABC=30°， 同理可得，∠FAC=∠ACB=50°， ∴∠DAF=∠BAC-∠DAB-∠FAC=100°-30°-50°=20°； （2）∵△DAF的周长为20， ∴DA+DF+FA=20， 由（1）可知，DA=DB，FA=FC， ∴BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=20． 第四课时：折叠问题 参考答案 解：当点A′在AC上方时，如图所示， ∵A′E∥BC， ∴∠A′EA=∠C=90°， 由翻折可知，∠A′ED=∠AED， ∴∠AED=． ∵∠A=90°-70°=20°， ∴∠ADE=180°-45°-20°=115°． 当点A′在AC下方时，如图所示， ∵A′E∥BC， ∴∠A′EA=∠C=90°， 由翻折可知，∠A′ED=∠AED， ∴∠AED=， 又∵∠A=20°， ∴∠ADE=180°-135°-20°=25°． 综上所述，∠ADE的度数为：25°或115°． 2.解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上， ∴∠BFE=∠GFE， ∵∠1=20°， ∴∠BFG=180°-∠1=160°， ∴∠BFE=∠GFE=， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE=80°． 故答案为：80°． 3.解：由翻折可得：∠1=∠2，∠3=∠4， 在△AEF中可得：∠A+∠1+∠3=180°， ∵∠A=70°， ∴∠1+∠3=110°， ∵∠1+∠2+∠BED=180°， ∠3+∠4+∠CFD=180°， ∴∠3+∠4+∠CFD+∠1+∠2+∠BED=360°， 即2（∠1+∠3）+∠CFD+∠BED=360°， ∴∠CFD+∠BED=360°-2（∠1+∠3）=140°， 故答案为：140． 4.解：在长方形ABCD中，∠D=90°， ∵∠FGC′=53°， ∴∠DGN=∠FGC′=53°，∠FGN=180°-∠FGC′=127°， ∴∠GND=90°-∠DGN=37°， 根据折叠，可知∠C′NM=∠CNM， ∴∠C′NM=（180°-37°）÷2=71.5°， ∴∠NME+∠MEF+∠EFG+∠FGN+∠C′NM=540°， ∴∠NME+∠MEF+∠EFG=540°-∠FGN-∠C′NM=341.5°， ∴m=341.5°， 故答案为：341.5°． 解：（1）∵∠A=60° ∴∠ADE+∠AED=180°-60°=120°， ∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=240°， 故答案为：240°． （2）连接AA′，如图所示： ∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A， ∴∠1+∠2=∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A=∠EAD+∠EA′D， ∵∠EAD=∠EA′D， ∴∠1+∠2=2∠EAD=110°， ∴∠EAD=55°， ∴∠B+∠C=180°-55°=125°． （3）如图，设AB与DA′交于点F， ∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠2+∠A′， 由折叠可得，∠A=∠A′， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2， 又∵∠1=80°，∠2=28°， ∴80°=2∠A+28°， ∴∠A=26°， 故答案为：26°． 第五课时：台球桌上的轴对称 参考答案 1.解：如图， 该球最后将落入1号球袋． 故答案为：1． 2.解：∵∠2+∠3=90°，∠3=35°， ∴∠2=55°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=55°， 故答案为：55°． 3.（1）解：∵∠PAD=32°， ∴∠PAD=∠BAE=32°， ∵∠PAD+∠BAE+∠PAB=180°， ∴∠PAB=180°-32°-32°=116°； （2）证明：∵∠PAD=∠BAE，∠ABE=∠CBF，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠PAD=∠CBF=90°， ∵∠PAD+∠BAE+∠PAB=180°，∠CBF+∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠PAD+∠BAE+∠PAB+∠CBF+∠ABC+∠ABE=360°， ∴∠PAB+∠ABC=180°， ∴BC∥PA． 4.解：（1）∵AB∥CD，PM⊥AB，QN⊥CD． ∴PM∥QN； （2）QR∥OP， 理由：∵PM∥QN， ∴∠MPQ=∠NQP， ∵PM平分∠OPQ，QN平分∠RQP， ∴∠OPQ=2∠MPQ，∠PQR=2∠NQP， ∴∠OPQ=∠PQR， ∴QR∥OP； （3）∵∠RQD=α， ∴∠RQN=90°-α， ∴∠PQR=2∠RQN=180°-2α， ∵QR∥OP， ∴∠OPQ=∠PQR=180°-2α． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$