精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角. 【详解】因为为常数，故直线的倾斜角为. 故选：A 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标. 【详解】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：B 3. 直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解. 【详解】因直线和平行， 由两条平行直线间的距离公式可得． 故选：D． 4. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求得双曲线和双曲线的离心率，再根据其离心率相同求解. 【详解】解：因为双曲线， 所以，则，， 又双曲线， 所以，则， 因为双曲线与双曲线的离心率相同， 所以，解得，则， 故选：A 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数. 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则，由于，即， 故圆与圆相交，其公切线条数为． 故选 ：C． 6. 如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果. 【详解】设, 则 故, 故选：B 7. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 180 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 8. 如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，连接，易知是的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线和所成角的余弦值关于的表达式，即可求最大值. 【详解】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（ ） A. 抛物线的准线为 B. 点的坐标为 C. D. 过点作轴于点，则的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，进而得到准线、焦点判断A、B；将代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D. 【详解】根据抛物线的定义知，，则， 所以抛物线的准线为，焦点，A对，B错； 将代入抛物线，得，C错； 由轴于点，则，故，所以的面积为，D对. 故选：AD 10. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 11. 已知点，且点在直线上，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 若线段与直线有交点，则 C. 当时，存点，使得 D. 当时，周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知的最大值为的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确. 【详解】对于A，由点可知两点的纵坐标相同， 即平行于轴，且的长度为3， 因此的最大值为的长度3，即A正确； 对于B，易知的方程为,可知直线与的交点坐标为； 若线段与直线有交点，可得，解得，即B正确； 对于C，当时可得， 以为直径的圆方程为， 显然圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点，使得，即C错误； 对于D，当时， 设关于直线的对称点坐标为， 可得，解得，即，如下图所示： 显然的周长为，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量满足，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为， 故， 解得． 故答案为：4 13. 已知圆过三点，则圆的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的方程为， 其标准方程为，半径， 故其面积． 故答案为： 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定直角三角形的直角顶点位置，建立方程并结合双曲线定义求出，再借助相似三角形性质列式求解作答. 【详解】根据题意轴，所以为直角三角形，由有， 设，把代入有，所以，即， 由有，由， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． （1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 【答案】（1）96； （2）60. 【解析】 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； 【小问1详解】 先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； 【小问2详解】 当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数； 16. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上及、椭圆的参数关系求椭圆方程； （2）由题意，设，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程. 【小问1详解】 由题设，可得，则椭圆； 【小问2详解】 由题设，令，联立椭圆， 所以，整理得， 则，整理易得， 所以，可得，直线的斜率为1. 17. 已知的圆心在轴上，且经过点和． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． ①若，求直线的方程； ②求弦最短时直线的方程． 【答案】（1） （2）①或；②； 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可； （2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果； ②易知当时，弦最短，由直线的点斜式方程计算可得结果. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 依题意可得：，解得； 则该圆的圆心为，半径为； 故的标准方程为：； 【小问2详解】 ①由过点的直线与交于两点，设圆心到直线的距离为, 由，可得，； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 ，解得， 故直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或； ②依题意可知点在圆内，如下图所示： 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得， 显然当取得最大值时，即时，此时， 即当时，弦最短， 易知，因此直线的斜率为， 可得直线的方程为，即. 18. 在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． （1）若，求的长度； （2）求点到平面距离的取值范围． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设且，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得长度； （2）求出面的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围. 【小问1详解】 构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. 【小问2详解】 若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. （1）若的斜率存在，求出斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是， （3） 【解析】 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，再利用的单调性可得答案. 【小问1详解】 由的渐近线方程为可得， 易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线得，， 则 解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； 【小问2详解】 依题意，，，由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ； 【小问3详解】 由（2）可知，， 设直线与直线的方程分别为，， 联立两直线方程可得交点的横坐标为1， 故 . 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 180 D. 288 8. 如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（ ） A. 抛物线准线为 B. 点的坐标为 C. D. 过点作轴于点，则的面积为 10. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 展开式的各项系数之和是1 C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为240 11. 已知点，且点在直线上，下列说法正确是（ ） A. 的最大值为3 B. 若线段与直线有交点，则 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量满足，则______． 13. 已知圆过三点，则圆的面积为______． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． （1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ （2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 16. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆标准方程； （2）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，求直线的斜率． 17. 已知的圆心在轴上，且经过点和． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． ①若，求直线方程； ②求弦最短时直线的方程． 18. 在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． （1）若，求的长度； （2）求点到平面距离的取值范围． 19. 已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. （1）若斜率存在，求出斜率的取值范围； （2）探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； （3）若直线，交于点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $