精品解析：四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班）数学试题

球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 命题“对任意一个幂函数，它图象经过点”的否定是（ ） A. 对任意一个幂函数，它的图象不经过点 B. 存在很多个幂函数，它们的图象都经过点 C. 存在一个幂函数，它的图象经过点 D. 存在一个幂函数，它的图象不经过点 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. （1，2） C. （0，1） D. 5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 函数的单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 11. 已知函数和（且为常数），以下结论正确的是（ ） A. 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B. 存在，使得关于的方程有三个不同的实数根 C. 当时，若函数恰有3个不同的零点，则 D. 当时，关于的方程有四个不同的实数根，且，若在上的最大值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______． 13. 已知，且，则________． 14. 已知函数，则的大小关系是______.（注意：请用“”符号连接） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 18. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 球溪高级中学2024-2025学年高一下学期2月月考（火箭班） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得，根据对数型函数的定义域可得，进而可得. 【详解】, 因为的定义域为，故， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 3. 命题“对任意一个幂函数，它的图象经过点”的否定是（ ） A. 对任意一个幂函数，它的图象不经过点 B. 存在很多个幂函数，它们的图象都经过点 C. 存在一个幂函数，它的图象经过点 D. 存在一个幂函数，它的图象不经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以题目对任意一个幂函数，它的图象经过点的否定应该是：存在一个幂函数，它的图象不经过.D选项正确 故选：D 4. 函数的单调递增区间是（ ） A B. （1，2） C. （0，1） D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，求出函数的定义域，分别求出两个函数的单调区间，根据复合函数的单调性符合“同增异减”的原则，即可得出答案. 【详解】解：令，则， ，则，所以函数的定义域为， 而，以为对称轴， 所以函数在单调递增，在单调递减， 而函数为增函数， 根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是， 故选：C. 5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，和三种情况，求出函数解析式，得到答案. 【详解】当时，在上，过点作⊥于点， 则，故，随的增大而增大， 当时，上， 此时 ，随的增大而减小， 当时，在上， 此时，，随的增大而减小， 函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合单调性可知A正确，其他错误. 故选：A 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 7. 已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断. 【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确； 对B，当时，，故B不正确； 对C，由，得，所以，故C正确； 对D，由，得，且不同时为0， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数单调递增区间为 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数周期公式直接计算可得A正确，利用整体代换可求出单调区间为，可得B错误，根据零点定义计算可得C正确，结合余弦函数图象性质计算出对应值域可得D正确. 【详解】对于A，由周期公式可得，可得A正确； 对于B，令，解得， 即函数的单调递增区间为，可知B错误； 对于C，当时，可得； 只有当时，即为函数在区间上的唯一一个零点，即C正确； 对于D，由可得， 易知函数在上先减后增，其最小值为，最大值为； 因此函数在区间的值域为，可得D正确. 故选：ACD 11. 已知函数和（且为常数），以下结论正确的是（ ） A. 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B. 存在，使得关于的方程有三个不同的实数根 C. 当时，若函数恰有3个不同的零点，则 D. 当时，关于的方程有四个不同的实数根，且，若在上的最大值为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件举例画出函数图象，数形结合判断A；作出函数的图象，利用数形结合判断B；，根据有三个不同的零点，判断的取值，然后根据对数性质进行求解判断C；当时，作出函数的图象，确定，，，，根据二次函数对称性及对数运算性质得，再根据诱导公式求值判断D. 【详解】对A，当的对称轴小于0即，且最大值大于4时，如图①： 可知与函数有四个不同的交点，正确； 对B，若，则函数的对称轴，此时当时，函数为增函数，且，如图② 由图可知，不可能有三个实数根，错误； 对C，当时，令，如图③ 已知函数恰有3个不同的零点，，， 则有两个不等的实数根，其中， 当时对应的根，当时，对应的根为，， 当时，有，即满足，则，故正确； 对D，当时函数图像如图， 由C选项对数函数性质可知，则， 即在上的最大值为，则，， 由对称性可知， 则，故错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与方程的应用，二次函数的对称性及对数函数运算性质，结合不同条件先作出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，可得结论. 【详解】因为，所以函数的图像过定点， 故答案为： 13. 已知，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号. 【详解】设,,那么,从而. 于是.因为, 所以.由,得. 所以, 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则的大小关系是______.（注意：请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据余弦函数和指数函数的单调性得：函数在上单调递减，然后利用对数函数的单调性及中间值法求得，最后利用的单调性即可求解. 【详解】显然函数定义域为全体实数，它关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以， 因为函数在上单调递减（根据余弦函数和指数函数的单调性）， 所以函数上单调递减， 又，（） 所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【小问1详解】 因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． 【小问2详解】 ． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，利用诱导公式化简可得结果. （2）根据条件计算，结合角的范围分析的正负，求出的值即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∴. （2）∵， ∴，即，故， ∵，∴，故， ∴，故， ∴. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2）在R上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由求解的值，再检验即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可； （3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，其定义域为， 所以， 即，解得，此时， 满足， 即为奇函数， 故的值为. 【小问2详解】 解：在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； 【小问3详解】 由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以，则. 所以实数的取值范围为 18. 某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． （1）求θ关于x的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】（1） （2），当时，y取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，故． 【小问2详解】 花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明； （2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可； （3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由为上的增函数，则有， 所以，所以，无解， 所以（）不存在“理想区间”； 【小问2详解】 记是函数的一个“理想区间”（）， 由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为， 所以在上必为增函数，令， 所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”； 【小问3详解】 由在和上均为增函数， 已知在“理想区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 则，，即m，n（）是方程的两个同号的实数根， 等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要， 所以或， 而由韦达定理知，， 所以， 其中或，所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $